《2022年辅助线-初二辅助线的作法例题及练习答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年辅助线-初二辅助线的作法例题及练习答案 .pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、. . DCBAEDFCBA全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2)遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3)遇到角平分线， 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线
2、段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中， AB=5 ， AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是_. 例 2、如图， ABC中， E、F 分别在 AB 、AC上， DE DF，D是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE
3、. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . EDCBA应用：1、（ 09崇文二模）以ABC的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90 ,BADCAE连接 DE，M、N分别是 BC、DE的中点探究： AM与DE的位置关系及数量关系（ 1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM与DE的数量关系是；（ 2）将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0AD+AE
4、. 取 BC中点 M,连 AM并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN. BD=CE, DM=EM, DMN EMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=CA. 延长 ND交 AB于 P,则BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . OEDCBAEDCBA四、借助角
5、平分线造全等1、如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD AD、CE 分别平分 BAC、BCA，OAC+OCA=1/2( BAC+BCA)=1/2(180 -B)=60，AOC=120 ，AOE=COD=60 ，在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF，A=AF，OAE= OAF，AO=AO ，AOEAOF(SAS) ，AOF=AOE=60 ，OE=OF ，COF=120 -AOF=60 ，在OCF 与OCD 中：COD=COF=60 ，OC=OC ，OCF=OCD，OCFOCD(ASA) ，OD=OF，OE=OD。证明：连接 OB，过点
6、 O 作 OMAB 于 M，ONBC 于 N ABC60 BAC+ACB180-ABC120 AD 平分BAC，CE 平分ACB OACBAC/2, OCAACB/2 AOC180-（OAC+OCA）180-（BAC+ACB）/2120 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . DOEAOC120 ABC+DOE180 ODB+OEB+ABC+DOE180 ODB+OEB180 OEB+ OEA180 OEAOD
7、B 又AD 平分BAC，CE 平分ACB O 是ABC 角平分线交点OB 平分ABC OMAB，ONBC OMON，OMEOND90 OMEOND （AAS）OEOD 2、如图， ABC中， AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DFAC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长 . （1）证明：连接BD，CD， AD 平分BAC ，DE AB，DFAC， DE=DF ，BED= CFD=90 ， DG BC 且平分 BC， BD=CD ，在 Rt BED 与 Rt CFD 中， Rt BED Rt CFD（HL），
8、 BE=CF ；（2）解：在 AED 和 AFD 中，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . ， AED AFD （AAS ）， AE=AF ，设 BE=x ，则 CF=x ， AB=a ， AC=b ，AE=AB BE，AF=AC+CF ， ax=b+x，解得： x= BE= ，AE=AB BE=a = 应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
9、请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图， 在 ABC 中，ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
10、 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . （2）FE=FD （5 分）如图 2，在 AC上截取 AG=AE ，连接 FG AD 是BAC的平分线，EAF= GAF ，在 EAF和GAF中 AE=AG EAF= FAG AF=AF EAF GAF （SAS ），FE=FG ，EFA= GFA=60 （6 分）GFC=180 -60-60 =60又 DFC= EFA=60 ，DFC= GFC （7 分）在 FDC和 FGC中 DFC= GFC FC=FC FCG= FCD FDC FGC （ASA ），FD=FG FE=FD
11、（8 分）（3）（2）中的结论 FE=FD仍然成立（ 9 分）同（2）可得EAF HAF，FE=FH ，EFA= HFA （ 10 分）又由（ 1）知FAC=1 2 BAC ，FCA=1 2 ACB ，FAC+ FCA=1 2 （BAC+ ACB ）=1 2 （180- B）=60AFC=180 -（FAC+ FCA ）=120EFA= HFA=180 -120 =60 （ 11 分）同（2）可得FDC FHC ，FD=FH FE=FD （12 分）1、FE=FD 如图 2，在 AC上截取 AG=AE ，连接 FG AD是BAC的平分线，EAF= GAF ，在EAF和GAF 中 AE=AG E
12、AF= FAG AF=AF EAF GAF （SAS ），FE=FG ，EFA= GFA=60 GFC=180 -60 -60 =60又 DFC= EFA=60 ，DFC= GFC 在FDC和FGC 中 DFC= GFC FC=FC FCG= FCD FDC FGC （ASA ），FD=FG 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . NMEFACBAFEDCBAFE=FD 2、第一问中的结论FE=FD仍然成立同（
