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1、高等数学 (一) 模拟试卷第一套1. 设函授 f )(xaxx,)1ln( ,则 x=0 处连续，则a 等于（）A0 B . 21C. 1 D. 2 2. 设 y=sin 2x, 则y等于（） . A. cos 2x B. cos 2x C. 2cos 2x D. 2cos 2x 3.过曲线 y=xln x 上0M点的切线平行与直线y=2x,则切点0M的坐标是（）A.（1，0） B.（e,0） C.（e,1 ） D.（e,e）4. 设 f(x)为连续函数，则xadttf)(等于（）A. f(t) B. f(t)- f(a) C. f(x) D. f(x)- f(a) 5. 若0 x为 f(x)
2、 的极值点，则（）A.)(0 xf必定存在，且)(0 xf=0 B. )(0 xf必定存在，且)(0 xf不一定等于零 C. )(0 xf不存在，或)(0 xf=0 D. )(0 xf必定不存在6.dxx2sin1等于（）A. cxsin1 B. cxsin1C. cxcot D. cxcot得分评卷人选择题： 1-10 小题，每小题4 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的。x0 x=0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - -
3、- - - - - - - 7. 平面22:0132:21yxzyx的位置关系为（）A. 垂直 B.斜交C.平行 D. 重合8. 设 z=tan(xy),则xz等于（）A.)(cos2xyy B. )(cos2xyy C.2)(1xyy D. 2)(1xyy9级数121nnnk（k 为非零正常数） （）A.绝对收剑B. 条件收剑C. 发散D. 收剑性与k 有关10微分方程0yy的通解为（）Ay=xeB. y= xeC. y=CxeD. y=Cxe11求xxx3sinlim. 1211lim21xxx. 13设 y=xex1,则y= . 14. 设 f(x)=,2x则)( xf. 15.2121
4、dxxx .16. 设 z=yyxyx2223，则xz= . 17. 设,)()(CxFdxxdxxxfcos)(sin . 18. 幂级数innxn!的收敛半径为 . 得分评卷人二、填空题： 11-20 小题，每小题4 分，共 40 分。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 19. 微分方程09 yy的通解为 . 20. 曲线xxy63的拐点坐标为 . 21. （本题满分8 分）计算dxx ln1. 22.( 本题
5、满分8 分 ) 设232sinttytax求dxdy23 （本题满分8 分）设232 yxxyz，求yxz2. 得分评卷人三、解答题：21-28 小题，共70 分，解答时应写出推理、演算步骤 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 24（本题满分8 分）求082yyy的通解 . 25. （本题满分8 分）将xxf31)(展开为 x 的幂级数26. （本题满分10 分）设)(lim3)(23xfxxxfx，且)(lim
6、2xfx存在，求f(x). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 27.( 本题满分10 分) 求曲线12xy在点（ 1，2）处的切线方程，并求该曲线与所求切线及x=0所围成的平面图行的面积. 28. （本题满分10 分）设区域 D为,0,422yyx计算Ddxdyyx.22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
7、- - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 参考答案与详解一、选择题：每小题4 分，共 40 分1C 【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念. 由函数边连续性的定义可知, 若)( xf在0 x处连续，则有)0()(lim2fxfx，由题设1lim)|1ln(lim)(lim00 xxxxxfoxxx可知应有a=1, 故应选 C. 2.D 【解析】本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则. ,2sinxy则.2cos2)2()2cos(xxxy可知应选D 3.D 【解析】本题考查的知识点为导数的几何意义. 由导数的几何意义可知，若)( xfy在点0 x处可导，
8、则曲线)( xfy在点)(,(00 xfx处必定存在切线，且切线的斜率为)(0 xfy由于,ln xxy可知xyln1，切线与 已知直 线xy2平行，直线的斜 率21k，可知切线的斜率21kk从而有,2ln10 x可解得,0ex从而知eeexxylnln000故切点0M的坐标为（ e.e ）, 可知应选D. 4.C 【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 这是一个基本
9、性质：若)(xf为连续函数，则xadttf)(必定可导，且)()(xfdttfxa. 本题常见的错误是选D,这是由于考生将积分的性质)()(xfdttfxa与牛顿 - 莱布尼茨公式)()()(aFxFdxxfba混在了一起而引起的错误。5.C 【解析】本题考查的知识点为函数极值点的性质. 若0 x为函数)( xfy的极值点，则可能出现两种情形：（1）)( xf在点0 x处不可导，如xy在点0 x=0 处)( xf不可导，但是点0 x=0为xxf)(的极值点 . (2)( xf在点0 x可导，则由极值的必要条件可知，必定有0)(xf本题常见的错误是选A，其原因是考生将极值的必要条件：“若)(xf
10、在点0 x可导，且0 x为)( xf的极值点，则必有0)(0 xf认为是极值的充分必要条件. 6.D 【解析】本题考查的知识点为不定积分基本公式. 由于Ccdxxcotsin12可知应选D 7A 【解析】本题考查的知识点为两平面的关系. 两平面的关系可由两平面的法向量21,nn间的关系确定 . 若21nn，则两平面必定垂直. 若21/ nn，21212121DDCCBBAA时，两平面平行. 当21212121DDCCBBAA时，两平面重合. 若1n 与2n 即不垂直，也不平行，则两平面斜交. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
11、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 由于,0),0,1 ,2(),3,2,1(2121nnnn可知21nn，因此21，应选 A. 8B 【解析】本题考查的知识点为偏异数运算. 由于),tan( xyz因此,)(cos)(cos122xyyxyxyxzx）可知应选A 9A 【解析】本题考查的知识点为无穷级数的收剑性. 由于1222111,)1(nnnnnnnnkunku是p=2 的p 级 数从 而211nn收剑21nkn，收剑，可知所给级数绝对收剑. 10 D 【解析】本题考查的知识点为一阶微分方程的求解. 可以将方
12、程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解. 解法一将方程认作可分离变量方程. 分离变量,dxydy两端分别积分,ln,Cxydxydy或 Y=xCe解法二将方程认作一阶段性微分方程. 由通解公式可得.0)()()(xdxdxdxxpdxxpCeCdxeeCdxexqey解法三认作二阶段常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为,01r特征根为,1r , 方程通解为,xCey名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
13、 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二、填空题：每空4 分，共 40 分. 11 0 【解析】本题考查的知识点为无穷小的性质. 对于xxx3sinlim，其期限过程为x，可知所给极限不能利用重要极限公式! 1sinlim这是考生经常犯错误的题目. 当 x时，x3sin不存在极限，由于当x时，x1为无穷小，且x3sin为有界变量，由于“有界变量与无穷小之积仍为无穷小”，0)3sin1(lim3sinlim8xxxxxx12 2 【解析】本题考查的知识点为极限的运算由于分子的极限0)1(lim3x分母的极限0)1(limx， 因此所给极限不能利用极限的商的运算法则来求解，2
14、)1(lim1)1)(1(lim11lim1121xxxxxxxxx. 或利用洛必达法则可得212lim11lim121xxxxx1322)1(xxe【解析】本题考查的知识点为函数商的求异运算考生只需熟记导数运算的法则2vvuvuvu可知2)1()1()1(1xxexexeyxxx22)1(xxe本题中有些考生还不会运用求异法则，误以为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - ,)(vuuvvuvu因此出现xxxexey
15、xey)1(1，的错误 . 这是由于考生没掌握基本知识才出现的错误.14 2 【解析】本题考查的知识点为二阶导数的运算. ,2)(2xxxf,22)(xxf15,25ln21【解析】本题考查的知识点为定积分的换算法. 由于被积函数21xx分母为二次函数，分子为一次函数，本例有多种解法. 解法一利用凑微分，注意到)1(212122xddxxdx，可得222122212211)1(2111211xxddxxdxxx25ln21)1ln(21212x解法二令,12xt则,2 xdxdt当 x=1 时， t=2;当 x=2 时，t=5 dttldxxx21.21,15222125ln21ln2152t
16、. 有的考生填为,2ln21这个错误的原因是引人变量,12xt则 dt=2xdx, 得到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2121221ln21211tdttldxxx.2ln21这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化. 16 2x+3y 【解析】本题考查的知识点为偏导数的运算. 由于,2322yyxyxz可得yxxz3217.)(sinCxF【解析】本题考查的知识点为不定积分的换元法. 由于,)(
17、)(CxFdxx令,sin xu则xdxducosduufxdxxf)(cos)(sinCuF)(CxF)(sin18 0 【解析】本题考查的知识点为幂级数的收剑半径. 所给幂级数为不缺项情形!)!1(lim1lim, !nnaanannnnn因此收剑半径为0.19,9 xCey【解析】本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程. 分离变量,91dxdyy两端分别积分,91dxdyyxCeyCxy91,9ln20 （0，0）【解析】本题考查的知识点为求曲线的拐点. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
18、- - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 依求曲线拐点的一般步骤，只需（1）先求出y（2）令y=0 得出,1xkx. （3） 判定在点,1x,2xkx，两侧y的符号是否异号， 若在kx的两侧y异号，则点)(,(kkxfx为曲线)( xfy的拐点 . ,63xxy.6,632xyxy令y=0，得到 x=0.当 x=0 时， y=0. 当0 x时，y0；当0 x时，.0y因此点（ 0，0）为曲线xxy63的拐点. 本题出现较多的错误为：填x=0. 这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚。拐点的定义是：连续曲线)( xfy上的凸与凹的分界点称为之曲线
19、的拐点.其一般形式为 （)(,00 xx，这是应该引起注意的，也就是当判定y在0 x的两侧异号之后，再出)(0 xf，则拐点为（).(,00 xfx注意极值点与拐点的不同之处！三、解答题：共70 分21解：Cxxdxdxxxlnlnlnln1ln1【解析】本题考查的知识点为不定积分的换元积分运算. 注意,1)(lndxxxf通常引入变换.ln xt本例求,ln1dxxx可以令.ln xt则.1dxxdtCttdtdxxxlnln1Cxlnln也可以不写出新变元，利用凑微分法计算：Cxxxddxxxlnlnlnlnln1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
20、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 本题中出现的主要问题是不定积分运算丢掉任意常数C. 22解：tadtdxcosttdtdx432tattdtdxdtdydtdxcos432. 【解析】本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导. 只需依公式dtdxdtdydtdy，先分别求出dtdx，dtdy即可 . 23.解：,43xyyxz.4322xyyxz24. 解 ： 特征方程为0822rr特征根为4,221rr方程的通解为.4221xxeCeCy25解：001,3)3(313113131
21、nnnnnxxxx,131x即.33x26.解：设),(2limxfxA则.3)(3Axxxf两端当2x时取极限),3(2lim)(2lim3AxxxxfxA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 1 1 x xy2y 12xy.68A可解得,58A因此.524)(3xxxf27解：,2,2,112xyxyxy因此曲线12xy在点（ 1，2）处的切线方程为)1(22xy，xy2曲线,12xy切线xy2与 x=0 所围成的平面图形如图3-1 所示。其面积1023210)3()21(xxxdxxxS31图 3-1 28解：利用极坐标，区域D可以表示为,20,0r202022drrddxdyyxDdr20303138380dx 00(,)xy连续但导 数不存在可除D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -