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1、3.1向量及其运算向量及其运算本章包含内容：本章包含内容：1向量组的线性相关性向量组的线性相关性2向量组的秩向量组的秩3向量空间（不作重点内容）向量空间（不作重点内容）本章特点：概念多，结论多，方法多。有难度！本章特点：概念多，结论多，方法多。有难度！ 本章与下一章关系图如下！本章与下一章关系图如下！1.1.定义定义1:1: . ),(, 2121个分量称为第个数个分量，第个数称为该向量的维向量，这称为所组成的数组个有次序的数iainnnaaaaaaninn分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、一、n n维向
2、量的概念维向量的概念), 3 , 2 , 1 (n例如例如n维实向量维实向量) 1(,32 ,21 (innii 第第1个分量个分量第第2个分量个分量第第n个分量个分量n维复向量维复向量),(21nTaaaa naaaa21 2、 n维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ban注意注意行向量和列向量区别是写法不同；行向量和列向量区别是写法
3、不同；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量列向量.例如：例如：确定飞机的状态，需要以下确定飞机的状态，需要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰机身的仰角角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以确定飞机状态需用所以确定飞机状态需用6维向量维向量),( zyxa 3.n3.n维向量的实际意义维向量的实际意义 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何
4、形象n3 n RxxxxxxxRnnnT ,),(2121叫做叫做 维向量空间维向量空间n4.特殊向量特殊向量零向量：零向量：分量全为零的向量，分量全为零的向量，0=（0，00)负向量：负向量： . ),(- ),( 2121nnaaaaaaaaa的负向量为则向量相等：向量相等：维数相等，各分量相同的向量相等。维数相等，各分量相同的向量相等。例如例如: :若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成绩描述了学生的成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家课后再多举
5、几例的？请大家课后再多举几例, ,说明向量的实际应用说明向量的实际应用), 2 , 1(),(),( 2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT则设即：二向量的线性运算二向量的线性运算1 1加法：加法：),(),(),( 22112121nnnnbabababbbaaa则，若2 2数乘数乘: :),(),( 2121nnkakakakaaa，则若思考思考：矩阵乘法在这里能应用吗？：矩阵乘法在这里能应用吗？3 3向量加法和数乘运算称为向量的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算线性运算，满足，满足8个运算律个运算律：(1) 00(3) )()(2)( (5)1 0)(4) )(7) R,)()()(6)( ，其中)(8)( ),(:2211bababann减法