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1、06-7-20控制工程基础1第六章第六章 控制系统的误差分析和计算控制系统的误差分析和计算第十五讲第十五讲基本概念、输入引起的误差基本概念、输入引起的误差06-7-20控制工程基础2 稳态误差的不可避免性稳态误差的不可避免性 ：稳态误差：稳态误差：系统控制准确度的一种度量，过渡过程完成后的系统控制准确度的一种度量，过渡过程完成后的误差称为系统稳态误差，通常也称为系统的稳态性能。误差称为系统稳态误差，通常也称为系统的稳态性能。u控制系统的结构控制系统的结构u输入作用的类型（控制量或扰动量）输入作用的类型（控制量或扰动量）u输入作用的形式（阶跃输入、斜坡输入或加速度输入）输入作用的形式（阶跃输入、
2、斜坡输入或加速度输入）u机电控制系统中元件的不完善，如静摩擦、间隙及放大器机电控制系统中元件的不完善，如静摩擦、间隙及放大器的零点偏移、元件老化或变质等。的零点偏移、元件老化或变质等。控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，就是尽量减小稳态误差。的任务之一，就是尽量减小稳态误差。06-7-20控制工程基础3在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。无差系统：无差系统：有差系统：有差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。本章主要讨论本章主要讨论
3、u干扰引起的误差。干扰引起的误差。 u由于系统结构、输入作用形式和类型由于系统结构、输入作用形式和类型产生的误差产生的误差 。显然，只有系统稳定，研究稳态误差才有意义。对于不稳定显然，只有系统稳定，研究稳态误差才有意义。对于不稳定的系统，不存在研究稳态误差的可能性。的系统，不存在研究稳态误差的可能性。原理性稳态误差：原理性稳态误差：由于系统不能很好跟踪输入信号，或者由于系统不能很好跟踪输入信号，或者由于扰动作用而引起的稳态误差。由于扰动作用而引起的稳态误差。06-7-20控制工程基础46.1 6.1 稳态误差的基本概念稳态误差的基本概念 图图6-1 6-1 误差和偏差的概念误差和偏差的概念1(
4、 )G s2( )G s( )H s( ) s( )E s( )N s( )iX s( )Y s( )oiXs( )oXs( ) s06-7-20控制工程基础5误误差：差：希望的输出量和实际的输出量之差，记作希望的输出量和实际的输出量之差，记作 ( )e tsse偏差偏差：输输入信号和反馈信号之差，记作入信号和反馈信号之差，记作( ) t注意误注意误差和偏差的区别：差和偏差的区别：偏差信号的稳态分量，称为稳态偏差，记作偏差信号的稳态分量，称为稳态偏差，记作ss误差信号的稳态分量，称为稳态误差，记作误差信号的稳态分量，称为稳态误差，记作06-7-20控制工程基础6( )( )( )( )ioE
5、ss X sX s(6-1)(6-1)误差信号误差信号( )( )( )isX sY s(6-2)(6-2)偏差信号偏差信号( )( )( )( ) ( )( )( )( )oiioXss X ss Y ss H s X s( )oiXs和和 ( )oX s相等，则相等，则 1( )( )sH s1( )( )( )( )ioE sX sX sH s(6-3)(6-3)误差信号误差信号11( )( )( )( )( )iosX sX sH sH s(6-4)(6-4)偏差信号偏差信号06-7-20控制工程基础71( )( )( )E ssH s(6-5)(6-5)或或比较（比较（6-36-3）
6、和（）和（6-46-4）可得误）可得误差信号和偏差信号之间的关系为：差信号和偏差信号之间的关系为：实际系统中，实际系统中， 往往是一个常数，因此误差信号和往往是一个常数，因此误差信号和偏差信号之间存在一个比例关系，特别是对单位反偏差信号之间存在一个比例关系，特别是对单位反馈系统，馈系统， 可直接用偏差信号表示误差信号。可直接用偏差信号表示误差信号。求了稳态偏差，就得到了稳态误差。求了稳态偏差，就得到了稳态误差。 ( )( ) ( )sH s E s( )H s( )1H s 06-7-20控制工程基础86.2 6.2 输入引起的稳态误差输入引起的稳态误差一一 误差传递函数与稳态误差误差传递函数
7、与稳态误差由图由图6-26-2可得单位反馈系统可得单位反馈系统误差传递函数及误差信号误差传递函数及误差信号( )1( )( )1( )eiE ssX sG s1( )( ) ( )( )1( )eiiE ss X sX sGs(6-6)(6-6)图图6-2 6-2 单位反馈系统框图单位反馈系统框图( )G s( )iX s( )oXs( )E s11( ) ( )( )( )eie tLE sLs X s( )( )( )tssse te tet1 单位反馈系统的误差传递函数单位反馈系统的误差传递函数与稳态误差与稳态误差06-7-20控制工程基础9( )tse t：误差信号的瞬态分量，由于系统