13、1）可得 EAF HAF ，FE=FH ，EFA= HFA 又由（ 1）知FAC=1/2BAC ，FCA=1/2 ACB ，FAC+ FCA=1/2（BAC+ ACB ）=1/2（180- B）=60AFC=180 - （FAC+ FCA ）=120EFA= HFA=180 -120=60同（1）可得 FDC FHC ，FD=FH FE=FD 五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求 EAF的度数 . 延长 CB,在 CB延长线上取点 G使得 GB=DF, 连结 AG 那么 GB=DF,GE=GB+BE=DF+BE=EF 在直角
14、三角形 ADF和直角三角形 ABG 中, 因为角 ADF= 角 ABG 是直角又因为 GB=DF,AB=AD（都是正方形的边）所以直角三角形 ADF全等于直角三角形ABG 所以 AF=AG, 角 DAF= 角 BAG 对于三角形 AGE 和三角形 AFE 因为 AE=AE ；AG=AF;GE=FE 所以三角形 AGE 全等于三角形 AFE 所以角 GAE= 角 EAF 2*角 EAF= 角 GAE+ 角 EAF= 角 BAG+ 角 BAF= 角 FAD+ 角 BAF= 角 BAD=90 度所以角 EAF=90度/2=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点， DM DN,DM,D
15、N分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证DE=DF 。（2）若 AB=2 ，求四边形DECF 的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . 解：（1）连 CD，如图， D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， CD 平分ACB，CDAB， A=45 ， CD=DA ， BCD=45 ， CDA=90 ， DMDN ， EDF=90 ， CDE=ADF，在 DCE 和 ADF
16、中， DCE ADF， DE=DF ；（2） DCE ADF， S DCE=SADF，四边形DECF的面积 =SACD，而 AB=2 ， CD=DA=1，四边形DECF的面积 =SACD=CD DA=例 3 如图，ABC是边长为3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点 M ，交 AC于点 N，连接 MN ，则AMN的周长为；BCDNMA应用：1、 已 知 四 边 形ABC D中 ，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，名师资料总结 - - -精
17、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . 当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解：如图 1，AE+CF=EF，理由： ABAD，BCCD，AB=BC ，AE=CF，在ABE 和CBF 中，AB BC AC90AE CF，ABECBF（SAS）；
18、ABE=CBF，BE=BF ；ABC=120 ，MBN=60 ，ABE=CBF=30 ，AE=BE CF=BFMBN=60 ，BE=BF ，BEF 为等边三角形；AE+CF=BEBF=BE= EF；故答案为： AE+CF=EF ；（2）如图 2，（1）中结论成立证明：延长 FC 到 H，使 CH=AE ，连接 BH，ABAD，BCCD，A=BCH=90 ，在BCH 和BAE 中BCAB BCH A CH AE BCHBAE（SAS），BH=BE，CBH= ABE，ABC=120 ，MBN=60 ，（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN名师资料总结 - -
19、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . ABE+CBF=120 -60 =60 ，HBC+CBF=60 ，HBF=60 =MBN，在HBF 和EBF 中BHBE HBFEBF BFBF HBFEBF（SAS），HF=EF ，HF=HC+CF=AE+CF ，EF=AE+CF 图 3 中的结论不成立，线段AE、CF，EF 的数量关系是 AE=EF+CF ，证明：在 AE 上截取 AQ=CF ，连接 BQ，ABAD，BCCD，A=BC
20、F=90 ，在BCF 和BAQ 中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - . . 2、（西城 09 年一模） 已知 :PA=2,PB=4, 以 AB为一边作正方形ABCD, 使 P、D两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45 时 , 求 AB及 PD的长 ; (2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时, 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 . 解： （1） 如图（1）， 作 AE PB
21、 于点 E， APE 中，APE=45 ， PA=， AE=PA sinAPE=1， PE=PA cosAPE=1，PB=4，BE=PB-PE=3 ，在 Rt ABE 中， AEB=90 ，；如图（ 2），因为四边形ABCD 为正方形，可将 PAD 绕点 A 顺时针旋转90得到 PAB ，可得 PAD PAB ，PD=PB， PA=PA PAP=90 ， APP=45 ， PPB=90 ，；（2）如图（ 3）所示，将 PAD 绕点 A顺时针旋转90得到 PAB， PD的最大值即为 PB 的最大值，PPB 中，PBPP+PB，PP=2， PB=4 ，且 P、 D两点落在直线AB的两侧，当 P 、
22、P、B三点共线时，PB 取得最大值（见图（4），此时PB=PP+PB=6，即 PB 的最大值为6，此时 APB=180 - APP=135 。3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当M、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - -
23、- - - - - . . 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB 、AC 上，且 DM=DN时， BM 、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图 3，当 M、 N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -