《2022年三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结 2.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）ABD AEC （2） +BOC=180 （3）OA平分 BOC 变形：例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（1）DBCABE(2)DCAE(3)AE与DC之间的夹角为60(4)DFBAGB(5)CFBEGB(6)BH平分AHC(7)ACGF /名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - -
2、 - - - - - 2 变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明（ 1）DBCABE（2）DCAE（3）AE与DC之间的夹角为60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式精练2： 如图两个等边三角形ABD与BCE， 连结AE与CD，证明（ 1）DBCABE(2）DCAE(3）AE与DC之间的夹角为60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC例 2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,二者相交于点H问： （1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？例 3：如图两个等腰直角
3、三角形ADC与EDG，连结CEAG,二者相交于点H问： （1）CDEADG是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 例 4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中BDAB,EBCBCBEABD,连结AE与CD，问： （1）DBCABE是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分A
4、HC？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类? 考点说明： 凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例 1】 已知：ABC 中，AM是中线求证：1()2AMABAC MCBA【练 1】在 ABC中，59ABAC，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在ABC的AB边上取两点E、F，使AEBF，连接CE、CF，求证： ACBCECFC FECBA【例 2】 如图，已知在ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，延长BE交 AC于F，AFEF，求证： ACBE名师资料总结 - - -精品资
5、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 4 FEDCBA【练1】如图，已知在ABC 中，AD是 BC 边上的中线，E是AD上一点，且BEAC ，延长BE交 AC 于F，求证：AFEFFEDCBA【练2】如图，在ABC 中，AD交 BC 于点D，点E是 BC 中点，EFAD交 CA 的延长线于点F，交AB于点 G ，若 BGCF ，求证：AD为ABC 的角平分线GFEDCBA【练 3】如图所示， 已知ABC 中，AD平分BAC ，E、F分别在BD、A
6、D上 DECD ，EFAC 求证：EFABFACDEB【例 3】 已知AM为ABC 的中线，AMB，AMC 的平分线分别交AB于E、交 AC 于F求证： BECFEF FEMCBA【练1】在 Rt ABC 中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA 、 CB 上，满足90DFE若3AD，4BE，则线段DE的长度为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 5 FEDCBA【练 2】在ABC中，点D为 BC 的中点， 点
7、M、N分别为AB、 AC 上的点， 且MDND（1）若90A，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABACMNDABC【例 4】 如图所示， 在ABC 中， ABAC ，延长AB到D，使B DAB，E为AB的中点，连接 CE 、 CD ，求证2CDEC EDCBA【练 1】已知ABC 中， ABAC ，BD为AB的延长线，且BDAB， CE 为ABC 的AB边上的中线求证：2CDCEEDCBA全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在
8、许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1.如图所示，ABC中，0045,90BC，AD 平分BAC交 BC 于D。求证： AB=AC+CD 。DACB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6 如图所示，在ABC中，060B，ABC的角平分线AD 、CE 相交于点O。求证：AE+CD=AC 。2.如图所示，已知21，P 为 BN 上一点，且BCPD于 D，AB+BC=2BD ，求证：
9、0180BCPBAP。3.如图所示，在ABCRt中， AB=AC ，090BAC，CBDABD，CE 垂直于BD 的延长线于E。求证： BD=2CE 。5 如图所示，在ABC中，090ABC，AD为BAC的平分线，C=300，ADBE于 E 点，求证： AC-AB=2BE 。EDBCADACEBOEDABC21DMBCPNAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 7 6.如图所示，已知AB/CD ，BCDABC,的平
10、分线恰好交于AD上一点 E，求证： BC=AB+CD 。7.如图， E是AOB的平分线上一点，OAEC，OBED，垂足为 C、D。求证：（1）OC=OD ； （2）DF=CF。EDBACFDCAOBE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第 8 页共 18 页三、截长补短问题 1：垂直平分线（性质）定理是_ 问题 2：角平分线（性质）定理是_ 问题 3：等腰三角形的两个底角_，简称_；如果一个三角形有两个角相等，那么
11、它们所对的边也_，简称 _问题 4：当见到线段的 _考虑截长补短，构造全等或等腰转移_、转移 _，然后和 _重新组合解决问题三角形全等之截长补短（一）一、单选题 ( 共 4道，每道 25 分)1. 已知，如图， BM平分ABC ， P为 BM上一点， PD BC 于点 D ，BD=AB+CD求证： BAP+ BCP=180 请你仔细观察下列序号所代表的内容：； 1=2；A= BEP ；AP=PE ；以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A. B. C. D. 2. 已知，如图， BM平分ABC ，点 P为 BM上一点， PD BC 于点 D ，BD=AB+DC求证： BAP+ BCP=180 名
12、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第 9 页共 18 页请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长 BA ，过点 P作 PE BA 于点 E；延长 BA到 E，使 AE=DC ，连接 PE ；延长 BA到 E，使 DC=AE ；以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A. B. C. D. 3. 已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，AD平分CDE ，BAE=2 CAD ，求证：BC+DE=CD名师资料总结 -
13、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第 10 页共 18 页请你仔细观察下列序号所代表的内容：在 CD上截取 CF=CB ，连接 AF ；在 DC上截取 DF=DE ，连接 AF；在 DC上截取 DF=DE ；AE=AF ；AF=AE ，4=3；4=3；以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A. B. C. D. 4. 已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，BAE=2 CAD ，ABC+ AED=180 ，求证：BC+D
14、E=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长 DE到 F，使 EF=BC ，连接 AF；延长 DE到 F，使 BC=EF ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 第 11 页共 18 页延长 DE到 F，连接 AF；以上空缺处依次所填最恰当的是( ) A. B. C. D. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
15、- - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件) 问题二：旋转都有哪些模型？【例 1】如图， P 是正 ABC 内的一点，若将PBC 绕点 B 旋转到 PBA ，则 PBP的度数是( ) A45B60C90D120【例 2】如图，正方形 BAFE 与正方形 ACGD 共点于 A，连接 BD、CF，求证： BDCF 并求出 DOH 的度数。【例 3】如图，正方形ABCD 中， FAD FAE 。求证： BEDFAE。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
16、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 1题干中出现对图形的旋转 现成的全等2图形中隐藏着旋转位置关系的全等形 找到并利用3题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在 通过作辅助线构造旋转！【例 4】已知：如图：正方形ABCD 中， MAN45， MAN 的两边分别交CB、DC 于点 M、N。求证： BMDNMN。【例 5】如图， 正方形 ABCD 中，EAF45 ，连接对角线BD 交 AE 于 M，交 AF 于 N，证明： DN2BM2MN2 【例 6】如图，已知 O
17、AB 和 OCD 是等边三角形，连结AC 和 BD，相交于点E，AC 和 BO 交于点 F，连结 BC。求 AEB 的大小。【例 7】如图所示： ABC 中， ACB90 ，ACBC，P 是 ABC 内的一点，且AP3，CP2，BP1，求 BPC 的度数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件) 1图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、
18、正多边形) 2这些相等的边中存在共端点。3如果旋转 (将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1大角夹半角2手拉手 (寻找旋转 ) 3被分割的特殊角测试题1如图， P 是正ABC内的一点，且BP 是 ABC 的角平分线，若将PBC绕点 P 旋转到P BA，则PBP的度数是 ( ) A45B60C90D1202 如图：ABC 中，ABAC，BC 为最大边，点D、E 分别在 BC、AC 上，BDCE，F 为 BA 延长线上一点， BFCD，则下列正确的是( ) ADFDEBDCDF CECEAD不确定3如图，四边形
19、ABCD 中， ABC30 ， ADC60 ，ADDC，则下列正确的是( ) ABD2AB2BC2BBD2AB2BC2 CBD2AB2BC2 D不确定4已知ABC中，90ACB ，CDAB 于D，AE 为角平分线交CD 于 F，则图中的直角三角形有 ( ) A7 个B6 个C5 个D4 个5如图， DA AB，EAAC，ADAB，AEAC，则下列正确的是( )PABCPCBAFDEBDAC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - -
20、- - - AABDACEBADFAESCBMFCMSDADCABE6如图，已知 P 为正方形ABCD的对角线AC 上的一点 (不与 A、C 重合 )， PEBC 与点 E， PFCD与点 F，若四边形PECF 绕点 C逆时针旋转，连结BE、DF ，则下列一定正确的是( ) ABPDPBBE2EC2BC2 CBPDFDBEDF 7如图，等腰直角ADB 与等腰直角 AEC 共点于A，连结BE、 CD ，则下列一定正确的是( ) ABEDCBADCE CBECEDBECE 8如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC 共点于A，连接BF、 CE ，则EOB 的度数为 ( ) A45B60C90D12
21、09如图，在四边形ABCD 中，ABAD，90BD，E、F分别是边BC 、 CD 上的点，且12EAFBAD。则下列一定正确的是( ) AEFBEFDBEFBEFDCEFBEFDD222EFBEFD10在正方形ABCD 中， BE3，EF5，DF4，则 BAE DCF 为( ) A45B60C90D120FEDCBAOGFECBAFEDCBASFEDCBAMDCBAEPFABCDOEFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - -
22、 - - - - 五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等. 在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考一、利用公共角例 1 如图1，AB AC, AE AF. 求证: B C. 分析：要证明B C，只需证明 BOE COF 或 ABF ACE. 而由图形可知A 是公共角，又由已知条件AB AC, AE AF,所以 ABF ACE，于是问题获证二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例 2 如图2，B、E、F、D 在同一直线上，AB CD，
23、BE DF ，AE CF，连接AC 交 BD 于点O求证：AO CO分析：要证明AO CO，只需证明 AOE COF 或 AOB COD 即可根据现有条件都无法直接证明而由已知条件AB CD，BE DF, AE CF 可直接证明ABE CDF ，则 有 AEB CFD，进而有 AEO CFO,再 利 用 对 顶 角 相 等，即可证 明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例 3 如图3，AB CD，AC BD求证： B C分析：设AC 与 BD 交于点O，此时 B 与 C 分别在 AOB 和 DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形此时
24、可以连接AD，那么AD是 ABD 和 DCA 的公共边，这样可以证明ABD DCA四、利用相等线段中的公共部分例 4 如图4，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点， AF CE. 求证： BEDF. 分析：要证明BEDF, 只需证明 BEC DFA，此时可以转换为证明AEB CFD , 进而证明 AEB CFD. 图3图2图1图4FCOACEOBOECAACDADBFFBDBE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - -
25、- - - - 五、利用等角中的公共部分例 5 如图5，已知 E 30， AB AD，AC AE， BAE DAC求 C 的度数分析：已知 E 30，要求 C，可考虑证明ABC ADE,由 BAE DAC,结合图形可知BAC DAE，于是问题获解六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例 6 如图6， 已知 DCE 90，DAC 90，BEAC 于 B, 且 DC EC, 能否找出与AB+AD 相等的线段，并说明理由分析：由于 AC AB+BC， 可以猜想AC AB+AD，或 BE AB+AD，此时只需证明AD BC 即可而事实上，用同角的余角相等可得到DCA E，从而证明 ADC
26、 BCE，问题获证例 7，如图 71，在正方形ABCD中， M,N 分别是 CD，AD 上的点， BM 与 CN相交于点O,若 BON=90，求证： DNC CMB. 变式：如图72，在等边 ABC中， M,N 分别是 AC,AB上的点， BM 与 CN 相交于点 O,若 BON=60，求证 :ANCCMB 图7-2图6图7-1图5OMCONBCBECCADABBAEDDAMN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - -
27、七、利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）构造全等三角形考点一：利用角平分线上的点到角两边的距离相等例 8，如图 8，点 P是 ABC的平分线 BN上一点， PE垂直 AB所在的直线与E,PF垂直 BC所在的直线于F, PAB+PCB=180 。求证 PA=PC. 考点二：利用截长补短法构造全等三角形所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。例 9，如图 9，在 ABC中， C2B，1 2. 求证： AB=AC+CD. 分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题
28、的转化，即延长 AC至 E使 CE=CD ，或在 AB上截取 AF=AC. 八、利用“一线三等角”模型构造全等三角形。所谓“一线三等角”是指一条直线上有三个相等角，如果有一条边相等则可以构造全等三角形. 类型一：直角三角形中的“一线三等角”例 10，如图 10， ABC中， B=90，CDAC，过 D 作 DEAB交 BC延长线与E。且 AC=CD ，求证： ABC CED 。类型二：等腰三角形中地边上的“一线三等角”例 11，如图 11，在 ABC中， AB=AC ，点 D,E分别在 AB,BC上，作 DEF= B，射线 EF交线段 AC于 F若 DE=EF, 求证： DBE ECF ；21图 11图 10图 9图 8CCDDFEBBCABEAAFPNACBDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -