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1、7.2.4.7.2.4.等差数列的前等差数列的前n n项和项和( (二）二）知识与技能：知识与技能： 通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练等差数列前等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题 。过程与方法：过程与方法： 掌握数形集合思想方法以及掌握数形集合思想方法以及“求平均数求平均数”思想的思想的精神实质精神实质 。情感态度与价值观：情感态度与价值观： 让学生体验等差数列前让学生体验等差数列前n n项和与二次函数的关系，项和与二次函数的关系，感受多角度、多层次解题的方式。感受多角度、多层次解题的方式。教学目标学习要求 1.1.通过实例背景引导
2、学生由特殊到一般的方法熟练等通过实例背景引导学生由特殊到一般的方法熟练等差数列前差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题 。2.2.掌握数形集合思想方法以及掌握数形集合思想方法以及“求平均数求平均数”思想的精思想的精神实质神实质 。3.3.让学生体验等差数列前让学生体验等差数列前n n项和与二次函数的关系，项和与二次函数的关系，感受多角度、多层次解题的方式。感受多角度、多层次解题的方式。复习巩固：复习巩固：1.由和求通项由和求通项 别是？别是？如果是，首项与公差分如果是，首项与公差分？这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗项和为项和为的前的前已知数列已知数列,212nnSnann NnnS
3、SaSaaSnnnnn, 2,111的关系式与由导入此数列的通项公式，再由等差数列的定义（或充要条件）判断。导入此数列的通项公式，再由等差数列的定义（或充要条件）判断。 的的等等差差数数列列。，公公差差为为是是一一个个首首项项为为数数列列223na思考：思考：若数列若数列 为等差数列，它的前为等差数列，它的前n项和是项和是 的形式吗？的形式吗？ na 02 abnanSnqppnrqpan2解：根据上例解得), 2() 1(Nnnn 差分别是什么？如果是，它的首项与公一定是的等差数列吗？那么这个数列为常数，且、其中项和为的前一般地，如果一个数列nnnaprqprqnpnSna, 0:2pdqp
4、aarn2,01公差为：首项为：才是等差数列时，数列只有 是等差数列。么数列的一元二次关系式，那关于，且是项和是常数项为的前如果数列nnanna0 3) 1() 1() 3(, 232241322411nnnnSSaNnnnnn时，当125932411131San时，解：当 nnnannSna求数列通项项和为：的前：已知数列练习, 313224112561252nn 12561259nnnaa 的通项公式为：数列), 2() 1(Nnnn1121112561ann 时，当例例1：已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn12nn2，求数列，求数列|an|的前的前n项和项和Tn. 当当n1时，时
5、，a1S1121211；当；当n2时，时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，时适合上式，an的通项公式为的通项公式为an132n.由由an132n0，得，得n ，即当即当1n6(nN*)时，时，an0；当；当n7时，时，an0.解析：解析：2.2.求等差数列的前求等差数列的前n n项的绝对值之和项的绝对值之和 (1)当当1n6(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)当当n7(nN*)时，时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.变式探究变式探究1数列数
6、列an中，中，a18，a42，且满足，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列求数列an的通项；的通项；(2)设设Sn|a1|a2|an|，求，求Sn. (1)由由an22an1an0得，得，2an1anan2，所以数列所以数列an是等差数列，是等差数列，d 2，an2n10，nN*.解析：解析：当当n6，nN*时，时， 表示用项和的前求数列的每一项都有，数列项和前：已知数列练nSnbabbnnSnannnnnnn,1022先由先由Sn ,求出通项公式求出通项公式 *211Nnnan 可知可知前前5项为正项为正， 从从第第6项项起又组成一个起又组成一个首项为首项为1，公差为，公差为2的
7、等差数列的等差数列，所以须分类讨论：，所以须分类讨论： na时时当当*, 51Nnn 时时当当*, 62Nnn 210nnSn 50102510225 nnnnSSn 251022651552 nnnnnn项项之之和和为为：前前 *6501051022NnnnnnnnSn 综综上上所所述述14575752) 1(2) 1(17512)(5, 51nnnnnnnnnSdnaSda可得代入：由已知可得，解的值最大的序号求使得项和为的前，：已知等差数列例nSSnnn,34527472取最大值。时，或最接近的正整数取与于是当nSn872155611252215145)(nSn即：.的解题思路利用二次函
8、数最值问题的二次函数，看作是关于本例解法是将nSn3.3.等差数列最值问题等差数列最值问题的值。最大的序号求使得项和为的前，：已知等差数列例nSSnnn,34527472取最大值。时，或取正整数于是当nSn87的变化情况的关系，项和的正负情况与前本例解法是利用通项nnSna87n,8700575,74075)1(2111或取则解得：由：由已知条件得：解naanandnaannnn练；等差数列练；等差数列an中，中，a10，d0，则，则Sn有大值，且有大值，且Sn最大时的最大时的n满足满足an0且且an+10;（2）若）若a10，则，则Sn有小值，且有小值，且Sn最小时的最小时的n满足满足an0
9、且且an+10; 也成等差数列求证：项的和。是其前是等差数列，：已知数列例)(),( ,n312186126ssssssannd36,)()(36)(876516153186612,156:d,1218612661212186612112181612118112161也成等差数列，公差为，则有公差为解：设等差数列首项为sssssssssdsssdassdassdasdasdasa ),232Zksssssakkkkkn也成等差数列。（为等差数列，一般情况：如果能不能把此结论推广到倍公差为原来公差的2k4.等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质32421620484dSSSSS是等差数列，公
10、差为，解：由已知得数列12932) 15(41620SSS1292018171620201817aaaSSaaa的值，求：且项和，公差为前中，在等差数列练20191817412.3aaaaSdnSann和和之之比比。项项中中奇奇数数项项与与偶偶数数项项的的求求等等差差数数列列前前12 n解：解：在项数为在项数为2n+1的等差数列中，的等差数列中，奇奇数项有数项有n+1，偶偶数项有数项有n项项则奇数项之和则奇数项之和则偶数项之和则偶数项之和 21121 naanA 222naanB 等差数列中等差数列中 nnaaaa22121 nnBA1 即即 值值。求求项项，其其中中共共有有等等差差数数列列练
11、练习习naaaaaanannn, 3, 412. 32421231 分析：分析：利用上面推出的公式利用上面推出的公式3134 nnn即即 1111*27417,baNnnnTSTSnbannnnnn，求且和项为的前和例：两个等差数列2121nnnnaSbT5.5.等差数列中的等差数列中的a an n与与SnSn的关系的关系练：两个等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若SnTn2n3n1，求anbn. 等差数列的综合应用等差数列的综合应用22得得4anan2an122an2an1，即即(anan1)(anan12)0.an0，anan10， anan12，数列数列an是首项为是首
12、项为1，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，an1(n1)22n1.变式探究变式探究1：若若数列数列an的前的前n和和 那么数列那么数列an是等差数列是等差数列，1()2nnn aaS+=an是等差数列是等差数列 小结小结一、一、等差数列与前等差数列与前n项和的关系项和的关系2)(1nnaanS 2：将等差数列前将等差数列前n项和公式项和公式看作是一个关于看作是一个关于n的的二次二次函数函数2) 1(1dnnnaSn当当d0时，时，Sn是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数.ndandSn)2(212特点特点：3：一般地，一般地，（1）数列）数列an是等差数列是等差数列 SnAn2B
13、n（2）数列）数列an 的前的前n项和是项和是SnAn2BnC ，则：，则：若若C0，则数列，则数列an是等差数列；是等差数列；若若C0，则数列，则数列an从第从第2项起是等差数列。项起是等差数列。4.数列数列an是等差数列是等差数列 为等差数列为等差数列nSn 即等差数列即等差数列an的前的前n项的平均值组成的数列仍项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列然是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。的公差的一半。二、二、等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质1：在等差数列在等差数列an中，每连续中，每连续k项的和组成的数列，即项的和组成的数列，即数列数列a1a2ak， ak+1a
14、k+2a2k，a2k+1a2k+2a3k， 是等差数列是等差数列性质：性质：若数列若数列an是是等差数列等差数列，那么数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k , 仍然成等差数列仍然成等差数列3、在等差数列在等差数列an中，设中，设S偶偶a2a4a2n，S奇奇a1a3a2n1，则，则S偶偶S奇奇与与 等于什么？等于什么？SS偶奇S偶偶S奇奇nd1=nnSaSa偶奇2、在等差数列在等差数列an中，中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？S3n3(S2nSn)4、设设等差数列等差数列an、bn的前的前n项和分别为项和分别为Sn、Tn，则，则 5、在等差数列在等差数列an
15、中，中，求前求前n项和项和Sn的最值常用方法的最值常用方法2121nnnnaSbT 方法方法2:（1）若）若a10，d0，则，则Sn有大值，且有大值，且Sn最大时的最大时的n满足满足an0且且an+10;（2）若）若a10，则，则Sn有小值，且有小值，且Sn最小时的最小时的n满足满足an0且且an+10;方法方法1：二次函数性质法，即求出二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn， 讨论二次函数的性质讨论二次函数的性质本节课学习的主要内容有：本节课学习的主要内容有：1、如何利用数列的前、如何利用数列的前n项和项和 求通项公式求通项公式2、等差数列前、等差数列前n项和最值求解项和最值求解3、等差数列简单性质、等差数列简单性质.