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1、上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页第第3章章 函数逼近与曲线拟合函数逼近与曲线拟合 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 3.2 正交多项式正交多项式Lagrange and Chebyshev 3.3 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式 3.4 最佳平方逼近多项式最佳平方逼近多项式 3.5 曲线拟和的最小二乘法曲线拟和的最小二乘法 3.6* 最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换 3.7* 有理逼近有理逼近上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 曲线拟合也叫函数逼近，就是用简单的函数曲线拟合也叫函数逼近，就是用简单的函数P(x)近似
2、代替函数近似代替函数f (x)，f (x)称为称为逼近（被拟合）函逼近（被拟合）函数数， P(x)称为称为逼近（拟合）函数逼近（拟合）函数. 前面所学的插值函数也是函数逼近的一种重要前面所学的插值函数也是函数逼近的一种重要的方法，它虽然在节点处函数值精确相等（甚至导的方法，它虽然在节点处函数值精确相等（甚至导数值也相等），但它的缺陷是在非节点处误差可能数值也相等），但它的缺陷是在非节点处误差可能很大，即所谓的很大，即所谓的龙格现象龙格现象就是一个例子。再一个原就是一个例子。再一个原因是数据的来源可能也是有误差的，因此就因是数据的来源可能也是有误差的，因此就没有必没有必要非在节点处函数值相等要非
3、在节点处函数值相等。3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念3.1.1 函数逼近与函数空间函数逼近与函数空间上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 本章讨论的函数逼近，是指对函数类本章讨论的函数逼近，是指对函数类A中中给定的函数给定的函数f(x), ,记作记作f(x)A,要求在另一类简要求在另一类简单的便于计算的函数类单的便于计算的函数类B中求函数中求函数p(x)B，使使 p(x)与与 f(x)的误差在某种度量意义下最小的误差在某种度量意义下最小.函数类函数类A通常是区间通常是区间a, b上的连续函数，记上的连续函数，记作作Ca, b，称为，称为函数逼近空间函数逼近空间; ;而函
4、数而函数B通常通常为为n次多项式次多项式, ,有理函数有理函数或或分段低次多项式分段低次多项式等等. .上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。称为空间。例例1 所有实所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成维向量集合，按向量的加法和数乘构成实数域实数域R上的上的线性空间线性空间-Rn, ,称为称为n维向量空间维向量空间. .例例2、对次数不超过对次数不超过n的（的（n为正整数）实系数多项式为正整数
5、）实系数多项式全体，按多项式加法和数乘构成数域全体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式上的多项式线线性空间性空间-Hn, ,称为称为多项式空间多项式空间. .例例3、所有定义在、所有定义在 a,b 集合上的连续函数全体，按集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成函数的加法和数乘构成数域数域R上的上的连续函数连续函数线性空间线性空间 Ca, b, ,称为称为连续函数空间连续函数空间. 类似地记类似地记Cpa, b为为具具有有p阶连续导数的函数空间阶连续导数的函数空间. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页1122.0,nna xa xa x则称则称x1,x2,xn 线性相关线
6、性相关，否则称，否则称x1,x2,xn 线性无关线性无关，即只有当即只有当a1=a2=an=0时等式才成立时等式才成立. 定义定义1 设集合设集合S是数域是数域P上的线性空间，元素上的线性空间，元素x1,x2,xnS，如果存在不全为零的数，如果存在不全为零的数a1,a2,anP，使得使得上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页则则x1,xn称为空间称为空间S的的一组基一组基，记为，记为S=spanx1,xn，并称空间并称空间S为为n维空间维空间，系数，系数a1,an为为x在基在基x1,xn下下的的坐标坐标，记为，记为(a1,an)，如果，如果S中有无限多个线性无关中有无限多个线性无关元
7、素元素x1,xn,，则称，则称S为为无限维线性空间无限维线性空间. 若线性空间若线性空间S是由是由n个线性无关元素个线性无关元素x1,xn生成的，生成的，即对任意即对任意xS，都有，都有,11nnxaxax 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页它由它由n+1个系数个系数(a0, a1,an)唯一确定唯一确定. 1,x,xn 线性无线性无关，它是关，它是Hn的一组基，故的一组基，故集合集合 Hn=span1, x,xn，且且(a0, a1,an)是是p(x)的坐标向量，的坐标向量，Hn是是n+1维维的的. 下面考虑下面考虑次数不超过次数不超过n实系数多项式集合实系数多项式集合Hn，其
8、，其元素元素p(x)Hn表示为表示为,)(10nnxaxaaxp 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页其中其中为任意给的小正数，即精度要求为任意给的小正数，即精度要求. 这就是下面著这就是下面著名的名的魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理）定理. 对连续函数对连续函数f(x)Ca, b，它不能用有限个线性，它不能用有限个线性无关的函数表示，故无关的函数表示，故Ca, b是无限维的，但它的任一是无限维的，但它的任一元素元素f(x)Ca, b均可用有限维的均可用有限维的p(x)Hn逼近，使逼近，使误差误差 )()()()(maxxpxfxpxfbxa上页上页上页上页
9、上页上页下页下页下页下页下页下页在在a, b上一致成立上一致成立. （证明略，书（证明略，书p63有说明有说明.） 定理定理1 设设f(x)Ca, b，则对任何，则对任何0，总存在一，总存在一个代数多项式个代数多项式p(x) ，使，使 )()(xpxf上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 函数逼近问题就是对任何函数逼近问题就是对任何f(x)Ca, b，在子空，在子空间间中找一个元素中找一个元素*(x)，使，使f(x)- -*(x)在某种意义在某种意义下最小下最小.)()()()(1100 xaxaxaxnn 更一般地，可用一组在更一般地，可用一组在Ca, b上线性无关的函数上线性无
10、关的函数集合集合 来逼近来逼近f(x)Ca, b，元素，元素 niix0)( )(,),(),()(10 xxxspanxn 表示为表示为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.1.2 范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是引进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直空间中向量长度概念的直接推广接推广. .上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定义定义2 设设S为线性空间为线性空间,xS,若存在唯一若存在唯一实数实数 满足条件：满足条件：(1)x0;当且仅当当且仅当x0时时,x
11、0; (正定性正定性)(2)x|x,R; (齐次性齐次性)(3)xyxy, x,yS. (三三角不等式角不等式)则称则称 为线性空间为线性空间S上的上的范数范数, S与与 一起称为一起称为赋范线性空间赋范线性空间,记为记为X. | | | 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 称为范数或最大范数 1称为 范数 2称为 范数| | x | |, 11nxii1n2221| | x | |iix对对Rn上的向量上的向量 x(x1,x2,xn)T, , 三种常用范数为三种常用范数为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页|max |( ) |,ax bff x 类似的对连续函数空
12、间类似的对连续函数空间Ca, b, 若若fCa, b可定义以下三种常用可定义以下三种常用函数的范数函数的范数 称为范数1|( )|, baff xdx1称为范数1222| |( ) , baffx dx2称为范数可以验证这样定义的范数均满足定义可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件中的三个条件.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.1.3 内积与内积内积与内积空间空间 在线性代数中，在线性代数中，Rn上的两个向量上的两个向量 x(x1,x2,xn)T与与y(y1,y2,yn)T的内积定义为的内积定义为(x, y)= x1 y1 +x2 y2 +xn yn.若将它推广到一般
13、的线性空间若将它推广到一般的线性空间X，则有下面的定义，则有下面的定义.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定义定义3 设设X是数域是数域K(R或或C)上的线性空间，对任上的线性空间，对任意意u,vX，有，有K中一个数与之对应，记为中一个数与之对应，记为(u, v)，它满，它满足以下条件：足以下条件：. 0),( ,0, 0),()4(;,),(),(),()3(;,),(),()2(;, ),(),()1(_ uuuuuXwvuwvwuwvuXvuKavuavauXvuuvvu时时当且仅当当且仅当则称则称(u, v) 为为X上上u与与v的的内积内积，对应了内积的线性空间，对应了
14、内积的线性空间称为称为内积空间内积空间. 定义中定义中(1)当当K为实数域为实数域R时为时为 (u, v)(v, u) .上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 如果如果(u, v)=0，则称，则称u与与v正交正交(记为记为uv)，这是，这是向量相互垂直概念的推广向量相互垂直概念的推广. 关于内积空间有以下重关于内积空间有以下重要定理要定理. 定理定理2 设设X为一个内积空间为一个内积空间, ,对任意对任意u, vX有如有如下不等式成立下不等式成立 它称为它称为柯西施瓦茨柯西施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式不等式.).,)(,(),(2vvuuvu 上页上页上页上页上页上
15、页下页下页下页下页下页下页 证明证明 当当v=0=0时时, ,显然成立显然成立. . 设设v00，则，则 (v, v)0 0, ,且对任何数且对任何数t 有有( (这里设为这里设为实空间实空间) ).,(),(2),(),(02vvtvutuutvutvu 取取 t=-=-(u, v)/(v, v), ,代入上式右端，得代入上式右端，得. 0),(),(),(),(2),(22 vvvuvvvuuu即得即得v00时有时有).,)(,(),(2vvuuvu 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212222111211nnnnnn
16、uuuuuuuuuuuuuuuuuuG定理定理3 设设X为一个内积空间，为一个内积空间，u1,u2,unX，矩阵，矩阵称为格称为格拉姆拉姆( (Gram)矩阵矩阵, ,则则G非奇异的非奇异的充分必要条件充分必要条件是是u1,u2,un线性无关线性无关. .证明证明 G非奇异等价于非奇异等价于detdetG0 0，其充分必要条件，其充分必要条件是下是下面齐次线性方程组只有零解面齐次线性方程组只有零解)8(, 1, 0),(,11nkauuuuajknjjknjjj 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页而而nkuuaknjjj, 1, 0,1 0,11 njjjnjjjuaua)9(0
17、22111 nnnjjjuauauaua从以上的等价关系可知道，从以上的等价关系可知道，detdetG0 0等价于从等价于从(8)(8)推出推出a1= =a2 = = =an=0,=0,而后者等价于从而后者等价于从(9)(9)推出推出a1= =a2 = = =an=0=0，即即u1,u2,un线性无关线性无关. . 证毕证毕上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 在在内积空间内积空间X上可以由内积导出一种范数，即对上可以由内积导出一种范数，即对于于uX ，记，记)10(),(uuu 容易验证它满足范数定义的三条性质容易验证它满足范数定义的三条性质, ,其中三角不等式其中三角不等式)1
18、1(vuvu 可由定理可由定理2直接得出，即直接得出，即2222),(),(),(2),(2)(vuvuvuvvvuuuvvuuvu 两端开方即得两端开方即得(11).(11).上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例1 Rn的内积，设的内积，设x, yRn， x(x1,x2,xn)T，y(y1,y2,yn)T，则其内积定义为，则其内积定义为)12(),(1 niiiyxyx由此导出的向量由此导出的向量2- -范数范数为为21122),( niixxxx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页若给定实数若给定实数i0(i=1,n)，i称为称为权函数权函数，则在，则在Rn上
19、可定义上可定义加权内积加权内积为为)13(),(1 niiiiyxyx 相应的向量相应的向量2- -范数范数为为21122),( niiixxxx 不难验证不难验证(13)给出的给出的(x, y)满足内积定义的满足内积定义的4条条. 当当i=1 (i=1,n)时，时， (13)就是就是(12).上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)14(),(1 niiiiyxyx 如果如果x, y Cn，带权内积定义带权内积定义为为这里这里i仍为正实数序列仍为正实数序列. 在在Ca, b上也可以类是定义带权内积上也可以类是定义带权内积，为此先给为此先给出权函数定义出权函数定义.上页上页上页上页上
20、页上页下页下页下页下页下页下页 定义定义4 设设a, b是有限或无限区间，在是有限或无限区间，在a, b上的上的非负函数非负函数(x)满足条件：满足条件：), 1 , 0()()1( kdxxxbak存在且为有限值存在且为有限值 . 0)(0)()(),(,)2( xgdxxxgxgbaba则则，如果如果数数上的非负连续函上的非负连续函对对 则称则称(x)为为a, b上上的一个的一个权函数权函数. 它的物理意义可以它的物理意义可以解释为解释为密度函数密度函数. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例2 Ca, b上的上的内积，设内积，设f(x), g(x)Ca, b，(x)是上
21、给定的权函数，则可内积定义为是上给定的权函数，则可内积定义为容易验证它满足容易验证它满足内积定义的内积定义的4 4条，由此条，由此内积导出的范数内积导出的范数)15()()()()(),( badxxgxfxxgxf )16()()()(),()(2122 badxxfxxfxfxf 称称(15)和和(16)为带权为带权(x)的的内积和范数，特别常用的是内积和范数，特别常用的是(x)1的情形，即的情形，即 badxxgxfxgxf)()()(),(2122)()( badxxfxf上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(20
22、111010100010nnnnnnnGG 若若0,1,n是是Ca, b中的线性无关函数族，记中的线性无关函数族，记=span0,1,n，它的，它的拉姆拉姆( (Gram)矩阵矩阵为为根据定理根据定理3可知可知0,1,n线性无关线性无关的充分必要条件是的充分必要条件是 detG(0,1,n)0. .上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.2.1正交函数族与正交多项式正交函数族与正交多项式3.2 正交多项式正交多项式 )(0)(0)()()(),(kjAkjdxxxxkkjbakj 则称则称k(x)是是a,b上上带权带权(x)的正交函数族的正交函数族. .若若Ak1，则称之为则称之为
23、标准正交函数族标准正交函数族. .定义定义5 5 如果函数如果函数f(x), g(x)在在a,b上连续上连续, ,满足满足 badxxgxfxxgxf0)()()()(),( 上的上的连续函数族连续函数族则称则称f(x)与与g(x)在在a,b上上关于权关于权)(x 正交正交, ,如果如果a,b )(xk 满足满足上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例如例如, 三角函数族三角函数族 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, 是在区间是在区间- -,上的正交函数系，因为对上的正交函数系，因为对k=1,2,有有实际上，这就是付里叶实际上，这就是付里叶(Fourier)逼
24、近的基函数逼近的基函数.而对而对k, j=1,2,，当，当kj 时有时有 )cos,(cos)sin,(sin,2)1 , 1(kxkxkxkx 0sin)sin, 1()cos, 1()sin,(coskxdxkxkxkxkx0)cos()cos(21coscos)cos,(cos dxxjkxjkjxdxkxjxkx0)sin,(cos)sin,(sin jxkxjxkx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 )(0)(0)()()(),(kjAkjdxxxxkkjbakj 则称则称多项式序列多项式序列n(x)为在为在a,b上上带权带权(x)的正交的正交，称称n(x)为为a,b上
25、上带权带权(x)的的n次正交多项式次正交多项式. . 定义定义6 6 设设n(x)是是a,b上首项系数上首项系数an0的的n次多项次多项式，式，(x)为为a,b上权函数，如果上权函数，如果多项式序列多项式序列n(x)满足满足关系式关系式上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页如何构造正交多项式如何构造正交多项式 只要给定区间只要给定区间a, b及权函数及权函数,均可由一组线均可由一组线性无关的幂函数性无关的幂函数1,x, xn,利用逐个正交化利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列手续构造出正交多项式序列： 0)(xn ,.).2 , 1( )()(),()(,()( , 1)(10n0
26、 nxxxxxxxxjnjjjjnn 此即此即Smith正交化方法正交化方法. 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页这样得到的正交多项式序列有以下这样得到的正交多项式序列有以下性质性质： (1) n(x)是具有最高次项系数为是具有最高次项系数为1的的n次多项式次多项式. (2) 任何任何n次多项式次多项式Pn(x)Hn均可表示为均可表示为 0(x),1(x),n(x) 的线性组合的线性组合. (3) 当当kj时时,(j(x), k(x)=0，且，且k(x)与任一次数与任一次数小于小于k的多项式正交的多项式正交.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 (4) 成立递推关系成
27、立递推关系,.)1 , 0( )()()()(11 nxxxxnnnnn ,.)2 , 1( )(),(/()(),(),(),(/()(),(0,x)( , 1)(11n10 nxxxxxxxxxxnnnnnnnnn 其其中中 0)(xn (5) 设设 是在是在a, b上带权上带权(x)的正交多项的正交多项式序列式序列, 则则n(x)(n1)的的n个根都是在区间个根都是在区间(a, b)内的内的单重实根单重实根. 即在即在(a, b)内内有有n个互异实零点个互异实零点. . 下面给出下面给出几种常见的正交多项式几种常见的正交多项式.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页41ln),
28、(100 xdxxx 1010001ln1ln),(xdxdxx )(),(),(),(),()(111120000222xxxxx 00001),(),()( xxx , 1)(0 x 例题例题：利用：利用 Gram-schmidt 方法构造方法构造 0,1 上带上带权权 的前的前3个正交多项式个正交多项式 xx1ln)( 210, 解解：利用正交化公式来求：利用正交化公式来求 xxxln1ln)( 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页2521775)41(7591)(222 xxxxx 1445)41()ln(),(10212 dxxxxx 101022111447)16121
29、)(ln)41)(ln(),(dxxxxdxxx 41)(1 xx 91ln),(10202 xdxxx 于是于是于是于是上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.2.2勒让德多项式勒让德多项式), 2 , 1( ) 1(!21)( , 1)(20 nxdxdnxPxPnnnnn 当区间当区间-1,1, 权函数权函数(x)1时时, 由由1,x,xn,正交正交化得到的多项式就称为化得到的多项式就称为勒让德勒让德(Legendre)多项式多项式,并用并用P0(x),P1(x),Pn(x),表示表示. 这是这是勒让德勒让德于于1785年引进的年引进的. 1814年年罗德利克罗德利克(Rod
30、rigul)给出了简单的表达式为给出了简单的表达式为由于由于(x2- -1)n是是2n次多项式，求次多项式，求n阶导数后得阶导数后得011)() 1() 12)(2(!21)(axaxnnnnxPnnnnnn 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页2) !(2)!2(nnann .)1()!2(!)(2nnnnxdxdnnxP 显然得到显然得到最高项系数为最高项系数为1的勒让德多项式为的勒让德多项式为于是得于是得Pn(x)的首项系数为的首项系数为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页勒让德多项式有下述几个勒让德多项式有下述几个重要性质重要性质(1) (1) 正交性正交性(p
31、71) n.m 122; , 0)()(11，nnmdxxPxPmn(2) 奇偶性奇偶性(p73)() 1()(xPxPnnn (3) 递推关系递推关系(p73)2 , 1 (),()() 12 ()() 1(11 nxnPxxPnxPnnnn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页且有以下常用公式且有以下常用公式16/ )5105315231()(8/ )157063()(8/ )33035()(2/ )35()(2/ )13()()(1)(2466355244332210 xxxxPxxxxPxxxPxxxPxxPxxPxP上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页(5) 对
32、零的平方误差最小对零的平方误差最小 1122112)()()!2() !(2dxxfdxxPnnnn)(次多项式次多项式为任意首一为任意首一nxf(4) Pn(x)在区间在区间-1,1内有内有n个不同的个不同的实零点实零点。上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.2.3切比雪夫多项式切比雪夫多项式,11)(2xx 区间为区间为-1,1-1,1 时时, ,取权函数取权函数由序列由序列1,x,xn,正交化得到的多项式就是正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式切比雪夫多项式，它可表示为，它可表示为Tn(x)=cos(narccosx), | x |1若令若令x=cos，则，则Tn(x)=c
33、osn，0.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页切比雪夫多项式的性质切比雪夫多项式的性质(p75)(1) 递推关系递推关系1184832)(52016)(188)(34)(12)()(1)()()(2)(246635524433221011 xxxxTxxxxTxxxTxxxTxxTxxTxTxTxxTxTnnn于是得于是得Tn(x)的首项系数为的首项系数为) 1(21 nann上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 .0 ,;0n ,2m;n ,01)()(112mnmxdxxTxTmn 21/ 1)(xx nknkxk, 2 , 1,212cos (4) Tn(x)在
34、区间在区间-1,1上有上有n个零点个零点 (2) 切比雪夫多项式切比雪夫多项式Tk(x)在区间在区间-1,1上带权上带权正交且正交且(3) T2k(x)只含只含x的的偶次幂偶次幂,T2k+1(x)只含只含x的的奇次幂奇次幂.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页).(22201xTknxknnknn 若将若将xn用用T0(x),T1(x), ,Tn(x)的线性组合表的线性组合表示示,则其公式为则其公式为这里规定这里规定T0(x)=1. n=1,2, ,6时的结果如下时的结果如下上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)()(6)(15)(10(321)()(5)(10(161
35、)()(4)(3(81)()(3(41)()(21)()(1642065315420431320210 xTxTxTxTxxTxTxTxxTxTxTxxTxTxxTxTxxTxxT 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页(5) 对零的一致误差最小对零的一致误差最小即对任意首一即对任意首一n次多项式次多项式f(x)有有), 2 , 1()(max21)(21max111111 nxfxTxnnnx上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.2.4其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式 一般说，如果区间一般说，如果区间a, b及权函数及权函数(x)不同不同, 则由则由1,x,x
36、n,得到的正交化得到的多项式也不同得到的正交化得到的多项式也不同. 除上除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式用的正交多项式.1. 第二类切比雪夫多项式第二类切比雪夫多项式,1)(2xx 区间为区间为-1,1-1,1 时时, ,取权函数取权函数由序列由序列1,x,xn,正交化得到的多项式就称为正交化得到的多项式就称为第二第二类切比雪夫多项式类切比雪夫多项式，其表达式为，其表达式为上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页21arccos)1sin()(xxnxUn 令令x=cos，可得，可得 ,2;, 0)2cos(
37、)cos(21)1sin()1sin(1)()(00112nmnmdmnmndmndxxxUxUmn 为正交，且有递推关系式为为正交，且有递推关系式为.21)()(2)(,2)(, 1)(1110），（ nxUxxUxUxxUxUnnn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页2. 拉盖尔多项式拉盖尔多项式,)(xex 区间为区间为 0, +) )时时, ,取权函数取权函数由序列由序列1,x,xn,正交化得到的多项式就称为正交化得到的多项式就称为拉盖拉盖尔尔(Laguerre)多项式多项式，其表达式为，其表达式为)()(xnnnxnexdxdexL 它也具有正交性质它也具有正交性质和递推
38、关系式和递推关系式 ,) !(;, 0)()(20nmnnmdxxLxLemnx.21)()()21()(,1)(, 1)(12110），（ nxLnxLxnxLxxLxLnnn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3. 埃尔米特多项式埃尔米特多项式,)(2xex 区间为区间为(-,+)(-,+)时时, ,取权函数取权函数由序列由序列1,x,xn,正交化得到的多项式就称为正交化得到的多项式就称为埃尔埃尔米特米特(Hermite)多项式多项式，其表达式为，其表达式为),() 1()(22xnnxnnedxdexH 它也具有正交性质它也具有正交性质和递推关系式和递推关系式 ,!2;, 0
39、)()(2nmnnmdxxHxHenmnx .21)(2)(2)(,2)(, 1)(1110），（ nxnHxxHxHxxHxHnnn上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.3 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式3.3.1 基本概念及其理论基本概念及其理论 本节讨论本节讨论fCa, b，在，在Hn=span1,x,xn中求中求多项式多项式Pn*(x) ，使其误差，使其误差这就是通常所谓这就是通常所谓最佳一致逼近最佳一致逼近或或切比雪夫逼近切比雪夫逼近问题问题. |min| )()(|max|*nHPnbxanPfxPxfPfnn 最佳一致逼近多项式问题最佳一致逼近多项式问题上页上
40、页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页| )()(|max|),(xPxfPfPfnbxann 偏差偏差问题问题 为了说明这一概念为了说明这一概念, ,先给出以下定义先给出以下定义. .定义定义7 7 设设Pn(x)Hn，f(x)Ca, b,称称为为f(x)与与Pn(x)在在a, b上的上的偏差偏差. 0),( nPf),(nPf ),(nPf 显然显然 , 的全体组成一个集合，记的全体组成一个集合，记为为 ,它有下界它有下界0. 若记集合的若记集合的下确界下确界为为 | )()(|maxinf),(infxPxfPfEnbxaHPnHPnnnnn 则称之为则称之为f(x)在在a, b上的
41、上的最小偏差最小偏差.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页定义定义8 8 假定假定f(x)Ca, b, 若存在若存在Pn*(x)Hn使得使得,|),(nnnEPfPf 则称则称Pn*(x)是是f(x)在在a, b上的上的最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式或或最小偏差逼近多项式最小偏差逼近多项式. 注意注意, ,定义并未说明最佳逼近多项式是否存在定义并未说明最佳逼近多项式是否存在, ,但可以证明下面的但可以证明下面的存在定理存在定理. . 定理定理4 若若f(x)Ca, b, 则总存在则总存在Pn*(x)使使nnExPxf |)()(|*证明略，可参考证明略，可参考2.上页上页上页
42、上页上页上页下页下页下页下页下页下页 | )()(|max| )()(|00 xfxPxfxPbxa就称就称x0是是P(x)对对f(x)的的偏差点偏差点.,)()(00 xfxP若若 称称x0为为“正正”偏差点偏差点. 为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义的定义. . 定义定义9(偏差点定义偏差点定义) 设设f(x)Ca, b，P(x)Hn，若在若在xx0上有上有,)()(00 xfxP若若 称称x0为为“负负”偏差点偏差点.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 由于函数由于函数P(x)f(x)在在a, b上连续上连续,因此因此
43、,至少存在至少存在一个点一个点x0a, b使使,| )()(|00 xfxP 也就是说也就是说P(x)的偏差点总是存在的的偏差点总是存在的. 下面给出反下面给出反映最佳逼近多项式映最佳逼近多项式特征特征的切比雪夫定理的切比雪夫定理.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页1,|)()(|) 1()()( xfxPxfxPkkk 定理定理5(切比雪夫定理切比雪夫定理 ) Pn(x)Hn是是f(x)Ca, b的最佳逼近多项式的充分必要条件是的最佳逼近多项式的充分必要条件是Pn(x)在在a, b上上至少有至少有n+2个轮流为个轮流为“正正”，“负负”的偏差点，即有的偏差点，即有n+2个点个点
44、ax1x2.xn+2b，使，使这样的点组称为这样的点组称为切比雪夫交错点组切比雪夫交错点组. .( (证明见证明见p80)p80) 切比雪夫定理说明用切比雪夫定理说明用P(x)逼近逼近f(x) 的误差曲线的误差曲线y=P(x)f(x)是是均匀分布均匀分布的的. 由这个定理还可得以由这个定理还可得以下重要推论下重要推论.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 定理定理6 在区间在区间- -1,1上所有最高次项系数为上所有最高次项系数为1的的n次多项式中次多项式中, 利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多项式利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多项式Tn(x)的一个的一个重要性质重要性质，即
45、，即 推论推论1 若若f(x)Ca, b，则在，则在Hn中存在唯一的最中存在唯一的最佳逼近多项式佳逼近多项式. (证明略证明略)(21)(1xTxnnn 与零的偏差最小，其偏差为与零的偏差最小，其偏差为 . ( (证明见证明见p80)p80)121 n 即可以理解为即可以理解为f(x)Pn-1*(x)与零的偏差等于最小与零的偏差等于最小当且仅当当且仅当)(21)()()(11xTxxPxfnnnn 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 例例3 求求f(x)=2x3+x2+2x- -1在在 - -1,1上的最佳上的最佳2次逼近次逼近多项式多项式. 解解 由题意，所求最佳逼近多项式由题
46、意，所求最佳逼近多项式P2*(x)应满足应满足.min| )()(|max211 xPxfx由定理由定理6可知，当可知，当xxxTxPxf232)(21)()(332 时，多项式时，多项式f(x)P2*(x)与零偏差最小，故与零偏差最小，故127)(21)()(232 xxxTxfxP就是就是f(x)在在 - -1,1上的最佳上的最佳2次逼近多项式次逼近多项式.上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页例、例、求求 13)(34 xxxf 在在 0, 1 上求三次最佳逼近多项式上求三次最佳逼近多项式. 则当则当x在在 0, 1 变化时，此时函数为变化时，此时函数为1)21( 3)21()
47、21()(34 tttfxf解解：作变量变换，令：作变量变换，令t=2x- -1，t- -1, 1，设设P3*(x)为为f(x)在在 0,1 上的三次最佳一致逼近多项式，上的三次最佳一致逼近多项式，由于由于 上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页)21(tf 的首相系数为的首相系数为 412故有故有)(21)21()21(16414*3tTtptf 即即 *42423321( )(31)8(21)8(21)116*851129 544128p xxxxxxxx 从而 1 ,0 x*344342111()()(4)2216*8111()3()1(881)2216*8ttpfTtttt
48、t上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页3.3.2 最佳一次逼近多项式最佳一次逼近多项式 切比雪夫定理切比雪夫定理 给出了最佳逼近多项式给出了最佳逼近多项式P(x)的特的特性，但要求出性，但要求出P(x)却相当困难却相当困难. 下面讨论下面讨论n=1的情形的情形. 假定假定f(x)C2a, b. 且且f(x)在在(a,b)内不变号，我们要内不变号，我们要求求最佳一次逼近多项式最佳一次逼近多项式 P1(x)=a0 + a1x ，根据定理可知至少有根据定理可知至少有3个点个点ax1x2x3b，使，使) 3 , 2 , 1, 1 ( | )()(|max) 1()()(11 kxfxPxf
49、xPbxakkk 由于由于f(x)在在a, b上不变号上不变号,故故f(x)单调单调, f(x)- -a1在在(a, b)内只有一个零点，记为内只有一个零点，记为x2,于是于是上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页0)()()(21221 xfaxfxP .)(12axf 即即另外两个偏差点必定是区间的端点，即另外两个偏差点必定是区间的端点，即x1=a, x3=b，且满足且满足 . )()()()()()(22111xfxPbfbPafaP 由此得到由此得到 )2().()()()1(),()(2102101010 xaaxfafaaabfbaaafaaa上页上页上页上页上页上页下页
50、下页下页下页下页下页代入到代入到(2)得得2)()(2)()(220 xaabafbfxfafa 这就得到最佳一次逼近多项式这就得到最佳一次逼近多项式P1(x)，其方程为，其方程为)2()()(21212xaxaxfafy )()()(21xfabafbfa 由由(1)式得式得几何意义见几何意义见p82上页上页上页上页上页上页下页下页下页下页下页下页 解解 由公式有由公式有再由公式得再由公式得 例例4 求求 在在 0,1上的最佳一次逼近多上的最佳一次逼近多项式项式.21)(xxf ,414. 012)()(1 abafbfa又又 ，故，故 ，解得，解得21)(xxxf 121222 xx.09