8、稳定，必：误差信号的瞬态分量，由于系统稳定，必有有lim( )0tste t( )sset：误差信号的稳态分量，即为控制系统的稳态误差。：误差信号的稳态分量，即为控制系统的稳态误差。( )lim( )ssssssteeet 如果有理函数如果有理函数 除在原点处有唯一的极点外，在除在原点处有唯一的极点外，在S S右半右半平面及虚轴上解析，即平面及虚轴上解析，即 的极点均位于的极点均位于S S平面左半平面平面左半平面（包括坐标原点），则可根据拉氏变换的终值定理，方便（包括坐标原点），则可根据拉氏变换的终值定理，方便地求出系统的稳态误差：地求出系统的稳态误差：( )sE s( )sE s001lim
9、( )lim( )lim( )1( )ssssitsseetsE ssX sG s注意：注意：上式稳态误差是误差信号的稳态分量上式稳态误差是误差信号的稳态分量 在在 时的数值，它不能反映时的数值，它不能反映 随时间随时间 的变化规律。的变化规律。( )ssett ( )ssett(6-7)(6-7)( )( )( )tssse te tet06-7-20控制工程基础10由图由图6-36-3可得非单位反馈系统偏差传可得非单位反馈系统偏差传递函数及偏差信号递函数及偏差信号( )1( )( )1( )( )eissX sG s H s1( )( ) ( )( )1( ) ( )eiiss X sX
10、sGs H s(6-8)(6-8)图图6-3 6-3 非单位反馈系统框图非单位反馈系统框图( )G s( )H s( )iX s( )oXs( ) s2 非单位反馈系统的误差（偏差）非单位反馈系统的误差（偏差）传递函数与稳态误差（偏差）传递函数与稳态误差（偏差）001lim( )lim( )lim( )1( )( )ssssitsstsssX sG s H s(6-9)(6-9)011lim( )( )1( )( )ssisesX sH sG s H s(6-10)(6-10)同同（6-76-7）式：式：06-7-20控制工程基础11例例1 1 某反馈系统如图所示，当某反馈系统如图所示，当 )
11、( 1)(ttxi时，求系统的稳态误差。时，求系统的稳态误差。 解：（解：（1）首先判断系统的稳定性）首先判断系统的稳定性ssG10)(10( )1010( )101oiXssX sss 一阶系统，因此系统稳定的。一阶系统，因此系统稳定的。（2）求误差传递函数）求误差传递函数 101011)(11)(ssssGsessXi1)(ssssXssEie110)()()(010110)(limlimlim000sssssssEsesssss误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。 ( )iX s( )oX s10s( )E s06-
12、7-20控制工程基础120100200300400500600-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4例例2 2 二阶系统在单位阶跃输入作用下的响应的二阶系统在单位阶跃输入作用下的响应的误差曲线误差曲线 2n4 . 046 . 14)(2sssS(S+2n)n2图6-4 标准形式的二阶系统方块图_( )iX s( )oX s211.6( )( )1( )1.64isE sX sG sss0( )0limssses E s4( )(1.6)G ss s06-7-20控制工程基础130100200300400500600-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10例例3 3
13、二阶系统在单位斜坡输入二阶系统在单位斜坡输入作用下的响应的作用下的响应的误差曲线误差曲线 S(S+2n)n2图6-5 标准形式的二阶系统方块图_( )iX s( )oX s211.61( )( )1( )1.64isE sX sG ssss0( )0.4limssses E s06-7-20控制工程基础14 由稳态误差的计算公式可见，控制系统的稳态由稳态误差的计算公式可见，控制系统的稳态误差数值，与开环传递函数误差数值，与开环传递函数 的结构和输入信的结构和输入信号号 的形式密切相关。对于一个给定的稳定系统，的形式密切相关。对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差当输
14、入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。就取决于开环传递函数所描述的系统结构。( )Gs( )iX s令单位反馈系统开环传递函数为：令单位反馈系统开环传递函数为：二二 系统类型系统类型,) 1() 1()(11PPmnsTssKsGjnjiminnt(6-11)(6-11)06-7-20控制工程基础15！ 系统类型系统类型(type)与系统的阶数与系统的阶数(order)的区别的区别K K：系统开环增益：系统开环增益011( )(1)/(1)mn viiijG ssTst令：令：则必有：则必有：00lim( )1sG s0( )( )vKG sG ss221
15、00:不会碰到。系统在控制工程中一般种类型的很难使之稳定，所以这型以上的系统，实际上时，型系统型系统型系统节数为系统中含有的积分环IIIIInnnnn06-7-20控制工程基础161000lim( )( )lim1( )limviisssvsssX sX sesG sKs由式（由式（6-76-7）可以看出，影响稳态误差的因素有：可以看出，影响稳态误差的因素有：u系统型别系统型别u系统开环增益系统开环增益u输入信号的形式和幅值输入信号的形式和幅值以下讨论不同型别系统在不同输入信号作用下的稳态以下讨论不同型别系统在不同输入信号作用下的稳态误差计算。误差计算。注意：注意：讨论的典型输入信号是阶跃、斜
16、坡、加速度及其讨论的典型输入信号是阶跃、斜坡、加速度及其组合作用。组合作用。(6-12)(6-12)06-7-20控制工程基础17三三 典型输入信号作用下不同型别系统的稳态误差计算典型输入信号作用下不同型别系统的稳态误差计算1 1 阶跃信号作用下的稳态误差与静态位置误差系数阶跃信号作用下的稳态误差与静态位置误差系数 由式（由式（6-126-12）101ssReKv常数，v=0( )1( )ix tRt( )iRX ss实质上，由式（实质上，由式（6-76-7）000( )( )lim( )lim( )lim1( )1 lim ( )isssstssssX sRee tsE sG sG s 1p
17、RKR R为阶跃信号的幅度为阶跃信号的幅度06-7-20控制工程基础18,1pKK，v=0v定义定义静态位置误差系数静态位置误差系数 ：0( )(0)limpsKG sG0( )( )vKG sG ss注意到：注意到：如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，则必须则必须型及型及型以上的系统。型以上的系统。习惯上，常把系统在阶跃输入作用的稳态误差称为习惯上，常把系统在阶跃输入作用的稳态误差称为静差。静差。(6-13)(6-13)06-7-20控制工程基础190 0型系统型系统有静差系统或零阶无差度系统。有静差系统或零阶无差度系统。1 1型系统型系统
18、一阶无差度系统。一阶无差度系统。2 2型系统型系统二阶无差度系统。二阶无差度系统。2 2 斜坡信号作用下的稳态误差与静态速度误差系数斜坡信号作用下的稳态误差与静态速度误差系数 由式（由式（6-126-12）,0,ssReK，v=0v=1v=2( )ix tRt2( )iRX ss06-7-20控制工程基础20000000( )( )lim( )lim( )limlim1( )lim( )limlim( )isssstsssssvssX sRee tsE sG sssG sRRsG sK ,1,2vKK0，v=0v=v定义定义静态速度误差系数静态速度误差系数 10( )( )limvvsKKsG
19、 s H ss注意：注意：速度误差表示的是系统在斜坡输入（速度）作用速度误差表示的是系统在斜坡输入（速度）作用下，系统稳态输出与输入在位置上的误差。下，系统稳态输出与输入在位置上的误差。实质上，由式（实质上，由式（6-76-7）06-7-20控制工程基础210 0型系统型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入。在稳态时不能跟踪斜坡输入。1 1型系统型系统在稳态时速度恰好与输入速度相同，但存在在稳态时速度恰好与输入速度相同，但存在 稳态位置误差。稳态位置误差。2 2型系统型系统在稳态时能跟踪斜坡输入，不存在位置误差。在稳态时能跟踪斜坡输入，不存在位置误差。3 3 等加速信号作用下的稳态误差与静态加速度误差
20、系数等加速信号作用下的稳态误差与静态加速度误差系数 由式（由式（6-126-12）,0,3ssReK，v=0,1v=2v2( )2iRtx t 3( )iRX ss06-7-20控制工程基础22220000200( )( )lim( )lim( )limlim1( )lim( )limlim( )isssstsssssassX sRee tsE sG sss G sRRs G sK ,3aKK0，v=0,1v=2v定义定义加静态速度误差系数加静态速度误差系数 220( )limavsKKs G ss注意：注意：同样加同样加速度误差表示的是系统在加速度输入作用速度误差表示的是系统在加速度输入作用
21、下，系统稳态输出与输入在位置上的误差。下，系统稳态输出与输入在位置上的误差。同样，由式（同样，由式（6-76-7）06-7-20控制工程基础230 0型、型、1 1型系统型系统在稳态时不能跟踪加速度输入。在稳态时不能跟踪加速度输入。2 2型系统型系统在稳态时加速度恰好与输入加速度相同，但在稳态时加速度恰好与输入加速度相同，但存在稳态位置误差。存在稳态位置误差。3 3型及以上系统型及以上系统在稳态时能跟踪加速度输入，不存在在稳态时能跟踪加速度输入，不存在位置误差。位置误差。06-7-20控制工程基础24静态位置静态位置误差系数误差系数 pKvK静态加速度静态加速度误差系数误差系数 aK 误差系数
22、误差系数类型类型 0 0型型 K K 0 0 0 0 型型 K K 0 0 型型 K K静态速度静态速度误差系数误差系数不同类型系统误差系数表不同类型系统误差系数表0( )(0)limpsKG sG10( )( )limvvsKKsG s H ss220( )limavsKKs G ss06-7-20控制工程基础25 0)(Rtrtvtr0)( 2021)(tatrKR10Kv0Ka0 输入输入类型类型0 0型型型型0 0型型0 00 0sse关）有关、开环传递函数有就越小（与系统稳态误差静态误差系数K不同类型系统稳态误差表不同类型系统稳态误差表06-7-20控制工程基础264 4多种典型函数
23、组合信号作用下的稳态误差多种典型函数组合信号作用下的稳态误差对于线性系统，在多种典型函数组合信号的作用，如：对于线性系统，在多种典型函数组合信号的作用，如：20121( )1( )2r tRtRtR t根据叠加原理，可将每一分量单独作用于系统，再将根据叠加原理，可将每一分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到：各稳态误差分量叠加起来，得到：0121sspvaRRReKKK显然，这时至少应选用显然，这时至少应选用2 2型系统，否则稳态误差会无型系统，否则稳态误差会无穷大。由此可见，高型别的系统对提高系统的控制准穷大。由此可见，高型别的系统对提高系统的控制准确度有利，但应以确保稳定性为
24、前提。确度有利，但应以确保稳定性为前提。06-7-20控制工程基础275 5 一般输入信号（非典型信号作用下）的稳态误差分析一般输入信号（非典型信号作用下）的稳态误差分析 上述推导的结果是针对几个典型输入信号得出的，一般上述推导的结果是针对几个典型输入信号得出的，一般信号和上述典型信号不一样，但由于一般输入信号变化比较信号和上述典型信号不一样，但由于一般输入信号变化比较缓慢，故可将输入信号缓慢，故可将输入信号 在在 点附近展开成台劳级点附近展开成台劳级数数 )(txi0t2 ) 0 (! 21) 0 () 0 ()(txtxxtxiiii（1 1） 令式中：令式中：01|)()0(tiidtt
25、dxxa022 2|)()0(tiidttxdxa从式（从式（1 1）可看出，一般的输入信号可表达为几个典型信号之和，）可看出，一般的输入信号可表达为几个典型信号之和，系统的稳态误差就可看成是上述典型信号分别作用下的稳态误系统的稳态误差就可看成是上述典型信号分别作用下的稳态误差的总和。差的总和。06-7-20控制工程基础28例例6-2 6-2 设有二阶振荡系统如图设有二阶振荡系统如图6-66-6所示。所示。 试求系统在单位阶跃、试求系统在单位阶跃、单位恒速和单位恒加速输入时的稳态误差。单位恒速和单位恒加速输入时的稳态误差。解：首先判断系统的稳定性解：首先判断系统的稳定性22( )1(2)(1)
26、2nnnnG ss sss系统是二阶振荡系统，因此系统稳定的。系统是二阶振荡系统，因此系统稳定的。由于是单位反馈系统，偏差即误差。另外，该系统是由于是单位反馈系统，偏差即误差。另外，该系统是型系统。型系统。 ( )iX s( )oX s2(2)nns s( )E s图图6-6 6-6 例例6-26-2系统方块图系统方块图06-7-20控制工程基础29单位阶跃时，单位阶跃时，0sse 单位恒速输入时，单位恒速输入时，112ssvneKK=常量常量单位恒加速输入时，单位恒加速输入时，sse 即系统不能承受恒加速输入即系统不能承受恒加速输入小 结v同一系统，在输入信号不同时，系统稳态误差不相同；v位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、加速度时所引起的输出上的误差；v对于单位反馈控制系统，稳态误差等于稳态偏差；v对于非单位反馈控制系统，先求出稳态偏差，再除以反馈传函；v如为非阶跃、斜坡、加速度输入信号时，可把输入信号在时间t=0附近展开成泰勒级数，然后根据线性系统的叠加原理求取。06-7-20控制工程基础30谢谢！ 结束