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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试全国 2 卷数学（理科）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。11212ii（）A4355iB4355iC3455iD3455i2已知集合223AxyxyxyZZ， ，则A中元素的个数为（）A9B8C5D43函数2xxeefxx的图象大致是（）4已知向量ab， 满足，1a，1a b，则2aab（）A4B3C2D05双曲线2222100 xyabab ， 的离心力为3，则其渐近线方程为（）A2yxB3yxC22yxD32yx6在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB=（）A4
2、 2B30C29D2 5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A1iiB2iiC3iiD4ii8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“ 每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和” ，如30723在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是（）A112B114C115D1189在
3、长方体1111ABCDA BC D中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A15B56C55D2210若cossinfxxx 在aa，是减函数，则a的最大值是（）A4B2C43D11已知 fx 是定义域为，的奇函数，满足11fxfx 若12f，则12350ffff（）A50B0C2D5012已知1F，2F是椭圆2222:10 xyCabab 的左、右焦点交点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，则C的离心率为（）A23B12C13D14名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
4、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13曲线2ln1yx在点00，处的切线方程为_14若xy，满足约束条件25023050 xyxyx，则zxy的最大值为 _15已知 sincos1， cossin0 ，则 sin_16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题。
5、每个试题考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17 （12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a，153S（1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 18 （12 分）下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测改地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t 的两个线性回归模型根据
6、2000 年至 2016 年数据（时间变量t的值依次为 127， ， ）建立模型：$30.413.5yt ：根据2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 127， ， ）建立模型：$9917.5yt （1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）设抛物线2:4Cyx 的焦点为F，过F且斜率为0k k的直线l与C交于 AB，两点。8AB（1）求l的方程；（2）求过点AB，且与C的准线相切的圆的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
7、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 20 （12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值21 （12 分）已知函数2xfxeax （1）若1a，证明：当0 x时，1fx ；（2）若 fx 在 0，只有一个零点，求a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
8、- - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分。22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy（为参数），直线l的参数方程为1cos2sinxlayla（l为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为12，求l的斜率23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分）设函数52fxxax（1）当1a时，求不等式0fx 的解集；（2）若1fx ，求a的取值范围名师资料总
9、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 参考答案部分一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B B A A B C C A C D 12. 解：41,236322ecaccPF，二、填空题13.xy2 14. 9 15.21- 16.24016. 设母线长为a,aaa22OA8055ASBsin21S22ABS，所以2402221S2aCa侧三、填空题17. 解： （1）由153S可得：15331d
10、a，所以2d，所以92nan（2）16-S4,82)(n21取最小值时，当nnnnaaSnn18. 解： （1）1.22619*5.134 .30y，5.2569*5 .1799y（2）对于模型，当年份为2016 年时，1.19917*5.134.30y对于模型，当年份为2016 年时，5.2217*5 .1799y比较而言，的准确度高，误差较小，所以选择19. 解： (1) F（1,0 ） ，设直线)1(xky，联立0)42() 1(422222kxkxkxkyxy142212221xxkkxx，82AB21xx， k=1, 所以直线方程01yx（2）设 AB的中点为N（NNyx ,） ，设
11、圆心为M （a,b ） ，所以圆的半径r=a+1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 因为22322121yyyxxxNN，所以 MN的方程为2)3(1 xy，即05yx所以22222-b3-aMN）（）（）（ax，由垂径定理：2222ABMNr即：2232161）（aa解得：113aa或所以圆的方程为：16)2()3(22yx和144)6()11(22yx20. 证明：连接BO ，因为 AB=BC ，则 BO AC
12、 ，所以 BO=2 又因为在 PAC 中， PA=PC=4 ，所以 PO AC ，且32PO，因为222PBOBPO，所以 PO BO ，从而PO平面ABC；（2）以OB为 x 轴，以OC为 y 轴，以OP为 z 轴，设BCBM，B （2,0,0 ） ，C （0,2,0 ）A（0，-2,0 ）P（0,0,32） ，设 M （x,y,0 ）, 所以)0, 2,2(,0 ,2BMBCyx）（，所以）（0 ,2,2-2M设 平 面PAC 的 法 向 量 为)0, 0 , 1(1n， 设 平 面MPA 的 法 向 量 为),(1112zyxn，），（），（0,2-2-2-2MA32-2-0PA所以33
13、1330MA0PA22222zyxnn因为二面角MPAC为30，所以2330cos21210nnnn得31设PC与平面PAM所成角为，所以43PCPCsin22nn21 解： （1）当 a=1,2)(,2)(,)( 2xxxexfxexfxexf当单调递增单调递减，)(,2ln)(,2lnxfxxfx，所以02ln22)2(ln)(fxf所以是单调递增在), 0)(xf，所以1)0()(fxf（3）令00)(2axexfx，令axexgx2)(，32)(xxexgx）（当单调递减时，)(,0)(2xgxgx，单调递增时，)(,0)(2xgxgx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
14、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 所以aegxg4)2()(2min当无零点时，)(,0)(4min2xgxgea当只有一个零点时，)(,0)(4min2xgxgea0)(4min2xgea时，22. （1）曲线 C的直角坐标方程：116422yx直线 L 直角坐标方程：2)1(tanxy（2） 联立116422yx与1cos2sinxlayla08)sin4cos8(sincos4222tt）（所以2tan,0sincos4sin4cos8022221得tt23. （1）当1a时，2,2621, 21, 42)(xxxxxxf，所以不等式0fx 的解集为32xx（2）若1fx ，则42xax，因为22axax所以只需要6242aaa或综上： a 的取值范围为26aaa或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -