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1、山东省实验中学 2010级第四次诊断性测试数学试题（文科）（2013.02 ）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）共两卷.其中第卷共60 分，第卷共 90 分，两卷合计150 分，答题时间为120 分钟，不能使用计算器. 第卷（选择题共 60 分）一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 i 为虚数单位，若复数(1)(1)aai 为实数，则实数a的值为A. -1 B. 0 C. 1 D. 不确定2若集合|0Py y，PQQ，则集合Q不可能是 A 2|,y yxxRB|2 ,xy yx=? R C |lg|
2、,0y yxx=D3|,0y yxx-=?3函数0.51log(43)yx=-的定义域为 A 3,14骣?桫B3,4骣?+ ?桫C(1,)+ ?D3,1(1,)4骣?+ ?桫U4在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 A 92，2 B92，2.8 C93，2 D93，2.8 5下列命题中，真命题是 A m$? R，使函数2( )()f xxmx x=+? R是偶函数 B m$? R，使函数2( )()f xxmx x=+? R是奇函数 C m? R，函数2( )()f xxmx x=
3、+? R都是偶函数 D m? R，函数2( )()f xxmx x=+? R都是奇函数6若,x y ? R，且1,230,xxyyx 3?-+?3? ?则2zxy=+的最小值等于 A 2 B3 C5 D9 7某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A4?k B5?k C6?k D7?k 8已知锐角ABCV的面积为3 3，4,3BCCA=，则角C的大小为 A 75B60C45D309直线l与圆22240(3)xyxyaa+-+=的左焦点(,0)(0)Fcc-，作圆2224axy+=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若2OPOEOF=-uuruu u ruu u r，则双曲线
4、的离心率为 A 10B105C102D212设函数( )yf x=的定义域为R， 对于给定的正数k，定义函数( ),( ),( ),( ).kf xf xkfxk f xk?=? ?给出函数2( )42f xxx= -+-，若对任意的x? R，恒有( )( )kfxfx=，则 A k的最大值为2 Bk的最小值为2 C k的最大值为1 Dk的最小值为1 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：（本大题共有4 个小题，每小题4 分，共计16 分. ）13下图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= cm. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
5、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 14某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5 ，40 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100 根中，有根棉花纤维的长度小于20mm. 15已知数列na，函数2(0)yxx=的图象在点2(,)kkaa处的切线与x轴的交点的横坐标为1ka+， 其中k ?*N， 若116a =，则135aaa+的值是 . 16 已 知 向 量(1,2),(1,1)=ab且a与l
6、+ab的 夹 角 为 锐角 ， 则 实 数l的 取 值 范围是 . 三、解答题：（本大题共有6 个小题，共74 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ）17 （本小题满分12 分）已知向量(cos ,sin),( 3cos ,cos)xxxx=ab，若( )3f x =?a b. （1）求函数( )f x的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数( )f x在区间5,12 12pp?-?上的值域 . 18 （本小题满分12 分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0 的小球 1 个，标号为1 的小球 1 个，标号为 2 的小球n个. 已知从袋子中随机抽取1 个小球，取到
7、标号是2 的小球的概率是12. （1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b. 记事件A表示“2ab+=” ，求事件A的概率；在区间 0 ， 2 内任取两个实数, x y，求事件“222()xyab+-恒成立”的概率. 19 （本小题满分12 分）如图，在四棱锥PABCD-中，PD 底面ABCD，底面ABCD为正方形，,PDDC E F=分别是,AB PB的中点 . （1）求证：;EFCD（2）若线段AD上存在点G，使GF 平面PCB，请确定G位置，并证明你的结论 . 20 （本小题满分12 分）已 知 正 项 数 列na的 前n
8、项 和 为11,2nS a =. 当 且n? N*时 ， 点1(,)nnS S+在 直 线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 122yx=+上，数列nb满足12log()nnban=? N*. （1）求数列na的通项公式na；（2）设数列nnba的前n项和为.nT求.nT21 （本小题满分12 分）设椭圆1C和抛物线2C的焦点均在x轴上，1C的中心和2C的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：x3
9、 -2 4 2y2 3-0 -4 22（1）求曲线12,C C的标准方程；（2）是否存在过抛物线2C的焦点F的直线l，使得l与椭圆1C交于不同两点M、N，且0OMON?uuu ruuu r？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 22 （本小题满分14 分）已知函数( )ln(1)(1)1f xxk x=-+. （1）求函数( )f x的单调区间；（2）若( )0f x 恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ln 2ln 3ln 4ln(1)()34514nn nnnn-+ 鬃 ?1. 数学试题（文科）参考答案选择题ADDBA BABAC CB 填空题13.4 14. 30 1
10、5. 21 16. 5,0(0,)3骣?-+ ?桫U. 17. 解： （1）2( )33cossincos3f xxxx=?=+a b313 3cos2sin2222xx=+名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 32sin 2.32xTz骣?=+=?桫，图象的对称轴方程为7 + +()1212xkxkk=? Z和. 6分（2）由于区间5 ,12 12轹-?的长度为2，为半个周期 . 又( )fx在5 ,12 12-
11、处分别取到函数的最小值3 312-，最大值3 312+，所以函数( )f x在区间5 ,12 12轹-?上的值域为3 33 31,122轹-+?. 12分18. 解： （1）由题意可知：1112nn=+，解得2n = 4分（2）两次不放回抽取小球的所有基本事件为：（0，1） ， （0，21） ， （0，22） ，（1，0） ， （1，21） ， （1，22） ， （21，0） ， （21，1） ， （21，22） ， （22，0） （22，1） ，（22，21） ，共 12 个, 事件A包含的基本事件为： （ 0，21） ， （0，22） ， （21，0） ，（22，0） ，共 4 个. 4(
12、 )1123P A =. 8分 记 “222()xyab+-恒 成 立 ” 为 事 件B， 则 事 件B等 价 于“224xy+”，( , )x y可 以 看 成 平 面 中 的 点 ， 则 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域(, ) |02,02, ,x yxyx yW=? R，而事件B所构成的区域22(,) |4, ,Bx yxyx y=+蜽，如图，则()14ABCSP BSD=-正方形. 12分19. 证明：（1）由于底面ABCD为正方形，ADCD，又PD 平面ABCD，PDCD，又,E FQ分别是AB，PB的中点，EFAP，EFCD. 5分（2）如图，设AD的中点为G，BD的中点为
13、O，连结,OF OG PG GB GF. OQ、F、G分别是BD、PB、AD的中点，FOPD，GOAB，,ABBDGOBCQ，,PDABCD FOQ平面PD，,FOABCD 平面GFBC. 设PDDCa=，则2252PGPDDGa=+=，阴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2252GBABAGa=+=，PGGB=，又F是PB的中点，,GFPBGFPCB 平面. 12分20. 解： （1）当2n 3且n ?*N时，点
14、1(,)nnSS-在直线122yx=+上，1241nnSS-=+1241()nnSSn+=+?*N由 - 得：1122(2,)nnnnaaanna+=?澄N*由21241SS=+得1212()41aaa+=+又21211,1,22aaaa=，数列na是以12为首项， 2 为公比的等比数列. 22nna-=. 6分（2）211loglog2222nnnban-=-Q232210132,1212222nnnnnnbnnnTa-=+ 鬃 ?+221110132212222nnnnnT-=+ 鬃 ?+由 - 得：2212111111212221222222nnnnnnnT-=- 鬃 ?-=-. 212
15、22nnnnTn-=?. 12分21. 解： （1）由题意（ -2 ，0）一定在椭圆1C上. 设1C方程为22221(0)xyabab+=，则2a =椭圆1C上任何点的横坐标|2x . 所以22,2骣?桫也在1C上，从而21b =1C的方程为2214xy+=从而(3,2 3)-， （4，-4 ）一定在2C上，设2C的方程为22(0)ypx p=2p =. 即2C的方程为24yx=. 5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - -
16、- 分（2）假设直线l过2C的焦点(1,0)F. 当l的斜率不存在时，则331,1,22MN骣骣鼢珑鼢-珑鼢珑鼢珑桫桫. 此时311044OM ON?-=?uuu r uuu r，与已知矛盾 . 当l的斜率存在时设为k，则l的方程为(1)yk x=-代入1C方程并整理得：2222(14)8440kxk xk+-+-=. 设1122(,),(,)MxyN xy，则22121222844,1414kkxxx xkk-+=+221212121223(1) (1)(1)14ky yk xk xkx xxxk-=-=-+=+212120,0,40,2OM ONx xy ykk?+=-= ?uuur uu
17、u rQ存在符合条件的直线l且方程为2(1)yx= ?，即2121yxyx=-= -+或. 12分22. （ 1）解：函数( )fx的定义域为1(1,),( )1fxkx+ ?-. 当0k 时，110,0,( )01xfxx-Q，则( )f x在(1,)+ ?上是增函数 . 当0k 时，令( )0fx=，即101kx-=-，得11xk=+. 当11,1xk骣?桫时，11( )01111fxkkxk=-=-+-，则( )f x在11,1k骣?+?桫上是增函数；当11,xk骣?+?桫时，11( )0,( )1111fxkkf xxk=-时，( )f x在11,1k骣?+?桫上是增函数，在11,k轹
18、 + ?上是减函数 . 5分（2）解：由（ 1）知，当0k 时，(2)10fk=-不成立，故只考虑0k的情况 . 又由（ 1）知max1( )(1)lnf xfkk=+= -，要使( )0f x 恒成立，只要max( )0fx即可 . 由ln0k-?，得1k 3. 9分（3）证明：由（ 2）知当1k =时，有( )0fx 在(1,)+ ?内恒成立，又( )fx在)2,+?内是减函数，(2)0f=，(2,)x ?时，有( )0f x 恒成立，即ln(1)2xx-在(2,)+ ?内恒成立 . 令21(,1.)xnnn-=?*N且则22ln1nn-，即2ln(1)(1)nnn-+，ln1(,1)12nnnnn-?+*N且. ln 2ln 3ln 4ln1231(1)345122224nnn nn-+ 鬃 ?+ 鬃 ?=+，即ln 2ln 3ln 4ln(1)(,1)34514nn nnnn-+ 鬃 ?+*N且成立 . 14分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -