《2022年第八章玻色统计和费米统计教案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第八章玻色统计和费米统计教案 .pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、热力学与统计物理课程教案授课内容 ( 教学章节 ): 第八章玻色统计和费米统计主讲教师：授课地点授课班级教材分析：本章探讨了简并气体的性质，由微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。讨论了弱简并理想玻色和费米气体的性质。玻色-爱因斯坦凝聚、金属中的电子气和光子气体这三节内容属于统计物理学的基本理论，同时也是当前的前沿科学，因此，这部分内容有助于增强学生的创新意识和实践能力。教学目标 :知道玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式；弱简并下玻色气体和费米气体的差异；理解玻色 -爱因斯坦凝聚的物理意义；能根据玻色分布讨论平衡辐射问
2、题；掌握费米动量、费米能量等概念，并会解释白矮星等的成因。教学重点与教学难点: 教学重点：玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式；玻色- 爱因斯坦凝聚现象；费米能级，费米动量。教学难点：弱简并玻色气体和费米气体的性质；光子气体、费米动量、费米能量。教学内容8.1 热力学量的统计表达式8.2 弱简并玻色气体和费米气体8.3 玻色 -爱因斯坦凝聚8.4 光子气体8.5 金属中的自由电子气体8.6 白矮星8.7 二维电子气体与量子霍尔效应教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，其中玻色-爱因斯坦凝聚和金属中的电子气体、光子气体采用对比的方法进行教学，在课堂上展开讨论。课后作业： P328 8.1
3、8.2 8.3 8.4 8.8 8.10 8.12 8.16 8.19 8.20 8.23 小论文1、玻色 - 爱因斯坦凝聚如何实现，绝对零度附近费米子系统有怎样的性质？ 2、讨论白矮星简并压的形成原因？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 第八表 玻色统计和费来统计8.1 热力学量的统计表达式一、非简并气体和简并气体第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经
4、典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件可以表达为：12232hmkTNVe或122323mkThVNn人们把满足上述条件的气体称为非简并气体，不论是玻色子还是费米子构成，都可以用玻耳兹曼处理；不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。1、玻色系统首先考虑玻色系统。如果把 ,和y看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：llllleaN1引
5、出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：llllle1 取对数得：llle)1ln(ln系统的平均总粒子数N可通过ln表示：lnN内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值：llllllleaU1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 类似地可将U通过ln表为：lnU外界对系统的广义作用力Y是yl的统计平均值：yeayYlllllll1可将Y通过ln表为：ln1yY上式的有一个重要特例是：ln1VP由式-得：)ln(l
6、n)ln()(ddyydNdYdydU注意上面引入ln的是y、函数，其全微分为：dyydddlnlnlnln故有：lnlnln)(dNdYdydU上 式 指 出是NdYdydU的 积 分 因 子 。 在 热 力 学 部 分 讲 过 ，NdYdydU有积分因子T1，使dSNdYdydUT1比较可知kT1，kT所以：)lnln(lnkddS积分得：ln)(ln)lnln(lnkUNkkS上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。2、费米系统对于费米系统，只要将配分函数改写为：llllle1其对数为：llle)1ln(ln前面得到的热力学量的表达式完全适用。名师资料总结 - - -精品
7、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8.2 弱简并玻色气体和费米气体1、弱简并气体：虽小，或3ne但不可忽略的玻色气体和费米气体。为简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度。分子的能量为: )(21222zyxpppm 。在 体 积V内 ， 在到d的 能量 范 围 内 ， 分 子 可 能 的微 观 状 态 数 为 ：dmhVgdD21233)2(2)(其中g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。系统的总分子数满足：0212331)2
8、(2edmhVgN式确定拉氏乘子。系统的内能为：0232331)2(2edmhVgU引入变量x，将上述两式改写为：1)2(22/102/33xedxxmkThVgN1)2(22/302/33xedxxkTmkThVgU两式被积函数的分母可表为：）（xxxeee1111在e小的情形下，xe是一个小量，可将xe11展开，只取头两项得：xxxeee111保留展开的第一项相当于将费米（玻色）分布近似为玻耳兹曼分布。在弱简并的情形下，保留两项。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4
9、 页，共 16 页 - - - - - - - - - 将式代入将积分求出，得：211 )2(23232eVehmkTgN；211 )2(2325232eVkTehmkTgU两式相除，得：241123eNkTU由于e小，可将上式第二项中的e用零级近似结果：gmkThVNe1)2(232代入而得：2411231)2(2411233232ngNkTgmkThVNNkTU上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。8.3 玻色-爱因斯坦凝聚上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体的性质，初步看到了由微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对系统宏观
10、性质的影响。在弱简并的情形下3n小，影响是微弱的。在本节中将会看到，当理想气体的3n等于或大于612.2的临界值时将出现独特的玻色- 爱因斯坦凝聚现象。考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为T、体积为V。假设粒子的自旋为零。根据玻色分布，处在能级l的粒子数为：11kTllllleea显然，处在任一能级的粒子数都不能取负值。从式可看出，这要求对所有能级l均有1kTle。以0表粒子的最低能级，这个要求也可表达为：0。这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点即00，则式可表为：0。化学势由公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
11、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - nVNeVlkTll11确定为温度T及粒子数密度VNn/的函数。在粒子数密度n给定的情形下，温度愈低由式确定的值越高。将式的求和用积分代替，可将之表达为：nedmhVkTl0212331)2(2化学势随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度CT时，将趋于0。这时kTe趋于 1。临界温度CT由下式定出：nedmhVclkT0212331)2(2nedxxmkThkTxxCc0212331)2(2,可得：令：因此对于给定的粒子数密度n
12、，临界温度CT为：32223)612.2(2nmkhTc温度低于CT时会出现什么现象呢？前面的讨论指出，温度愈低时值愈高，但在任何温度下必是负的。由此可知在CTT时，仍趋于0。但这时式左方将小于n，与VNn给定的条件矛盾。产生这个矛盾的原因是，我们用式的积分代替式的求和。由于状态密度中含有因子，在将式改为式时，0的项就被弃掉了。由可以看出，在CT以上为负的有限值时，处在能级0的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积分代替求和引起的误差是可以忽略的；但在CT以下趋于0时，处在能级0的粒子数将是很大的数值，不能忽略。因此，在CTT时，应将式改写为：nedmhTnkT02/12/330122名师资料总
13、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 的粒子数密度，时处在能级是温度为第一项00TTn。的粒子数密度第二项是00n计算式的第二项。令kTx/，可得：230212330)(1)2(2CkTTTnedmhn将上式代入式可得，温度为T时处在最低能级0的粒子数密度为：)(1230CTTnTn由此可知，在CT以下0n与n具有相同的量级。我们知道，在绝对零度下粒子将尽可能占据能量最低的状态，对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限
14、制，因此，绝对零度下玻色粒子将全部处在0的最低能级。式表明，在CTT时就有宏观量级的粒子在能级0凝聚。这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。CT称为凝聚温度。8.4 光子气体1、推导普朗克公式前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的特性和612.23n时理想玻色气体出现的凝聚现象，所讨论的系统具有确定的粒子数。本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。如7.4讲过，空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。根据6.2 ，具有一定的波矢k和圆频率的单色平面波与具有一定的动量p和能量的光子相应。动量p与波矢
15、k，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系：kp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 考虑到ck，得：cp 这是光子的能量动量关系。光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子。这样光子气体的统计分布为：1lllea因为0,kT意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。光子的自旋量子数为1。自旋
16、在动量方向的投影可取两个可能值，相当于左、右圆偏振。考虑到光子自旋有两个投影，可知在体积为V的空窖内，在p到dpp的动量范围内，光子的量子态数为dPPcVdPPD238)(将和二式代入上式可得，在体积为V的空窖内，在到d的圆频率范围内，光子的量子态数为：dcVdD232)(平均光子数为：1232kTedcV辐射场的内能则为：decVdDdTUkT1)(),(332上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。2、讨论：（1） 、在1kT的低频范围内，kTekT1上式可近似为：kTdcVdTU232),(此即为瑞利金斯公式（2）在1kT的高频范围内，1kTe上式可近似为：名师资料总结 -
17、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - decVdTUkT332),(此即为维恩公式3、光子气体的统计分布decVelll02321ln1lnln光子气体的内能为：4334215lnTcVkU8.5 金属中的自由电子气体一、电子气体的性质前面讨论了玻色气体，现在转而讨论费米气体的性质。如前所述，当气体满足非简并条件1e或13n时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。弱简并的情形初步显示了二者的差异。本节金属中的自
18、由电子气体为例，讨论强简并1e或13n情形下费米气体的特性。原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成公有电子。失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立子。实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。这是经典统计理论遇到的困难。另外，金属中的自由电子形成强简并的费米气体。根据费米分布，温度为T时处在能量为的一个量子态上的平均电子数为：11kTef考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V内，能量到d的范围内，电子的量子态数为：dmhVdD2123324。所以
19、在体积V内，能量到d的范围内，平均电子数为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 1)2(42/12/33kTedmhV在给定电子数N，温度T和体积V时，化学势由下式确定：NedmhVkT1)2(42/102/33由上式可知，是温度T和电子密度VN /的函数。现在讨论KT0时电子的分布。以0表示K0时电子气体的化学势，由式知，K0时，EMBED Equation.3 0, 1f0,0f上式的物理意义是，在KT0时，在
20、0的每一量子态上平均电子数为1，在0的每一量子态上平均电子数为0。这分布可以这样理解：在K0时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从0的状态起依次填充至0为止。0是电子K0时的最大能量，由下式确定：NdmhV)0(02/12/33)2(4将上式积分，可解得0为：2/322)3(2)0(VNm0也常称为费米能级，以F表示。令mpFF22，可得：3/123npFFp是K0电子气体的最大动量，称为费米动量。相应速率mpvFF称为费米速率。现在对0的数值作一估计。除质量m外，0取决于电子气体的数密度n。根据前面给出的数据，可以算得铜的J18101
21、2.10或eV0.7。定义费名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 米温度：0kTF得到铜的FT为K4102 .8，远高于通常考虑的温度，说明0的数值是很大的。K0电子气体的内能为：)0(53)2(4)0()0(02/32/33NdmhVU由此可知，K0时电子的平均能量为053。K0时电子气体的压强为：0520320nVUp根据前面的数据，可得K0时铜的电子气体的压强为Pa10108.3。这是一个极大的数值。它是泡利
22、不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体的简并压。现在讨论K0时金属中自由电子的分布。由式可知：21f，21f，21f，上式表明，在0T时，在的每一量子态上平均电子数大于2/1，在的每一量子态上平均电子数等于2/1，的每一量子态上平均电子数小于2/1。费米气体的强简并条件1kTe也往往表达为FTT。由此可知，只有能量在附近，量级为kT范围内的电子对热容量有贡献。根据这一考虑，可以粗略估计电子气体的热容量。以有效N表示能量在附近kT范围内对热容量有贡献的有效电子数：NkTN有效。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
23、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为kT23，则金属中自由电子对热容量的贡献为：FVTTNkkTNkC23)(23现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。电子数N满足：1)2(42/102/33kTedmhVN上式确定自由电子气体的化学势。电子气体的内能U为：1)2(42/302/33kTedmhVU以上两式的积分都可写成下述形式：1)(0kTedI其中分别为2/1C和2/3C，常数2/3324mhVC。分步积分可得：222/38132kTCN222/58515
24、2kTCU3/2222/33/28132kTCCN作相应的近似可得：222/5222/508510121052kTkTCU名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2201251053kTN积分可得电子气体的定容热容量为：TkTNkTUCVV0202这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。如前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按3T随温度而减少；电子容量与T成正比，减少
25、比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。前面的理论将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。我们知道，由于粒子在空间排列的周期性，粒子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在库仑相互作用，更深入地描述金属中电子的运动相当复杂。8.6 白矮星一、白矮星恒星的能源来自星体上发生的热核反应。白矮星是比较老的一种恒星，星体上热核反应的燃料- 氦已经基本耗尽，星体物质基本上是核聚变的产物- 氦。中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的热核反应，热核反应所产生的向外辐射压
26、与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到整个恒星质量的%15%10时，靠氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在巨大的压力下，原子核挤得很密，恒星温度急剧上升。恒星温度很高，其粒子的平均热能为eV310，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态- 白矮星。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
27、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 以天狼星伴星（白矮星）为例：KTcmggM7373310.1010，每个粒子的平均热能eV310，比氦原子的电离能eV50大得多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成，则白矮星总质量为：倍太阳质量4.1242ppeNmmNNmM1、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体质子质量。白矮星质量，电子密度：:102/2/330pppmMcmmMmMVNnJVNm133/222105 .03
28、20费米能量：。，远高于白矮星的温度相应的费米温度KkTF91030说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被激发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光滑的。与电子静止质量相应的能量：Jsmkgmc132283020101.103101具有相同的数量级，与00因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。2、白矮星电子气的简并压3/522/322352VNmP性的，则：如果电子气是非相对论3/43/18341VNchP子气的简并压为：极端相对论性情形下电3、白矮星的半径假设星体是球形的，由于简并压的存在：dRRPdEdR24时，其内能改变为：当星体半径改变dRRGMadR
29、dRdEdEdRRGMaEggg222时，引力势能的改变：当星体半径改变，白矮星的引力势能：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 424RGMaP之和为零，故有：平衡时两式的能量改变EMBED Equation.3 213MRnRMnVN：，可得非相对论情形下和由于上式说明质量越大的白矮星半径越小。当星体密度再增大，电子将被原子核俘获：。成为主导，成为中子星数，简并中子气，星体中子数超过电子，当3111.103cm
30、gAeAZZ中子星依靠中子简并压力来阻止强大引力造成的进一步坍缩。中子星的极端物理条件：超高密度超高温、超高压、超强磁场和超辐射，在地球上无法实现，所以中子星就成了极端物理条件的实验室，帮助人们了解物质在极端条件下的运动变化规律。8.7二维电子气体和量子霍尔效应20 世纪 60 年代以来，低维物理的研究取得了重大进展。20 世纪 80 年代整数和分数量子霍尔效应的发现是其中最重要的进展之一。本节对低维强磁场中二维电子气体的特性和整数量子霍尔效应作简单介绍。电子在xy平面自由运动的能量可表为：2222yxkkm，其中xk和yk分别是电子在x和y方向的动量，m是电子的有效质量。由于动量的可能值是连
31、续的，能量也形成准连续谱。习题6.3 给出二维自由电子在单位面积上的状态密度为：22mD上式未计及自旋，在上式给出的每一个态上，电子自旋可以有两个取向。以,21表示电子在z方向运动的分立能级。电子的能量可以表为：2222yxjkkm对应于每一个能级j，电子二维运动的能量形成一个子能带。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 0T时电子将尽可能占据能量最低的状态，从0的状态起依次填充至费米能级F为止。如果界面电子密度n满足下式：122mn费米能级F将低于2，电子只占据最低子带。这种情形称为量子极限。在相反的情形下，电子将溢为第二甚至更高的子带。量子霍尔效应分为整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应两种情况考虑。量子霍尔效应具有丰富的物理内容，引出一些全新的概念，目前对量子霍尔效应的研究正在深入进行。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -