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1、53 第十章曲线积分与曲面积分第一节第一类曲线积分1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点( ,)x y处它的线密度为( , )x y,用对弧长的曲线积分表示：（1）这曲线弧L的长度_S; （2）这曲线弧L的质量_M; （3）这曲线弧L的重心坐标：_x;_y; （4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量_xI;_yI;0_I. 解 （1）dLSs; （2）( , )dLMx ys; （3）( , )d( , )dLLxx ysxx ys, ( , )d( , )dLLyx ysyx ys, （4）2( , )dxLIyx ys, 2( , )dyLIxx ys, 220() ( ,)
2、dLIxyx ys2.（ 1）设L为椭圆22143xy,其周长为a,求Lsyxd)43(22. （2）设L为圆周2264xy,求Lsyxd22. 解 （1）L：22143xy,即223412xy, 从而Lsyxd)43(22=Lsd12=Lsd12=12a. （2）L：2264xy, 从而Lsyxd22=Ls8d=Lsd8=828=128. 3.计算22()dLxys,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形. 解如图 10.1 所示 , 1L：0y,x从02, 2L：0 x,y从01, 3L：22xy,y从01, yxO1L2L1 3:22Lxy2 图10.1 名师资料总结
3、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - 54 2dd1() d5ddxsyyy. 从而22()dLxys=122()dLxys+222()dLxys+322()dLxys=2112222000dd5(22)dxxyyyyy=120815(485)d33yyy=5353. 4.计算22dLxys,其中L为曲线222xyx. 解 1L的参数方程为L：1cos ,sin ,xy02. 计算出dds,于是22dLxys=2220(1 co
4、s )sind=202cosd22u04cosduu=208cos du u=8. 解 2在极坐标系下,L:2cos,r22.计算出22ddsrr=2d,于是22dLxys=222 cos2d=208cos d=8. 5.求空间曲线ecostxt,esintyt,e (0)tzt的弧长 . 解222d( )( )( )dsxtytztt=22222e( cossin )e(cossin )edtttttttt=3e dtt, 从而03e d3tst.6.有一铁丝成半圆形cosxat,sinyat,0t,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标 ,求铁丝的质量 . 解22ddd()() dddxyst
5、tt=22(sin )( cos ) datatt=da t. dLms=dLy s=0sindat a t=20sin dat t=22a. 7.计算22()dLxyzs,其中L为球面222xyza与平面0 xyz的交线 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - 55 解由于222xyza与0 xyz对x,y,z都具有轮换对称性,故2dLxs=2dLys=2dLzs,dLx s=dLy s=dLz s. 于是2dL
6、xs=2221(ddd )3LLLxsyszs=2221()d3Lxyzs=2d3Las=223aa=323a. 其中dLs为圆周22220 xyzaxyz的周长 ,显然平面0 xyz过球面2222xyza的球心(0,0,0)O,所以L为该球面上的大圆,即半径为a,故周长为2 a.又因为()dLyzs=ddLLy sz s=0, 所以22()dLxyzs=323a. 第二节第二类曲线积分1.计算Lyxyyxxyx22d)(d)(,其中L为圆周222xya（按逆时针方向绕行）. 解L:cos ,sinxat yat,t由 0 到2, 从而I=Lyxyyxxyx22d)(d)(=20(cossin
7、 )( sin )(cossin )cos dttttttt=20dt=2. 2.计算22()dLxyx,其中L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(2, 4)的一段弧 . 解I=22()dLxyx=2240()dxxx=5615. 3.计算(2)ddLayxx y,其中L为摆线(sin )xa tt,(1cos )yat上对应t从 0 到2的一段弧（图10.2）. 图10.2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - 5
8、6 解I=(2)ddLayxx y=202(1cos ) (1 cos )(sin ) sin daat ata tt att=220sin datt t=22 a. 4.计算221 ()sind()sindLxyyxxxxyyy,其中L为上半椭圆221(0)xxyyy, 从点( 1,0)到点(1,0)的一段弧 . 解由221xxyy可得221xyyx,221xxyy,代入积分式 ,得221 ()sind()sindLxyyxxxxyyy=221 (1)sind(1)sindLxxxyy y=1022101 (1)sind(1)sindxxxyy y=2. 5.计算222dddxxyyzz,其
9、中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段 . 解的点向式方程为：111123xyz,从而得参数方程为1xt,12yt,13zt,t由 0 到 1. I=12220(1)2(1 2 )3(1 3 ) dtttt=111333000111(1)(1 2 )(1 3 )333ttt=32. 6.计 算zyyxddd,其 中为 有 向 闭 折 线ABCA,这 里 的A,B,C依 次 为 点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). 解如图 10.3,AB:1xy,0z,y由 0 到 1. dddABxyy z=102dy=2; BC:1yz,0 x,z由 0 到 1; dddBCxyy
10、z=10(2)dzz=32; CA:1zx,0y,x由 0 到 1; dddCAxyy z=10dx=1, 图10.3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - 57 故I=()dddABBCCAxyy z=3212=12. 7.有一质量为m的质点 ,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力f的作用 ,设该质点沿螺旋线:cosL xt,sinyt,zt从点(0,1,)2A移动到点(1,0,
11、0)B移动到点 ,求重力与力f的合力所作的功. 解依据题意 ,力f=xyzijk,故质点所受的合力()mgxyzmgFfkijk在螺旋线L上,起点A对应于2t,终点B对应于0t,即:02t. 因此 ,力F所作的功dd()dLWx xy yzmgz=02cos ( sin )sin cos()dtttttmgt=20()dtmgt=282mg. 第三节格林公式1.设xOy平面上闭曲线L所围成的闭区域为D,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来. (1) d dDx y(a) Lxyyxdd(2) 2d dDx y(b)Lyxxxdd21(3)d dDx y(c)Lxyyxdd212.利用
12、曲线积分计算星形线3cosxat,3sinyat所围成图形的面积. 解如图 10.4，因为33cossinxatxatt由0到2. 从而S=dD=Lxyyxdd21图 10.4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - 58 =2323201cos3 sincossin( 3 cossin )d2atattatattt=2 22203sincosd2att t=2 2203sin 2 d8at t=2 2031cos4d
13、82tat=238a. 3.证明2322(6)d(63)dLxyyxx yxyy只与L的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分(3,4)2322(1,2)(6)d(63)dxyyxx yxyy. 解236Pxyy,2263Qx yxy,2123PQxyyyx,所以积分与路径无关, 故(3,4)2322(1,2)(6)d(63)dxyyxx yxyy=34212(248)d(549)dxxyyy=2323412128 273xxyy=80156236. 或者( 3 , 4 )2322( 1 , 2 )( 6) d( 63) dx yyxx yx yy=(3,4)2232(1,2)(6d6d )
14、(d3d )xyxx y yyxxyy=(3,4)223(1,2)d(3)x yxy=223 (3,4)(1,2)3x yxy=236. 4.计算e (1 cos )de (sin)dxxLIyxyyy, 其中L为从(0,0)O到(,0)A的正弦曲线sinyx. 解如图 10.5 所示 ,由格林公式I=e (1 cos )de (sin)dxxLyxyyy=yyyxyxxAOAOLd)(sined)cos1 (e)(=(e )d d0 xDyx y=sin00e ddxxxy y=201e sind2xx x=01e (1 cos2 )d4xxx=0011e de cos2 d44xxxx x
15、=11(e1)(e1)420=1(e1)5. 图 10.5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - 59 其中0e cos2 dxx x=0cos2 dexx=00e cos2 |e dcos2xxxx=0e12sin2 dxex x=0e12sin2 dexx=00e12e sin2 |2e dsin 2xxxx=0e14e cos2 dxx x. 移项解之 ,得01e cos2 d(e1)5xx x. 注意本题易犯
16、两个错误：（1）I=yyyxyxxAOAOLd)(sined)cos1(e)(=(e )d dxDyx y. 产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：DLyQxPyxyPxQdddd)(, 其中C是D的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线LAO是D的取负向的边界曲线,所以二重积分()d dDQPx yxy前面必须添加负号. （2） 计算定积分0e cos2 dxx x是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法ddu vuvv u时,每次选取函数( )u x,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为( )u x就一直选三角函数,如选ex作为(
17、)u x就一直选ex）,结果就出现了恒等式ddu vu v,即前进一步又倒退一步,致使积不出来 . 5. 已知( )x连续 ,且(0)(1)0,(0,0)A,(1,1)B,计算AMBxxyyxyyId 1e)(de)(其中AMB是以AB线段为直径的上半圆周. 解如图 10.6 所示AMBxxyyxyyId 1e)(de)(=BAAMBBAxxyyxyyd 1e)(de)(=d d ( )ed( )e1dxxABDx yyyxyy图10.6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
18、第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - 60 =10( )( )e(1)d4xxxxx=111000( )e d( )e d(1)d4xxxxxxxx=11003( )e de d( )42xxxxx=111000 3( )e de( )|( )e d42xxxxxxxx= 342=3()42. 本题需注意两点：（1）同上题一样 ,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号 ; （2）因( )x是抽象函数 ,不可能直接将1100( )e d( )e dxxxxxx积出来 ,请不要先急于积分 ,先用分布积分法将10( )e dxxx表示为11
19、1000e d ( )e( ) |( )e dxxxxxxx,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中发现解题技巧 . 6.证明22()d()dxyxxyyxy在右半平面(0)x内为某一函数( ,)u x y的全微分 ,并求出一个这样的函数( ,)u x y. 解22xyPxy,22xyQxy,由于222222()PyxyxQyxyx,所以22()d()dxyxxyyxy为某一函数( , )u x y的全微分 .取定点0(1,0)M,对于右半平面上任一点( , )M x y,令(,)u x y=( ,)22(1,0)()d()dx yxyxxyyx
20、y=222100dd0 xyxxyxyxxy=22221001dddxyyxyxyyxxyxy=221lnarctanln()ln2yxxyxx=221arctanln()2yxyx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - 61 7.已知曲线积分Lyxxxyd)9(d)1 (33,其中L为圆周222()xaya(0)a,取逆时针方向,求a的值 ,使得对应曲线积分的值最大. 解显然31Py,39Qxx在区域:D222(
21、)xaya内有一阶连续的偏导数,由格林公式( )I a=LyQxPdd=()d dDQPx yxy=22(933)d dDxyx y=229d d3()d dDDx yxyx y=2 cos2320293ddaarr=24422934cosdaa=24420924cosdaa=243 1 9244 2 2aa=24992aa. 2( )18(1)Iaaa,令( )0Ia,解得1a（依题意设0a，故将0a和1a舍去） ,因为1a是( )I a在(0,)内唯一的驻点,且( )18 54Ia=36 0, 故( )I a在1a处取得最大值,因此1a,即当积分路径为22(1)1xy时,对应曲线积分的值最
22、大 . 8.求Lyxyxxy22) 1(d)1(d,其中（1）L为圆周2220 xyy的正向 ;（2）L为椭圆22480 xyx的正向 . 解 令22( ,)(1)yP x yxy,22(1)( , )(1)xQ x yxy,则当22(1)0 xy时,有22222(1)(1)QxyPxxyy, 记L所围成的闭区域为D, （1）L:2220 xyy,即22(1)1xy, 此时(1,0)D,（如图 10.7(a)所示） . 图10.7(a) 图10.7(b) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
23、- - - - 第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - 62 由于QPxy,由格林公式 , 0)1(d) 1(d22Lyxyxxy. （2）L:22480 xyx,即22(1)14yx,此时(1,0)D,以(1,0)为圆心 ,以充分小的0为半径作圆周1cos:sinxCy,由 0到2,取逆时针方向 （如图 10.7(b)所示）. 记L和C所围成的闭区域为1D,对复连通区域1D应用格林公式 ,得0) 1(d)1(d22CLyxyxxy, 从而I=Lyxyxxy22)1(d)1(d=Cyxyxxy22) 1(d)1(d=220sin(sin)coscosd=20d=2. 注意
24、（ 2）中由于点(1,0)位于L所围成的闭区域D内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点 ,考虑到被积函数的分母为22(1)xy,故取圆周1cos:sinxCy,有同学不考虑“洞” ,即点(1,0),直接用格林公式,得到0) 1(d)1(d22Lyxyxxy是错误的 . 9.求e sin()d(e cos)dxxLIyb xyxyaxy,其中a、b为正常数,L为从点(2 ,0)Aa沿曲线22yaxx到点(0,0)O的弧 . 解添加从点(0,0)O沿0y到点(2 ,0)Aa的有向直线段1L,则11d)cose(d)(sined)cose(d)(sineLxxLLxxyaxyxyxbyya
25、xyxyxbyI=20(e cos)(e cos)d ddaxxDyaybx ybx x=20()d ddaDbax ybx=22()(2 )22bbaaa=23(2)22a ba. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - 63 第四节第一类曲面积分1.设有一分布着质量的曲面,在点( , , )x y z处它的面密度为( , )x y z.用曲面积分表示：（1）这曲面的面积A=_; （2）这曲面的质量M=_; （3）
26、这曲面的重心坐标为x=_,y=_,z=_; （4）这曲面对于x轴,y轴,z轴及原点的转动惯量xI=_,yI=_,zI=_,0I=_. 解（1）A=dS. （2）M=( , , )dx y zS. （3）x=( , , )d( , , )dxx y zSx y zS,y=( , , )d( , , )dyx y zSx y zS,z=( , , )d( , , )dzx y z Sx y zS. （4）xI=22() ( , , )dyzx y zS, yI=22()( , , )dxzx y zS, zI=22() ( , , )dxyx y zS, 0I=222() ( , , )dxyzx
27、 y zS. 2.计算4(2)d3zxyS,其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分. 解如图 10.8 所示，:1234xyz,2zx,43zy, 22d1()() d dzzSx yxy=61d d3x y, 在积分曲面上 ,被积函数423zxy=4()4234xyz, 303:202xyyxDx, 从而4(2)d3zxyS=614d d3xyDx yxyzO2 3 4 图 10.8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - -
28、 - - - 64 =4 61d d3xyDx y=461 33=4 61. 3.计算Syxd)(22,其中是锥面22zxy及平面1z所围成的区域的整个边界曲面. 解如图 10.9 所示 , 1:22zxy,22zxxxy,22zyyxy, 22d1()() d dzzSx yxy=2d dx y,22:1xyDxy. 2:1z,dd dSx y,22:1xyDxy, Syxd)(22=122222()d()dxySxyS=2121220000d 2 dd d=1133002 2 d 2 d=(21)2. 4.计算I=()dxyyzzxS,其中为锥面22zxy被柱面222xyax所截成的部分(
29、0)a. 解因为积分曲面关于zOx坐标面 （即0y平面）对称 ,xyyz()y xz是关于y的奇函数 ,所以I=()ddy xzSzx S0dzx S此外 ,在上,22zxy,d2d dSx y,且在xOy面上的投影为22:2xyDxyax, 因此Idzx S22dxxyS222d dxyDx xyx y2cos32022dcos darr45208 2cosda44 28 25 3a464215a图10.9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 -
30、 - - - - - - - - 65 5.计算dS,其中为抛物面222()zxy在xOy面上方的部分. 解如图 10.10 所示 , 222()zxy,2zxx,2zyy, 22d1()() d dzzSx yxy=22144d dxyx y, 22:2xyDxy, dS=22144d dxyDxyx y=22200d14 d=12222012(1 4) d(1 4)8=22230 2(14) |4 3=133. 6.计算()dxyzS,其中为球面2222xyza上(0)zhha的部分 . 解在xOy面上的投影为圆域：2222:xyDxyah, dS=222222221()() d dxyx
31、 yaxyaxy=222d dax yaxy, 故() dxyzS=222222()d dxyDaxyaxyx yaxy由积分区域的对称性可得：222d dxyDaxx yaxy=0，222d dxyDayx yaxy=0, 又积分区域xyD的面积为22 ()ah,故() dxyzS=d dxyDax y=22()a ah. 7.求柱面220 xyax在球面2222xyza内部的部分的表面积(0)a. 解由对称性 ,所求面积A为其位于第一卦限部分面积的4 倍,即4dAS,其中曲面为2yaxx,求得面积元素图 10.10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
32、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - 66 22d1d dxzSyyx z=2d d2ax zaxx, 由22222zaxyxyax,消去y,得2zaax,由此得在zOx坐标面上的投影为: 2: 0 xzDzaax, 0 xa, 因此 ,曲面的面积4dAS=24d d2xzDax zaxx=2200d2daaaxzaxaxx=2202daaaxaxaxx=02daaaxx=24a. 8.设S为椭球面222122xyz的上半部分 ,点( , , )P x y zS,为S在点P处的切平面,(
33、 , , )f x y z为点(0,0,0)O到平面的距离 ,求d( , , )SzSf x y z解设(, ,)X Y Z为上任意一点 ,则的方程为122xXyYzZ,从而知( , )f x y z=12222()44xyz, 由22122xyz,有zx=222 122xxy,zy=222 122yxydS=221()() d dzzx yxy=22224d d2 122xyx yxy, 从而d( , , )SzSf x y z=221(4)d d4Dxyx y=222001d(4) d4=32. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
34、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - 67 第五节第二类曲面积分1.当是xOy面内的一个闭区域D时 ,( , , )df x y zS与二重积分的关系为（1）( , , )df x y zS=_d dDx y,（ 2）( , , )dR x y z S=_d dDx y. 解（1）( , ,0)f x y, （2）( , ,0)R x y. 注意因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以 (1)中应填( , ,0)f x y;而第二类曲面 积 分 与 曲 面 的 侧 有 关 ,所 以 (2) 中 应 填( ,
35、 ,0)R x y,有 个别 同 学 常 疏 忽 这 一 点 ,只 填(, 0)R x y,这是不对的 . 2.计算222d dd dd dxy zyz xzx y,其中为半球面222zaxy的上侧 . 解记1:222xayz,取前侧 ,2:222xayz取后侧 ,1与2在yoz面的投影区域相同,记为yzD. 2d dxy z=12d dxy z+22d dxy z=222222()d d()d dyzyzDDayzy zayzy z=0. 同理2d dyz x=0, 而2d dzx y=222222()d dxyaaxyx y=22200d() daa=42a. 从而I=222d dd dd
36、 dxy zyz xzx y=2d dxy z+2d dyz x+2d dzx y=0+0+42a=42a. 注意常见的错误是：2d dxy z=12d dxy z+22d dxy z=2222()d dyzDayzy z或2d dyz x=2222()d dzxDaxzz x. 产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - 68 择二重积分前的正、
37、负号. ( , , )d df x y zx y= , , ( , )d dxyDf x y z x yx y, ( , , )d dg x y zy z= ( , ), d dyzDg x y zy zy z, ( , , )d dR x y zz x= ,( ,), d dzxDR x y z xzz x. 将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：上侧取正 ,下侧取负 ; 前侧取正 ,后侧取负 ; 右侧取正 ,左侧取负 ; 3.计算yxxzdd,其中是平面0 x,0y,0z,1xyz所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
38、解如图 10.11 所示 ,1234,其中1234,各自对应于四面体的一个表面 ,可表示为1:0z下侧 ; 2:0y左侧 ; 3:0 x后侧 ; 4:1xyz上侧 . 由于1在0z平面上 ,故在1上的曲面积分为0; 同理 ,在2,3上的曲面积分也都为0,所以 ,所求积分yxxzdd=4d dxz x y由4得方程得1zxy,4在xoy面上的投影域为: 01xyDyx,01x, 于是yxxzdd=4d dxz x y=4(1)d dxxyx y=(1)d dxyDxxyx y=1100d(1)dxx xxyy=124. 4.计算d dd dd dx y zy z xz x y,其中为球面2222
39、xyzR的外侧 . 解由题设 ,的单位法向量xyO1 1 1 z1234图 10.11 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - 69 n=(cos,cos,cos)=2221(2 ,2 ,2 )(2 )(2 )(2 )xyzxyz=1( , , )x y zR. 由两类曲面积分的关系,可得d dd dd dx y zy z xz x y=( coscoscos )dxyzS=2221()dxyzSR=21dRSR=d
40、RS 几何意义24RR=34 R. 5.计算I=yxzhxzygzyxfdd)(dd)(d)d(,其中, ,f g h为连续函数 ,为平行六面体:0,0,0 xaybzc表面的外侧 . 解yxzhdd)(=( )d d(0)d dxyxyDDh cx yhx y= ( )(0)ab h ch, xzygdd)(=( )d d(0)d dxzxzDDg bz xgz x= ( )(0)ac g bg, zyxfdd)(=( )d d(0)d dyzyzDDf ay zfy z=( )(0)bc f af, 从而I=( )(0)( )(0)( )(0)f afg bgh chabcabc. 注意本
41、题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们, ,f g h为连续函数 ,又如何对, ,f g h求导呢 ? 6.计算( , , )d d2( , , )d d( , , )d df x y zxy zf x y zyz xf x y zz x y,其中( , , )f x y z为连续函数 ,是平面1xyz在第四卦限部分的上侧. 解平面1xyz的法线向量为n=1, 1,1 ,方向余弦为1cos3,1cos3,1cos3, 则I=( , , )d d2( , , )d d( , , )d df x y zxy zf x y zyz xf x y zzx y=()cos(2)cos()cos
42、 dfxfyfzS=111()(2)()()d333fxfyfzS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - 70 =1()d3xyzS=1d3S=2211()() d d3xyDzzx yxy=2211 ( 1)1 d d3xyDx y=d dxyDx y=12. 第六节高斯公式通量与散度1.设计yxxyzxzzxyzyyzxdd)(dd)(d)d(222,其中为平面0 x,0,0,yzxa ya za所围成的立体的表
