极限的存在性求法应用及其推广.doc

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1、!-渤海大学学士学位论文 题 目：极限的存在性、求法、应用及推广学 校：渤海大学系 别：数学系专 业：数学与应用数学姓 名：王力学 号：031105069指导教师：金铁英目 录引言 （1）、数列极限 （2）一、数列极限的定义及性质 （2）二、数列极限的存在条件 （3）三、数列极限的求法 （4）四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用 （7）、函数极限 （8）一、函数极限的定义 （8）二、函数极限的及性质 （9）三、函数极限的存在条件 （11）四、函数极限的求法 （12）五、函数极限在求曲线渐近线方面的应用 （24）、数列极限和函数极限的关系 （24）结束语 （25）参考文献 （25）极限

2、的存在性、求法、应用及推广王力（渤海大学数学系辽宁 锦州121000 中国）摘要：极限的概念是数学分析中最重要的概念。数学分析中有关函数有两种基本的运算，一种是微分、另一种是积分。他们都是用极限定义的。还有，当我们研究函数图形的性质时，一个重要概念是连续性。而连续性也是由极限定义的。极限是数学分析中一个最基本的运算。本文先研究离散的极限，即数列极限，再研究连续的极限，即函数极限，包括定义及性质、存在性、应用、求法以及求法的推广。 关键词：极限 数列 函数 关系 求法 推广Existence of theorem limit Application and PromotionWang li(De

3、partment of Mathematic Bohai University Liaoning Jinzhuo 121000 China)Abstract：Limit concept is the most important concept in the mathematical analysis. In the mathematical analysis the related function has two kind of basic operations, one kind is the differential, another kind is an integral. They

4、 all are define with the limit. Also, when we study the function graph the nature, an important concept is a continuity. But the continuity also has the limit to define. The limit is in the mathematical analysis a most basic operation. This article first studies the separate limit, namely the sequen

5、ce limit, then studies the continual limit, namely the limit of function, including the definition and the nature, the existence, the application, asks the law as well as the asking method promotion.Key Words：Limit Sequence Function Relations Solution method Promotion引 言如果说数学分析就是一座高耸的大厦，那么极限理论就是它的基石

6、。目前，极限的理论与方法已经成为一个内容丰富、范围广泛的综合性系统，其理论和实践意义上的重要性在生产力和物质条件日益发展的当代社会显得越来越重要。极限是高等数学中的重要组成部分，它是研究高等数学中其它问题的重要工具。研究极限核心问题是极限的求法。因此，掌握极限的求法显得尤为重要。、数列极限一、数列极限的概念及性质（一）设为数列,为定数。若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有则称数列收敛与，定数称为数列的极限。并记作：或存在极限的数列称为收敛数列。（二）常用极限：1、 2、 3、4、 5、 6、 7、（三）数列极限的性质：惟一性：若数列的极限存在（收敛），则极限值惟一。有界性：若数列有极限（收

7、敛），则数列有界。保号性：若0（或0），则对任何（或），存在正数，使得当时有（或）。保不等式性：设与均为收敛数列。若存在正数，使得当 时有，则。保序性：表述一：若与且，则，有表述二：给定两个数，若对，且，则。推广：若，且，则，有。迫敛性：（夹逼定理）设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且推广：若有两个数列与，且，有，又，则。（四）四则运算法则：若与均为收敛数列，则也都是收敛数列，且有，若假设及，则也是收敛数列，且有由上述条件还可得到：，二、极限数列的存在条件（一）单调有界定理：在实数系中，若数列单调上升（下降）有上（下）界，则数列存在极限，既数列收敛。例1、证明存在

8、。证明令 ，先证它单调上升 ，即单调上升。再证它有界，即有界。 由定理可知存在，其值为，即。（二）柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有。例2、设，试证：存在。证明 取，则对任意的和都有，所以数列收敛，即存在。三、数列极限的求法（一）利用数列极限定义证明极限成立。例3、证明：证明不妨设，要使不等式成立，解得：，取，于是，有，即。小结：用定义证明极限的关键是适当放大所要估计的量，在适当放大时，也有细微的不同，这细微的不同引起解不等式的难易程度也不同。之后再解一个表达式求出，并且要注意的任意性。（二）利用数列极限四则运算法则求极限。、有理分式函数可用未知数的最高次方项

9、去除分子，分母。例4、求极限解、分解因式例5、求极限解注：本题原本是型，但运用四则运算法则变形后使本题求解更简捷。、分子有理化例6、求极限解小结：利用四则运算法则求极限的关键是将函数式拆成几部分，但要求各部分极限均存在且易求，这样可以节省解题时间。（三）利用数列极限迫敛性求极限。例7、求极限解设，有 由于 有： 因为，故由数列极限的迫敛性知： 小结：利用这种方法求数列极限，要将原数列进行适当放缩，放缩后让原数列介于一个常数和另一个数列之间（此时要求另一个数列要以常数为其极限值）或介于两个极限相同的数列之间，再应用定理便可求出原数列的极限。（四）利用单调有界必有极限定理求数列极限。例8、设，数列

10、定义如下：。证明：数列的极限存在，并求其极限。证明由平均值不等式故有下界。 此外由可得，故为递减数列。 由单调性定理，收敛，记， 对递推式两边取极限，得，即。小结：定理只适合用于判别单调数列的收敛性，有很大的局限性。但对于递推数列此方法还是较为有效的。利用此定理解题，往往先用其证明极限存在，再设出极限，利用关系式求出极限。（五）利用级数收敛的必要条件求数列极限。例9、求极限解考察级数，令，则，故级数收敛，小结：当级数收敛时，必有，对比较复杂的借助级数收敛求极限有时比较容易。但这种方法的局限性很大，只能用于极限为0的情况且需要计算另一个极限。四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用。例10

11、、设按揭贷款额为，月利率为，每月偿还额为（常数），则第个月的欠款为。（1）求（2）求出每月偿还额，使在个月后正好偿还清全部按揭贷款本息。解（1）由此可以递推的导出：从而得到（2）从式可以看出，若每月偿还额，则欠款额将越来越大，在此情况下贷款永远还不清。若，则欠款恒为常数，仍然是还不清的。只有当时，由于，必存在，使，即在个月后可还清贷款本息。令，则由式得，解得：、函数极限一、函数极限的概念（一）趋于时函数的极限 设为定义在上的函数，为常数。若对任给的，存在正数，有，则称函数当趋于时以为极限，记作：或。（二）趋于时函数的极限 设为定义在上的函数，为常数。若对任给的，存在正数，时有，则称函数当趋于时

12、以为极限，记作：或。注：若为定义在上的函数则（三）趋于时函数的极限（函数极限的定义） 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为常数。若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限。记作：或。（四）趋于时的左右极限 设函数在内有定义，为常数。若对任给的，存在正数，是使得当时有，则称数为函数当趋于时的左右极限，记作：或。右极限与左极限称为单侧极限。在点的右极限与左极限又分别记为：与注：函数极限与相应的左、右极限之间的关系：二、函数极限的性质上面共叙述了六种类型的函数极限，下面以为代表来叙述函数极限的性质。惟一性：若极限存在，则此极限是惟一的。局部有界性：表述一：若存在则在的某个空心邻域内有

13、界表述二：若，则有。局部保号性：表述一：若，则对任何正数存在，使得对一切有。表述二：若，且，则，有。保不等式性：设与都存在，且在某邻域内有，则。保序性：表述一：若与，且，则，有。表述二：若与，且，有，则。迫敛性：设，且在某邻域内有，则。四则运算法则：若极限，则：又若，则再若，则复合函数极限设复合函数。若，则三、函数极限的存在条件（一）设函数在点的去心邻域上有定义。则极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在且相等即则。例11、讨论极限是否存在解在点的左右两侧极限附近，当时有，当（限定）时有，故由迫敛性知：，从而，故不存在（二）海涅归结原则设在内有定义。极限存在的充分必要条件是：对于任何含于且以为

14、极限的数列，极限都存在且相等。即：有例12、讨论极限是否存在解 设则显然有但，故由海涅归结原则知：不存在。例13、极限存在，证明：。证明设，则 故由海涅归结原则知： 解得：，即。同理可证：（三）柯西收敛准则设函数在内有定义。极限存在的充分必要条件是：任给，存在正数，使得对任何有：。例14、讨论极限是否存在。解取，对任何，设正整数，令，则有，而故由柯西收敛准则知极限不存在。四、函数极限的求法及推广（一）用函数极限定义证明极限成立例15、按定义证明：证明，若要证明命题成立，就要找到，使得当时有显然当时有故只要，即时式就能成立。故可取，取，则，式成立。故由定义可得：例16、按定义证明：证明不妨设要使

15、不等式成立 解得：，取，于是， 有，即小结：证明数列极限关键是找正整数，证明函数极限的证法与证明数列极限相同，关键是找到正数。例17、按函数极限定义证明：证明，要使不等式成立，则，取于是有，即原命题成立。小结：用函数极限定义证明极限成立与证明数列极限类似，主要在与找。（二）用函数四则运算法则求极限、用未知数的最高次方项去除分子、分母例18、求解、分子有理化例19、求极限解、分母有理数例20、求极限解、三角函数例21、求极限解小结：利用四则运算法则求极限的关键是将函数式拆成几部分，但要求各部分极限均存在且易求。（三）利用函数连续性求极限设函数，当时的极限存在且等于，即而函数在点连续，那么复合函数

16、当时的极限也存在且等于，即例22、求极限解设，则，而函数在点连续，小结：函数在点时可不连续，但一定要有极限，而函数在点时，必须连续。（四）利用等价无穷小量代换求极限 设在某邻域内有定义。若则称为当时的无穷小量。若函数在某邻域内有界则称为当时的有界量。对于自变量的某种趋向（或时），所有以或为正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。设与当都是无穷小，且若，称比是高阶无穷小。若，称与是同阶无穷小。若，称与是等阶无穷小。记作：无穷小量的性质若函数与当都是无穷小量，则函数是无穷小量，函数 是无穷小量。设在内有定义且不等于，若为时的无穷大量，则为时的无穷小量。定理：设函数在内有定义且有 若，则 若，则

17、。一般常用的无穷小量代换当时；例23、求极限解，故小结：利用无穷小量求极限关键要记住一些函数的等价无穷小量，且要注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。（五）利用洛必达法则求极限 两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不等式极限，分别记为型或型的不等式极限。、型不等式极限若函数和满足：在点的某空心邻域内两者都可导，且 （可为实数，也可为或）则例24、求极限解本题属于型， 、型不等式极限若函数和满足：在点的某右邻域内两者都可导，且 （可为实数，也可为或）则例25、求极限解本题属于型，对于，这几种类型，通过变形仍可应用洛必达法

18、则。例26、求极限解本题属于型，此时变成型，故小结：洛必达法则可以连续使用，但每次必须检验是否属或型不等式，如果不是就不能使用洛必达法则。对于，这几种类型可以通过以下变形化成型或型求解。或；（六）利用麦克劳林公式求极限 对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数。由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒多项式。若函数在点存在直到阶的导数，则即称为函数在点处的泰勒公式。泰勒公式在时的特殊形式称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式；例27、求极限解， 小结：利用麦克劳林公式求极限主要是确定把函数展开到第几项（七）利用拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开

19、区间内可导；则在内至少存在一点，使得例28、求极限解对函数在区间上使用拉格朗日中值定理得 其中，当时，故小结：利用此定理解题的局限性很大，必须构造，但证法简捷，巧妙。（八）利用定积分定义求极限 设函数闭区间上连续，于是定积分存在，将等分，分点依次为：，每个小区间的长度为。在小区间上选取右端点作和，有选取左端点作和，有上述方法可以将某些极限问题转化为求定积分例29、求极限解取右端点，得故小结：此方法的关键是确定以及（九）黎曼和形式的极限设与常义可积，将等分，根据黎曼积分定义，其中。若取得若取为的中点，得例30、求极限解 小结：作黎曼和这类题目关键要提出一个因子，然后确定。（十）利用积分中值定理求

20、极限推广的积分第一中值定理：若与都在上连续，且在上不变号，则至少存在一点，使例31、求极限解由积分第一中值定理得其中，由于，且故有（十一）利用积分上限函数的性质求积分极限设在上可积，则对任何，在上也可积。于是，由，定义了一个以积分上限为自变量的函数称为变上限的定积分。若函数闭区间上连续，则积分上限函数在可导，且，即积分上限函数是被积函数的原函数。例32、求极限解由洛必达法则及积分上限函数的性质有：小结：以上两种方法对于求积分极限是十分巧妙的，应用得当事半功倍。（十二）利用收敛级数的和求极限例33、设为二函数，且，而令求：解 因为级数收敛，且其和为，故所以（十三）利用两个重要极限求极限第一个重要

21、极限：特点：1、分子、分母在极限过程中极限都为，即型。 2、分子是正弦函数，分母是正弦函数的自变量。例34、求极限解第一个重要极限的扩展： （，当或）例35、求极限解令，当时第二个重要极限：特点：1、底是与某项之和，某项在极限过程中的极限为零。 2、幂是某项的倒数。通过等价变换可得：例36、求极限解例37、求极限解由此题可以得到第二个重要极限的扩展 （，当或） （，当或）第二个重要极限的推广设在自变量的同一变换过程中，若存在，则存在，且证明因为所以存在，且如果，则有证明 因为所以，即当例38、求极限解例39、求极限解五、函数极限在求曲线渐近线方面的应用若曲线有斜渐近线，则常数，常数若函数满足，

22、则曲线有垂直渐近线例40、求曲线的渐近线解故此曲线的斜渐近线方程为因为故此曲线有垂直渐近线和、数列极限和函数极限的关系海涅定理：对任意数列，且，有推论一：若存在某个数列，且，而它的函数值数列不存在极限，则函数在也不存在极限。推论二：若存在某两个数列与，且与，且与，而，则函数在不存在极限。小结：海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理的必要性，函数在的极限可化为函数值数列的极限；根据海涅定理的充分性，又能把数列极限的性质转移到函数极限上来。结束语高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占为极其重要的

23、地位，许多重要的概念如连续、导数、定积分等等都是由极限定义的。因此，极限运算是高等数学的基本运算。本文总结了几种极限的求法。在作题时，应注意多种方法的综合应用。对于不同的题目可有多种方法求解，只不过有难易之分，在求解时应注意题目的特点，根据其特点，选择适当的方法。参考文献：1数学分析新讲，北京大学出版社，1988，12。2华东师范大学数学系，数学分析（第三版），高等教育出版社，1999，9。3数学分析，复旦大学出版社，2002，4。4数学分析学习方法指导丛书，复旦大学出版社，2002，4。5数学分析讲义（第四版），高等教育出版社，2002，10。6北京大学数学科学学院，数学分析，高等教育出版社，2005，2。7数学分析习题精解，科学出版社，2001，10。