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1、用心爱心专心1 2012 中考数学复习圆的证明与计算专 题圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。(一)圆与相似1.(本小题满分8 分)(2011 山东滨州, 22,8 分)如图,直线PM切 O于点 M,直线PO交 O于A、B两点,弦AC PM,连接OM 、BC. 求证:(1) ABC POM;(2)22OAOP BC. 【答案】证明: (1)直线 PM切 O于点 M , PMO=90 1 分弦 AB是直径, ACB=90 2 分 ACB= PMO 3 分 AC PM, CAB= P 4 分 ABC POM 5 分(2
2、) ABC POM, ABBCPOOM 6 分又 AB=2OA,OA=OM, 2OABCPOOA 7 分22OAOP BC 8 分2、 (2011 山东日照) (本题满分 9 分)如图, AB 是 O 的直径, AC 是弦, CD 是 O 的切线, C 为切点, ADCD 于点 D求证:(1) AOC=2ACD; (2) AC2AB AD答案 (本题满分9 分)证明: (1)CD 是 O 的切线, OCD =90,即 ACD+ACO=902 分OC=OA , ACO= CAO,AOC=180 -2ACO,即21AOC+ACO=90 . 4 分由,得: ACD-21AOC=0,即 AOC=2AC
3、D ;5 分(2)如图,连接BC AB 是直径, ACB=90 6 分在 RtACD 与 RtACD 中,AOC=2B,B=ACD,ACD ABC,8 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心2 ACADABAC,即 AC2=AB2 AD 9 分3、(2011 山东烟台, 25, 12 分)已知: AB 是 O 的直径,弦CDAB 于点 G,E 是直线 AB 上一动点(不与点A、B、G 重合) ,直线 D
4、E 交 O 于点 F,直线 CF 交直线 AB 于点 P.设 O 的半径为 r. (1)如图 1,当点 E 在直径 AB 上时,试证明:OE OPr2(2)当点 E 在 AB(或 BA)的延长线上时,以如图2 点 E 的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由. 【解】(1)证明:连接FO 并延长交 O 于 Q,连接 DQ. FQ 是O 直径, FDQ 90 . QFD Q90 . CDAB, P C90 . Q C, QFD P. FOE POF, FOE POF. OEOFOFOP.OE OPOF2r2. (2)解: (1)中的结论成立. 理由:如图
5、2,依题意画出图形,连接FO 并延长交 O 于 M,连接 CM. FM 是O 直径, FCM 90 , M CFM 90 . CD AB, E D90 . MD, CFM E. POF FOE, POF FOE. OPOFOFOE, OE OPOF2r2.(二)圆与面积1、(2011?东营)如图,已知点A、B、C、D 均在已知圆上,AD BC,BD 平分ABC ,BAD=120 ,四边形 ABCD 的周长为 15(1)求此圆的半径;(2)求图中阴影部分的面积解答:解:( 1)AD BC,BAD=120 ABC=60 A B C D E F P . O G (图 1). A B C D E .
6、O G (图 2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心3 又BD 平分ABC ,ABD= DBC= ADB=30 =,BCD=60 AB=AD=DC ,DBC=90 又在直角 BDC 中, BC 是圆的直径, BC=2DC BC+BC=15 BC=6 此圆的半径为3(2)设 BC 的中点为 O,由( 1)可知 O 即为圆心连接 OA ,OD,过 O 作 OEAD 于 E在直角 AOE 中,AOE=30
7、OE=OA?cos30=SAOD= 3=S阴影=S扇形AOD SAOD=2 (2011 山东莱芜) ( 10 分) 如图, AB 是 O 的直径,弦 DE 垂直平分半径OA,C 为垂足,DE 3,连接 BD,过点 E 作 EMBD,交 BA 的延长线于点M( 1) 求 O 的半径;( 2) 求证: EM 是 O 的切线;( 3) 若弦 DF 与直径 AB 相交于点 P,当 APD45o时,求图中阴影部分的面积答案:解:连结OE,DE 垂直平分半径OA OC=1122OAOE,1322CEDE OEC=30323cos3032ECOE(2)由( 1)知: AOE=60 ,AEAD, 1302BA
8、OE BDE=60 BD ME , MED= BDE=60 MEO=90 EM 是 O 的切线。(3)连结 OF DPA=45AMDECO PBF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心4 EOF=2EDF=90 90133=33242EOFEOFSSS2阴影扇形(3)3603、(2011? 临沂) 如图 以 O 为圆心的圆与 AOB 的边 AB 相切于点 C与 OB 相交于点 D,且 OD=BD ,己知
9、sinA=,AC=(1)求O 的半径:(2)求图中阴影部分的面枳解答:解:( 1)连接 OA ,以 O 为圆心的圆与 AOB 的边 AB 相切于点 CCOAB,sinA=,AC=假设 CO=2x,AO=5x ,4x2+21=25x2,解得: x=1,CO=2,O 的半径为 2;(2)O 的半径为 2;DO=2,DO=DB ,BO=4,BC=2,2CO=BO ,OBC,CBO=30 ,COD=60 ,图中阴影部分的面枳为:S OCBS扇形COD= 2 2=2 4、(2011 山东枣庄)(本题满分8 分) 如图,点D在O的直径AB的延长线上, 点C在O上,且 AC=CD,ACD=120. (1)求
10、证:CD是O的切线;(2)若O的半径为 2,求图中阴影部分的面积. 第 23 题图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心5 A P C O B E D 23 ( 本题满分 8 分) (1)证明:连结OC. CDAC,120ACD,30AD. 2分OCOA,230A. 290OCDACD. CD是O的切线 . 4 分(2)解 : A=30o,1260A. 2602360OBCS扇形23. 6 分在RtOCD
11、中, tan602 3CDOC. Rt1122 32 322OCDSOCCD. 图中阴影部分的面积为3223. 8 分(三)圆与切线1.(2011 山东菏泽)(本题 10 分)如图,BD 为 O 的直径, AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=2,ED=4, (1)求证 :ABE ADB; (2)求 AB 的长;(3)延长 DB 到 F,使得 BF=BO,连接 FA,试判断直线FA 与 O 的位置关系,并说明理由. 2 答案、 .解:(1)证明 :AB=AC, ABC= C, C=D, ABC= D, 又 BAE=EAB, ABE ADB, 3分(2) ABE ADB ,ABAEADAB
12、,2()(24)2=12ABAD AEAEEDAE,AB=2 3. 6分(1) 直线 FA 与 O 相切,理由如下: 连接 OA, BD 为 O 的直径, BAD=90 ,22212(24)4 3BDABAD,BF=BO=12 32BD, AB=2 3,90oBFBOABOAF可证,直线 FA 与 O 相切2 ( 2011 山东聊城) ( 8 分) 如图, AB 是半圆的直径,点O 是圆心, 点 C 是 OA 的中点, CDOA 交半圆于点D,点 E 是BD的中点,连接AE、OD,过点 D 作 DPAE 交 BA 的延长线(第 18 题图)FDOCEBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
13、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心6 于点 P( 1) 求 AOD 的度数;( 2) 求证: PD 是半圆 O 的切线23. (1)解:点C 时 OA 的中点, OC=12OA=12OD CD OA , OCD=90 。在 RtOCD 中, cos COD=12OCOD COD=60 ,即 AOD=60 。(2)证明:连结OE ,点 E 是BD的中点,DEBE, BOE=DOE=12DOB=12(180-COD)=12(180-60) =6
14、0。OA=OE , EAO= AEO ,又 EAO+ AEO= EOB=60 EAO=30 ,PDAE, P=EAO=30 。由(1)知 AOD=60 ,PDO=180-(P+POD)=180-(30+60)=90,PD 是半圆 O 的切线。3 ( 2011 山东淄博) (9 分)已知: ABC 是边长为 4的等边三角形,点O 在边 AB 上,O 过点 B 且分别与边AB ,BC 相交于点 D,E,EF AC ,垂足为F. (1)求证:直线EF 是O 的切线;(2)当直线 DF 与O 相切时,求 O 的半径 . 【答案】 解: (1)证明:连接OE,则 OB=OE。ABC 是等边三角形, AB
15、C= C=60 。OBE 是等边三角形。OEB=C =60 。OEAC。EFAC ,EFC=90 。OEF=EFC=90 。EF 是O 的切线。(2)连接 DF, DF 是O 的切线, ADF=90 。设O 的半径为r,则 BE=r,EC=4r,AD=42r。在 RtADF 中,A=60 , AF=2AD= 84r 。FC=48444rr。在 RtCEF 中 , C=60 , EC=2F C。4r=2(44r) 。解得43r。 O 的半径是43。(四)圆与新题型1 (2011 山东德州) (本题满分10 分) 观察计算当5a,3b时,2ab与ab的大小关系是 _名师资料总结 - - -精品资料
16、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心7 当4a,4b时,2ab与ab的大小关系是 _ 探究证明如图所示,ABC为圆 O 的内接三角形,AB为直径, 过 C 作CDAB于 D,设ADa,BD=b(1)分别用,a b表示线段 OC,CD;(2)探求 OC 与 CD 表达式之间存在的关系(用含a,b 的式子表示) 归纳结论根据上面的观察计算、探究证明,你能得出2ab与ab的大小关系是:_ 实践应用要制作面积为1 平方米的长方形镜框,直接利用
17、探究得出的结论,求出镜框周长的最小值22 (本题满分10 分) 观察计算 :2abab,2ab=ab.2 分 探究证明:(1)2ABADBDOC,2abOC3 分AB为 O 直径 , 90ACB. 90AACD,90ACDBCD, A= BCD. ACDCBD. 4 分ADCDCDBD. 即2CDAD BDab, CDab. 5 分(2)当ab时,OCCD,2ab=ab;ab时,OCCD,2abab6 分 结论归纳 : 2abab7 分 实践应用设长方形一边长为x米, 则另一边长为1x米, 设镜框周长为l 米,则12()lxx144xx 9 分当1xx, 即1x(米)时 , 镜框周长最小此时四
18、边形为正方形时, 周长最小为4 米 . 10 分A B C O D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心8 (五)圆与动点1 ( 2011 山东济宁)(10 分)如图, 在平面直角坐标系中,顶点为 (4,1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧) . 已知A点坐标为(0,3). (1)求此抛物线的解析式;(2) 过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D, 如果以点C为圆心的圆与直线BD
19、相切,请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积 . 23 (1)解:设抛物线为2(4)1ya x. 抛物线经过点A(0,3) ,23(04)1a.14a. 抛物线为2211(4)12344yxxx. 3 分(2) 答:l与C相交 . 4 分证明:当21(4)104x时,12x,26x. B为( 2, 0) ,C为( 6,0).223213AB. 设C与BD相切于点E,连接CE,则90BECAOB. 90ABD,90CBEABO. 又90B
20、AOABO,BAOCBE.AOBBEC. CEBCOBAB.62213CE.8213CE.6 分抛物线的对称轴l为4x,C点到l的距离为 2. 抛物线的对称轴l与C相交 .7 分(3) 解:如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q. 可求出AC的解析式为132yx.8 分AxyBOCD( 第 23 题) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心9 设P点的坐标为(m,21234mm) ,则Q点的坐标为(m
21、,132m). 2211133(23)2442PQmmmmm. 22113327()6(3)24244PACPAQPCQSSSmmm, 当3m时,PAC的面积最大为274. 此时,P点的坐标为( 3,34).10 分2(2011 山东德州)(本题满分12 分 ) 在直角坐标系xoy 中,已知点P 是反比例函数)0(32xxy图象上一个动点,以P为圆心的圆始终与y 轴相切,设切点为A(1)如图 1, P运动到与 x 轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA 的形状,并说明理由(2)如图 2, P 运动到与 x 轴相交,设交点为B, C当四边形ABCP 是菱形时:求出点A,B,C 的坐标在过 A,
22、 B, C 三点的抛物线上是否存在点M, 使 MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21 若存在,试求出所有满足条件的M 点的坐标,若不存在,试说明理由A P 2 3yxx y K O 图 1 AxyBOhttCD( 第 23 题) EPQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心10 23 (本题满分12 分)解: (1) P 分别与两坐标轴相切, P AOA,PKOK PAO=OKP=90又 AOK=90,
23、PAO=OKP=AOK=90四边形 OKPA 是矩形又 OA=OK,四边形 OKPA 是正方形2 分(2)连接 PB,设点 P 的横坐标为x,则其纵坐标为x32过点 P 作 PGBC 于 G四边形ABCP 为菱形,BC=P A=PB=PC PBC 为等边三角形在 RtPBG 中, PBG=60, PB=PA=x,PG=x32sinPBG=PBPG,即2 332xx解之得: x=2(负值舍去) PG=3,PA=BC=24 分易知四边形OGPA 是矩形, PA=OG=2,BG=CG=1,OB=OGBG=1,OC=OG+GC=3 A(0,3) ,B(1,0)C( 3,0) 6 分设二次函数解析式为:
24、y=ax2+bx+c据题意得:09303abcabcc解之得: a=33, b=4 33, c=3二次函数关系式为:234 3333yxx9 分解法一:设直线BP 的解析式为: y=ux+v,据题意得:023uvuv解之得: u=3, v=3 3直线 BP 的解析式为:33 3yx过点 A 作直线 AMPB,则可得直线AM 的解析式为:33yx解方程组:23334 3333yxyxx得:1103xy;2278 3xy过点 C 作直线 CM PB,则可设直线CM 的解析式为:3yxt 0=3 3t3 3tO A P 2 3yxx y B C 图 2 G M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
25、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心11 直线 CM 的解析式为:33 3yx解方程组:233 334 3333yxyxx得:1130 xy;2243xy综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,分别为:(0,3) , (3,0) , (4,3) , (7,8 3) 12 分解法二:12PABPBCPABCSSS,A(0,3) ,C( 3,0)显然满足条件延长 AP 交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA又 AMBC,12PB
26、MPBAPABCSSS点 M 的纵坐标为3又点 M 的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4点 M(4,3)符合要求点( 7,8 3)的求法同解法一综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,分别为:(0,3) , (3,0) , (4,3) , (7,8 3) 12 分解法三:延长AP 交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA又 AMBC,12PBMPBAPABCSSS点 M 的纵坐标为3即234 33333xx解得:10 x(舍) ,24x点 M 的坐标为( 4,3) 点( 7,8 3)的求法同解法一综上可知,满足条件的M 的坐标有四个: (0,3) , (3,0) , (4,3) , (7,8 3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - -