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1、同学们，经过几天的努力学习，你的身心可能有些疲惫，好想歇息一会儿，有句话说的好，很多事情不是有了希望才坚持，而是坚持了才有希望。同学们因为你的坚持又向理想迈进了一步，拿出我们饱满的热情迎接新的一课！努 力 加 油1.2.3 空间中的垂直关系线面垂直海岳中学 李富政学习目标：学习目标：一、理解直线与平面垂直的定义一、理解直线与平面垂直的定义和性质；和性质；二、二、能通过动手试验，归纳和掌握直能通过动手试验，归纳和掌握直线与平面垂直的判定定理线与平面垂直的判定定理并学会简单并学会简单应用。应用。一、空间两条直线垂直一、空间两条直线垂直 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于如果两条直线相交于一点
2、或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。ABCCBADDAA ABCC ABABABABABABABABAB二、直线与平面垂直二、直线与平面垂直AB 1、定义：如果一条直线、定义：如果一条直线AB和一个平面和一个平面相交于一点相交于一点O，并且和这个平面内过交点，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，的任何直线都垂直，我们就说我们就说这条直线和这个平面垂直这条直线和这个平面垂直。直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 A A平面的垂线平面的垂线直线的垂面直线的垂面垂足垂足这条直线叫做这条直线叫做平面的垂线平面的垂线，这
3、个平面叫做，这个平面叫做直线的垂面。直线的垂面。 交点叫做交点叫做垂足垂足,垂线上一点到垂足间的线段垂线上一点到垂足间的线段,叫做这个点到叫做这个点到这个平面的这个平面的垂线段垂线段,垂线段的长度叫做这个点到平面的垂线段的长度叫做这个点到平面的距离距离。 LP通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。CBAO平面内平面内任意一条任意一条直线直线AO在平面内不经过在平面内不经过O点的任意直线和垂线什么关系？点的任意直线和垂线什么关系？B1C13、线面垂直的性质：、线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它如果一条直线垂直于一个平面，那
4、么它就和平面内的任意一条直线垂直。就和平面内的任意一条直线垂直。符号语言表示：符号语言表示： abba b此性质经常用来此性质经常用来证明线线垂直证明线线垂直,特特别是异面垂直别是异面垂直a思考问题： 学校操场上竖了一根新学校操场上竖了一根新旗杆，现要检验它是否与地旗杆，现要检验它是否与地面垂直，现在手中只有几根面垂直，现在手中只有几根绳子和皮尺，你有什么好办绳子和皮尺，你有什么好办法？法？（1 1）根据定义判断）根据定义判断 （2 2）有没有什么方便可行的方法来判定？）有没有什么方便可行的方法来判定？探究:（1 1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线）如果平面外的一条直线和平面内的一条直
5、线 垂直，能不能保证该直线垂直于此平面垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？b bl不能不能lb,bl 即：即：探究: （2 2）和一个平面内的两条直线垂直呢？）和一个平面内的两条直线垂直呢？c c两条直线平行的情况两条直线平行的情况即：即：不能不能b a c a b/cl b l cl探究: （2 2）和一个平面内的两条相交直线垂直呢？）和一个平面内的两条相交直线垂直呢？找不到反例找不到反例,bcbcPllb lc 即：即：猜想： 是不是一条直线垂直于平面内的是不是一条直线垂直于平面内的两条相交直线，此直线就垂直于该平两条相交直线，此直线就垂直于该平面呢？面呢？ 如图，准备一块三角形的纸片，做
6、一个试验： 过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直ABCDABCD探究探究ABCDABCD 当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD所在直所在直线与桌面所在平面线与桌面所在平面 垂直垂直ABCDABCD问：由此可以归纳出直线与平面垂直应问：由此可以归纳出直线与平面垂直应具有什么条件？具有什么条件？直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理lnlmlPnmnm,如果一条直线如果一条直线 和平面和平面 内的两条相交直线内的两条相
7、交直线m,nm,n都垂直，都垂直， 那么直线那么直线 垂直平面垂直平面 ll即：即：mnPl线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直关键：线不在多，相交则行关键：线不在多，相交则行 取决于在这个取决于在这个平面内平面内能否能否找到找到两条相交直线两条相交直线和已知和已知直线垂直直线垂直. 问：要判断一条直线与一个问：要判断一条直线与一个平面是否垂直平面是否垂直,取决于什么？取决于什么？应用定理，加深理解例1 判断下列命题是否正确，并说明理由(1)ABCDA B CDBBABCD 正方体中，棱和底面垂直（2）正三棱锥PABC中，M为棱BC的中点，则棱BC和平面PAM垂直（1） BBAB,BBBCABB
8、CB,AB BCABCD 平面BBABCD 平面（2） P-ABC为正三棱锥，,PBPC ABACM为棱BC的中点BC PM,BC AMAMPM=M,PM AMPAM平面BC平面PAM1、 定义定义 如果一条直线如果一条直线AB和一个平面和一个平面相交于一点相交于一点O，并，并且和这个平面内过交点且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就的任何直线都垂直，我们就说这条说这条直线和这个平面垂直。直线和这个平面垂直。2、判定定理、判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条这条直线与这个平面垂直直线与这个平面垂直。线面垂直的判定方法：线面垂
9、直的判定方法：自己动手，解答问题自己动手，解答问题有一同学测得一旗杆有一同学测得一旗杆AB高高8m，它的顶端，它的顶端A挂着两条长挂着两条长10m的的绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点绳子，拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C,D（ （和旗和旗杆脚不在同一条直线上杆脚不在同一条直线上） ），如果这两点和旗杆脚，如果这两点和旗杆脚B的距离都是的距离都是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ABDC证明：ABC中，AB=8m，BC=6m，AC=10m222ABBCAC同理ABBDB、C、D三点不共线，BCBD=BBCBCDBDBCD平面，平面AB平面BCD
10、即旗杆和地面垂直ABBC练习如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VBAC.ABCV分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直 （2）ACVB所在的面，应该 是哪一个面？ 给出VA=VC，AB=BC可 以知道VAC与BAC都是 等腰三角形证明：取AC的中点D，连结DV、DBDVA=VC，AB=BCVAC与BAC都是等腰三角形ACDV ACDBDVDB=DAC平面VDB ACVB小结：证面内两直线垂直经常用的方法：等腰三角形底边上的中线、高线、角平分线三线合一VBDB平 面 V，1 1直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空
11、间问题空间问题平面问题平面问题 2 2直线与平面垂直的判定、性质直线与平面垂直的判定、性质线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线面垂直很关键线面垂直很关键，要证线面找线线要证线面找线线；必是面内两交线必是面内两交线，线面线线会转换线面线线会转换。善于观察勤思考，善于观察勤思考，成绩提升步步高。成绩提升步步高。 检测答案：1、A 2、C 3、4个ABDCA B CDABCD-ABCD为正方体正方体DD平面平面ABCDACDDACABCD平面AC、BD 为正方形为正方形ABCD的对角线的对角线ACBDDDBD=DAC平面平面BDD,DD BDBDD 平面BDBDD平面ACBD 4、证明：连结、证明：连
12、结BD（线面垂直（线面垂直线线垂直）线线垂直）（线面垂直的判定定理）（线面垂直的判定定理）3、在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.PABCD. AB CD : . EB , EACD,=:. 4 求证已知1、如图，空间中直线、如图，空间中直线l和三角形的两边和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的同时垂直，则这条直线和三角形的第三边第三边AB的位置关系是（的位置关系是（ ）A 平行平行B 垂直垂直C 相交相交D 不确定不确定ABC2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ）A.A.平行平行 B.B.相交相交 C.C.平行或相交平行或相交ab直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定定理判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。线垂直，则这条直线与这个平面垂直。l lal bl abAbal