43、面的外侧. 解由高斯公式 , I=yxxyzxzzxyzyyzxdd)(dd )(d)d(222=(222 )dxyz v=2()dxyz v设该正方体的形心坐标为( ,)x y z,则2axyz, 而dddx vx vxvv,dy vyv,dz vzv, 所以d,x vxvd,y vyvd,z vzv. 从而I=2()xyz v=31112()222aaa a=43a. 本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分()dxyzv的计算转化为计算()xyz v,从而使问题得到解决. 2.计算24d dd d2d dxz y zyz xyz x y,其中是球面2222xyza外侧
44、的上半部分(0)a. 解补充平面2221:0()zxya取下侧 , I=yxyzxzyzyxzdd2dddd4)(211=(422 )d0zyyv=4dz v=222 0004d ddaaz z=228d2aa=4 a. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - 71 注意易犯的错误是（1）I=24d dd d2d dxz y zyz xyz x y=(422 )dzyyv=4zdv=产生错误的原因是,没有注意到仅是球
45、面的上半部分,并非封闭曲面,不能直接用高斯公式 .尽管本题中沿曲面1的积分：124d dd d2d d0 xz y zyz xyz x y,致使题目答案未受任何影响 ,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的. （2）有同学在补充平面2221:0()zxya时,不写取什么侧,这也不妥 . 3.计算yxzxzyxfxzy)yxf(ydddd)(1dd1,其中( )f u具有一阶连续导数,为柱面222()()( )2axaya及平面0,1(0)zza所围成立体的表面外侧. 解利用高斯公式 ,有I=yxzxzyxfxzy)yxf(ydddd)(1dd1=2211()()1dxxffvyyyy=d
46、v=2()12a=24a. 4.计算yxzxzyzyxdddddd333,其中为球面2222xyza的内侧 . 解yxzxzyzyxdddddd333=2223()dxyzv=240003dsin dda=5125a. 注意易犯的错误是yxzxzyzyxdddddd333=2223()dxyzv=23dav=23433aa=54 a. 这里有两个错误：(1) 不注意高斯公式使用的条件：应是空间闭区域的整个边界曲面的外侧. 本题所给的闭曲面是球面的内侧. 因此在将闭曲面上的曲面积分yxzxzyzyxdddddd333名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
47、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - 72 化成三重积分2223()xyzdv时,前面必须写上负号. (2) 将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈. 计算三重积分222()dxyzv时, 因为为球体：2222xyza,因此不能将三重积分中的被积函数222xyz用2a代入,这种做法是常犯的错误. 只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数. 5.计算322d d2d d3d dIxy zxzz xy z x y,其中积分曲面为抛物面z22(01)xyz的上侧 . 解令221:1(1)zxy,
48、取下侧 ,则1构成封闭曲面,取内侧 . 于是yxyxzxzzyxdzd3dd2dd2231=()dPQRvxyz=223()d d dxyx y z=221223d d()dxyxyDx yxyz=22112003dddrr rrz=13206(1)drrr=2. 由于1在平面1z上,1在,zOx yOz坐标面上的投影为直线段,故d dz x=d dy z=0, 1在xOy坐标面上的投影域为22:1xyDxy,于是322d d2d d3d dxy zxz z xy z x y=123d dyx y=23d dxyDyx y=2122003dsind=2123003sindd=34. 所以113
49、22322d d2d d3d dd d2d d3d dIxy zxzz xy z x yxy zxzz xy z x y=3()24=4. 6.计算Szyxd)coscoscos(222,其中是由222xyz及zh(0)h所围成的闭曲面的外侧,cos,cos,cos是此曲面的外法线的方向余弦. 解在xOy平面上的投影区域为：222xyh. I=Szyxd)coscoscos(222名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - -
50、- 73 =yxzxzyzyxdddddd222=(222 )dxyzv=222d d()dxyhxyDx yxyzz=22222()d dd2d ddxyxyhhxyxyDDxyx yzx yz z=22222()2()()d d2d d2xyxyDDhxyxyhxyx yx y=22 22200002(cossin )d( )dd() dhhhh=23002 ( )dhh=442 24hh=42h. 7.已知向量场22xzx yy zi +j +kA,求A的散度以及A穿过流向指定侧的通量,其中为2222,1zxyxy以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧. 解令22,Pxz Qx y