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1、菲涅尔衍射常用计算方法的研究菲涅尔衍射积分有多种计算方法， 其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法， 本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下， 从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论36。2.4.1 傅里叶变换算法（ S-FFT算法）由式（ 3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程222200000exp jj,expy2j,exp2kdkU x yxjddkUxyxyd（2.4.1）式中，表示傅里叶变换。这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下
2、我们简称S-FFT 算法（ single fast Fourier transform algorithm） 。如果对式（ 2.4.1 ）进行离散化处理，则2222000000000exp jj,expj2j,exp2kdkU m x n ym xn yddkUmx nymxnyd（2.4.2）式中，0 x，0y是衍射面的抽样间隔，x ，y是观察面的抽样间隔，0m，0n，m ，n分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且001,2,mM，001,2,nN，01,2,mM，01,2,nN。0M，0N和M， N 分别为衍射面和观察面上的总抽样点数。在进行 S-FFT 计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、
3、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸。现在仅讨论沿x轴方向的情况，其结果可直接扩展到y轴方向。如果实际空间长度为0 xL米的空间取样且有xN个抽样点，由抽样定理得知，得到其最高空间频率为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 0max2xxNuL(2.4.3)这些衍射光对应的空间频率方向为maxmaxcos1uX(2.4.4)图 2.4.1 衍射屏最大尺寸示意图由图 2.4.1 和式（ 2.4.4）得max
4、maxmax222sin( /2)(2)xxLuLd（2.4.5）由式（ 2.4.3）和式（ 2.4.5）联立可得观察面的最大计算尺寸为max022224xxxxN dLLN（2.4.6）因为是傍轴计算，式（ 2.4.5）还可以近似为maxmaxsin / 2/ 21.xLud（2.4.7）同样的式（ 2.4.6）可以化简为max0 xxxNdLL（2.4.8）这个结果表明：使用S-FFT 计算法，衍射观察面的尺寸不但是波长的函数，而且是取样点数和衍射距离的函数，当衍射距离d 很小时，如果保持取样数不变，则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域。因此，该算法主要适用于衍射距离 d 较大的情况
5、。为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理，所以抽样间隔必须满足dmax/ 2xL0/ 2xL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 20 xdxN（2.4.9）2xdxN（2.4.10）将式（ 2.4.10）代入式（ 2.4.8）得20 xdxN（2.4.11）式（2.4.9）和式（ 2.4.11）是一对矛盾，只有当0 xdxxN（2.4.12）才能完全满足奈奎斯特抽样定理。同理，y轴方向采样间隔应满足0ydyyN（2
6、.4.13）数值模拟计算时， 取衍射面计算尺寸为005mmxyLL， 抽样点数 512 512，衍射图像为一“光”字，如下图2.4.1 所示图 2.4.1 衍射物用一束波长632.8nm的平行光照射， 且衍射距离取80mmd，则由式（3.2.8）观察面尺寸05mmxxxNdLL05mmyyyNdLL，则模拟计算得到衍射图像为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 图 2.4.2 衍射图2.4.2 T-FFT算法由式 （2
7、.4.1） 知， 我们可以通过使用卷积的形式对菲涅尔衍射积分进行化简，由卷积定理得知，空域的卷积运算可以由傅里叶变换转化为空域的乘积来进行计算，具体计算步骤如下：第一步，进行傅里叶变换，转换到频域进行计算，得到乘积结果22000j,exp2kUUxyxyd（2.4.14）第二步，将乘积结果逆傅里叶变换回到空域，完成衍射计算-1exp j,jkdUx yUd（2.4.15）式（2.4.14）和（ 2.4.15）中，,是频域坐标，-1表示逆傅里叶变换。整个运算过程采用了三次傅里叶变换， 称为卷积算法， 以下我们简称 T-FFT 算法（triple fast Fourier transform al
8、gorithm） 。在 T-FFT 算法中，观察面的尺寸与衍射面的尺寸是相同的，主要是因为000,Uxy与22jexp2kxyd的频谱在里相乘，要求是相同频率的频谱成分相乘，其最高频率也就必须相等， 由于抽样数是一样的， 当然要求对应的几何尺寸名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 相等，即00,xxyyLLLL（2.4.16）对于 T-FFT 算法 ，仅考虑菲涅尔传递函数的傅里叶变换式的离散抽样，根据奈奎斯特抽样定理得
9、2200,xyddxyNN。数值模拟计算时，取与S-FFT 同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mmxyLL，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为图 2.4.3 衍射图2.4.3 D-FFT算法经研究表明，22exp jjexpj2kdkxydd可以直接通过计算得到222,exp j12Hkd（2.4.17）所以，菲涅尔衍射积分公式化简为2-122000,exp j12U x,yUxykd（2.4.18）由于在计算过程中， 需要进行一次傅里叶变换和一次逆傅里叶变换，被称为角谱重建算法，以下我们简称D-FFT 算法（ Double fast Fourier transform 名师资
10、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - algorithm） 。同样的，其观察面的尺寸需满足式（2.4.16）33-36。数值模拟计算时，取与S-FFT 同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mmxyLL，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为图 2.4.4 衍射图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -