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1、极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一,极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1定义:(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材,这里不一一叙述)。说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。2
2、极限运算法则定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有 (1)(2)(3) 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。3两个重要极限(1) (2) ; 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964),副教授。例如:,;等等。 4等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: 。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时, ; 。 定理4 如果函
3、数都是时的无穷小,且,则当存在时,也存在且等于,即=。5洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大; (2)和都可导,且的导数不为0; (3)存在(或是无穷大); 则极限也一定存在,且等于,即= 。说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。6连续性 定理6 一切连续函数在其定义
4、去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有 。7极限存在准则 定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。 定理8(准则2) 已知为三个数列,且满足:(1) (2) , 则极限一定存在,且极限值也是a ,即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例1 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则。例2 解:原式= 。例3 解:原式 。2 利用函数的连续性(定理6)求极限例4 解:因为是函数的一个连续点, 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则。例6 解:原式= 。例7 解:原式= 。4 利用定理2求极限例8 解:
5、原式=0 (定理2的结果)。5 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 例9 解:,原式= 。例10 解:原式= 。注:下面的解法是错误的: 原式= 。 正如下面例题解法错误一样: 。例11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)6 利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。例12 (例4)解:原式= 。(最后一步用到了重要极限)例13 解:原式= 。例14 解:原式= 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)例15 解:例18 解:错误解法:原式= 。 正确解法:应该注意,洛比达法则并不是总可以
6、用,如下例。例19 解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:原式= (分子、分母同时除以x) = (利用定理1和定理2)7 利用极限存在准则求极限例20 已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(02),由准则1极限存在,设 。对已知的递推公式 两边求极限,得: ,解得:或(不合题意,舍去)所以 。例21 解: 易见:因为 ,所以由准则2得: 。上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,
7、如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。 极限与连续的62个典型习题习题1 设,求 .解 记,则有,.另一方面 .因为 ,故 .利用两边夹定理,知,其中 .例如 .习题2 求 .解 , 即 . 利用两边夹定理知.习题3求.解 习题4求 .解(变量替换法)令,则当时,于是, 原式.习题5 求.解(变量替换法)令,原式. 习题6 求 (型)。为了利用重要极限,对原式变形习题7 求. 解 原式 .习题8求 . 解 由于.而.故 不存在。习题9研究下列极限 (1).原式,其中,. 上式极限等于0,即.(2).因为,, 所以 .(3). 原式.习题10计算.解 原式.习题11 .习题12 已知 ,
8、求的值。解 首先,原式, ,而 .习题13 下列演算是否正确?. 习题14 求.解 原式.习题15 求 . 解 ,原式 = 0.习题16 证明 (为常数)。证 (令).习题17 求 .解 原式.习题18 求 . 解 (连续性法)原式 .习题19 试证方程 (其中)至少有一个正根,并且它不大于.证 设,此初等函数在数轴上连续,在上必连续。 而 若,则就是方程的一个正根。若,则由零点存在定理可知在内至少存在一点,使.即故方程 至少有一正根,且不大于.习题21 求. 解 原式.习题20 设满足且 试证 证 取使得当时有即 亦即于是递推得 从而由两边夹准则有 习题22 用定义研究函数 的连续性。证 首
9、先,当是连续的。同理,当也是连续的。而在分段点处 故习题23 求证 .证 ,而.由两边夹定理知,原式成立.习题24 设任取记 试证 存在,并求极限值。证 故由题设 由于故单调有下界,故有极限。设由解出(舍去)。习题25 设 求解 显然有上界,有下界当 时即假设 则故单增。存在。设则由得即(舍去负值)。当时,有用完全类似的方法可证单减有下界,同理可证 习题26 设数列由下式给出 求 解 不是单调的,但单增,并以3为上界,故有极限。设单减,并以2为下界,设 在等式两边按奇偶取极限,得两个关系 ,解出由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等,因此的极限存在,记于是故有解出(舍去负值)习题27 设试证 收
10、敛,并求极限。证 显然假设则由,可解出(舍去 )。下面证明收敛于由于,递推可得 由两边夹可得故 习题28设试证(1)存在;(2)当时,当时,证 显然有又单减有下界。收敛。令在原式两边取极限得由此可解出或当时,归纳假设则而,有 因此时即时)。当时,由的单减性便知即当时,即 (当时)。习题29 习题30 若收敛,则证 收敛,设故必有界。设因此而习题31 求 变量替换求极限法(为求有时可令而)习题32 求 (为自然数)解 令则 因此 习题33 求解 令且当时故 原式习题34 求解 先求令 则上式 故原式用等价无穷小替换求极限习题35 求解 记原式= 习题36 设与是等价无穷小,求证(1)(2)证 即
11、其中故 (2) 习题37 设为自然数,试证使证 (分析:要证使即要证有根) 令,显然在上连续,于是记则又对函数应用介值定理,知使即存在使习题38 设证明使证 (分析:将结果变形)记则于是 或 由介值定理知即 习题39 设且证使证 反证法。若不存在点使即均有连续,不妨设恒有于是此与矛盾。故使习题40 设且又证明至少有一点使证 故在上有最大值和最小值,使 于是 由介值定理,知使习题41 证明方程至少有一个小于1的正根。证 设显然但使即方程至少有一个小于1的正根存在。习题42 设连续,求解 故由于在=1,-1处连续,所以习题43 试证方程至少有一个实根。证 做函数 显然使即在内必有实根。习题44 求
12、的连续区间。(解:先改写为分段函数,结论为:习题45 求为何值时,函数,在上处处连续。只需讨论分段点处的连续性:要在处连续,必有习题46 设,定义 求 解 有下界即有又,即单减有下界,故有极限。设且有有(舍去负根)(注意:先证明极限的存在是必要的。)习题47(解: 单增有上界,可解出极限)习题48 设且证明使 证 若则取若则可取 则令必有且由零点定理知使即习题49 (选择题)设在内有定义,连续且有间断点,则(A) 必有间断点,(B) 必有间断点,(C) 必有间断点,(D) 必有间断点.解 选D((A) 因的值域可能很小。(B)反例 而无间断点。(C) 总有定义。习题50 证明方程至少有一个正根
13、,且不超过证 设而如果则即为的零点.如果则由介值定理知使即为所求,故原命题成立.习题51 若函数可以达到最大值和最小值,求证 证 设则对任意有或有由的任意性,可知习题52 设且恒大于零,证明在上连续.证 任取由于在处连续且大于使当时(若为左端点,则应为类似处理有可找到使当时有 取则当时,有故知在处连续。由的任意性,知在上连续.习题53 设 试讨论在处的连续性.解时,在处连续,时, 为的跳跃间断点(第一类间断点).当时为第二间断点。习题54 设函数 问当在处连续。 解即时,在处连续。习题55 求函数的间断点,并判定其类型.解 因当(为任一整数)时,是的间断点。再细分,当时, 不存在,故除处的任何
14、整数都是的第二类间断点。因亦即是的第一类(可去)间断点.习题56 求函数的间断点并判定其类型。解 的分段点为 是的第一类(跳跃)间断点。当时,在点处,无意义,故是的间断点。因为是第一类(可去)间断点。显然都是极限为的第二类间断点。当时,在点时,没定义,故是的间断点。又不存在,故为第二类间断点。习题57 设函数且试证 证 因为连续,所以在上有界。又因为 所以当时,恒有取则存在自然数使得.记,则且 于是 下面估计上式右边三项的绝对值。 (1)=(2)因为在上有界,即使.故当时,恒有 (3)因为故使当时恒有综合(1),(2),(3)取,则当时,恒有 习题68 若和为连续周期函数,当时,有定义,且证明证 先证明和有相同周期。设的周期为,则由于当时, 即得 ,以及= 现在说明的周期也是。若不然,则至少存在一个使设的周期为为任意正整数,以及此时恒有 .但由(*),对充分大的必成立这显然矛盾(矛盾于)下面证明若结论不真,则至少存在一个使记则恒有这与矛盾。于是 习题61 试证 习题62 在 点连续。解如果函数在连续,则