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1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点 (1) 教材分析本节内容是数学1 第三章函数的应用 3.1函数与方程的起始课方程的根与函数的零点.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点, 它从不同的角度, 将数与形 , 函数与方程有机的联系在一起. 本节是函数应用的第一课，学生在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数零点之间的关系，并结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个条件上存在零点的判定方法. 为下节“用二分法求方程的近似解”和后续
2、学习的算法提供了基础.因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形.课时分配本节内容用1 课时的时间完成，主要讲解函数的零点的概念及零点存在性的判定. 教学目标重点 : 函数的零点的概念及零点存在性的判定. 难点：探究判断函数的零点的存在性. 知识点：函数的零点的概念，函数的零点的存在性定理. 能力点：化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想的运用. 教育点：培养学生锲
3、而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯，使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感 . 自主探究点：函数的零点与方程的根的关系，函数的零点的存在性. 考试点：求函数的零点、判断函数的零点个数和所在区间的方法. 易错易混点：判断函数的零点的存在性以及零点的个数和所在区间. 拓展点：体会函数与方程的数学思想.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课师： 通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题. 为此，我们还要做一些基本的知识储备. 方程的根，我们在初中已经学习过了
4、，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数的零点”的关系 .教师活动： 板书标题（方程的根与函数的零点）.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 二、探究新知（一）方程的根与函数零点师：（多媒体展示） 问题 1求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标 . 方程2230 xx2210 xx2230
5、 xx函数223yxx221yxx223yxx函数的图象方程的实数根121,3xx121xx无实数根函 数 图 象与x轴 的交点( 1,0) 、(3,0) (1,0) 无交点问题 2若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？判别式24bac000方程20(0)axbxca的根两个不相等的实数根12,xx两个相等的实数根12,x x没有实数根函数2(0)yaxbxc a的图象名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
6、- 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数的图象与x轴的交点12,0),(,0)xx（1(,0)x没有交点学生活动： 学生讨论研究，得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论.师总结： 具体的二次函数与相应的二次方程的关系一般的二次函数与相应的二次方程的关系函数( )yf x的图象与x轴交点的 横坐标， 就是相应方程( )0f x的实数根 . 【设计意图】设置问题情境，让学生探究二次函数图象与x轴交点与方程的根的关系，体会从特殊到一般的数学思想方法.师：( 多媒体展示 ) 思考 1: 对于函数( )yf x，我们把使( )0f x的实数x叫做函数( )yf
7、 x的零点， 那么函数( )yf x的零点是一个点吗？思考 2：函数( )yf x有零点可等价于哪些说法？学生活动： 对比定义，观察图象，思考作答. 师总结： 对于函数( )yfx有零点，从“数”的角度理解，就是方程( )0f x有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点 . 从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程( )0fx有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系. 所以函数的零点实际上是方程( )0f x有实根和图象与x轴有交点的一个统一体.通过上面的探究，我们可以得到以下结论：1. 函数的零点定义：对于函数( )yf x, 使( )0f x的实数x叫做函数( )0f x的零点 .2.
8、 等价关系方程( )0f x有实数根函数( )yfx的图象与x轴有交点函数( )yf x有零点3. 零点的求法1o代数法2o图象法师： 下面就检验一下大家的实际应用能力.教师活动：（多媒体展示）练习：求下列函数的零点. (1)3xy =；2(2)logyx=；1(3)yx=；(4)(1),4(4)(4)(6),4xxxyxxx -+?=?-? ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学生活动： 由四位同学分别回答他们确
9、定零点的方法. 画图象时要求用语言描述4 个图象的画法；教师活动： 根据学生的描述，在黑板上作出图象. 【设计意图】巩固所学知识，同时在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考 . （二）函数零点存在性原理师： ( 多媒体展示 ) 思考 3: 二次函数223yxx的零点是什么？函数223yxx的图象在零点附近如何分布？探究 : （）观察二次函数32)(2xxxf的图象：在区间 (-2,1)上有零点 _；)2(f_，) 1(f_, )2(f) 1(f_0（或）在区间 (2,4) 上有零点 _；)2(f)4(f_0（或）（）观察下面函数)(xfy的图象 在区间,ba上_(
10、有/ 无) 零点；)(af)(bf_0（或） 在区间,cb上_( 有/ 无) 零点；)(bf)(cf_0（或） 在区间,dc上_( 有/ 无 ) 零点；)(cf)(df_0（或） 学生活动： 思考、讨论、回答.【设计意图】使学生应用数形结合进行回答. 培养学生善于思考的好习惯.师： 我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 么如何用代数
11、形式来描述呢？用屏幕显示223yxx的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面 . 学生活动： 通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.师： 好！我们明确一下这个结论，函数( )yf x具备什么条件时，能在区间( , )a b上存在零点？学生活动： 得出( )( )0f af b的结论 . 师： 若( )( )0f af b, 函数( )yfx在区间( , )a b上就存在零点吗？学生活动： 可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在 , a b上连续不断的函数，在满足( )( )0f af b的条件时，才会存在零点的结论. 师： 其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，
12、那就是零点存在性定理.这是我们本节课的第三个知识点.教师活动： 用屏幕显示 函数零点存在性定理：如果函数( )yf x在区间 , a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有( )( )0f af b，那么，函数( )yf x在区间( , )a b内有零点即存在( , )ca b，使得( )0f c，这个c也就是方程( )yf x的根 . 学生活动： 朗读出定理 . 【设计意图】使学生通过对定理的记忆，进一步深化刚才探究的结果. 三、理解新知师： 大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间 , a b上连续，结果推出时却是在开区间( , )a b上存在零点. 你怎样理解这种差异？学生活动： 思考作
13、答 .师： 虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？学生活动： 通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：1. 若函数( )yf x在区间 , a b上连续，且( )( )0f af b，则( )yfx在区间( , )a b内会是只有一个零点么 ?2. 若函数( )yf x在区间 , a b上连续，且( )( )0f af b，则( )yfx在区间( , )a b内就一定没有零点么？3. 在什么条件下，函数( )yf x在区间( , )a b上可存在唯一零点？师： 那我们就来解决一下这些问题.学生活动： 通过黑
14、板上的图象举出反例，得出结论.1. 若函数( )yfx在区间( , )a b上连续，且( )( )0f af b， 则只能确定( )yf x在区间( , )a b内有零点，有几个不一定.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2. 若函数( )yfx在区间 , a b上连续，且( )( )0f af b，则( )yf x在区间( , )a b内也可能有零点 .3. 在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性, 函数(
15、 )yf x在区间( , )a b上可存在唯一零点 . 【设计意图】通过上面的探究，使学生真正明白零点存在性定理的内涵. 四、运用新知（多媒体展示）例 1、求函数)1lg()(xxf的零点 小结： 求函数零点的步骤：（1）令( )0f x； （2）解方程( )0f x; （3）写出零点 . 学生活动：（变式练习）求下列函数的零点：（1）65)(2xxxf；（2）12)(xxf (3)3( )3logf xx【设计意图】进一步深化求函数的零点的代数方法，巩固基本知识.（多媒体展示）例 2 求函数( )ln26f xxx的零点个数分析：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单
16、调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？解：用计算器或计算机作出x、( )f x的对应值表（表3-1 ）和图象（图3.1 3）x1 2 3 4 5 6 7 8 9 ( )f x-4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表 3-1 和图 3.1 3 可知，(2)0,(3)0,(2)(3)0ffff则，这说明函数( )f x在区间（ 2，3）内有零点 . 由于函数( )f x在定义域(0,)内是增函数，所以它仅有一个零点. 学生活动： 能给出这个函数是增函数的证明吗？师总结 ： （几何法） 对于不能用求根公
17、式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点【设计意图】引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识学生活动：（课堂达标）完成下列各题： 1. 函数2( )(16)f xx x的零点为 ( ) . (0,0),(4,0) .0,4 . (4,0),(0,0),(4,0) . 4,0,4 2. 已知函数( )f x是定义域为的奇函数，且( )f x在上有一个零点， 则( )f x的零点个数为( ) . . . . 不确定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
18、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3. 已知函数( )f x的图象是连续不断的，有如下对应值表：x1 2 3 4 5 6 7 ( )f x23 9 -7 11 -5 -12 -26 那么函数在区间1 ，6 上的零点至少有（）个A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个4. 函数3( )35f xxx的零点所在的大致区间为（）A.( 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5) 五、课堂小结1函数零点的定义2等价关系3函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断六、
19、布置作业必做题：习题3.1 A 组第 2 题；选做题：已知2( )23,f xxxa求a取何值时能分别满足下列条件.有 2 个零点 ; 3 个零点 ; 4 个零点 .七、教后反思教学设计亮点：1、在本节课的教学中，充分发挥了学生自主探究、合作交流、严密思考的能力. 通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力 . 2、本教案在设计上环环相扣，多处设伏，前后
20、呼应，便于知识的衔接和串联、照应. 课堂教学不足之处：由于本节课以学生探究发现为主，时间上显得比较紧张，课堂上留给学生探究的时间还是少了些，造成少部分基础不好的学生没有发现规律.八、板书设计方程的根与函数的零点一、函数的零点1、定义2、方程( )0f x有实数根函数( )yf x的图象与x轴有交点函数( )yfx有零点3、 练习：求下列函数的零点. （ 四个函数图象）二函数零点存在性定理三、例题讲解例 1 例 2 四、课堂小结五、布置作业必做题：习题3.1 A 组第 2 题选做题：已知2( )23,f xxxa求a取何值时能分别满足下列条件.有2 个零点 ; 3 个零点 ; 4 个零点 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -