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1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2导数的意义 (1)几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0) (2)物理意义：函数ss(t)在点t处的导数s(t)，就是当物体的运动方程为ss(t)时，运动物体在时刻t时的瞬时速度v，即vs(t)而函数vv(t)在t处的导数v(t)，就是运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即av(t) 3利用导数的几何意义求切线方程 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得
2、；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0y1f(x1)(x0 x1) 又y1f(x1) 由求出x1，y1的值 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程 分析根据导数的几何意义可知，欲求yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率，即求f(1)，即可得所求斜率 例2已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，又f(1)0. (1)求a的值； (2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值
3、；如果不存在，请说明理由 分析直线ykx9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与yg(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线yf(x)的切线 当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11； 当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10. 所以y12x9不是公切线 由f(x)0，得6x26x120， 即有x1，或x2. 当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18； 当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9. 所以y9是公切线 综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线. 1.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数f(x)； (2)解不等式f
4、(x)0或f(x)0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；f(x)0或f(x)0的x的取值范围为(1,3) (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值； (2)当x2,3时，求g(x)f(x)6(m2)x的最大值 解析(1)由题意知f(x)3ax22bxc 3a(x1)(x3)(a0)， 在(，1)上f(x)0，f(x)是增函数， 在(3，)上f(x)0，f(x)是减函数 因此f(x)在x01处取极小值4，在x3处取得极大值 (2)g(x)3(x1)(x3)6(m2)x 3(x22mx3)， g(x)6x6m0，得xm. 当2m3时，g(x)maxg(m)3m29； 当m0(或f(x)0(或
5、f(x)0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“”，看此时f(x)是否满足题意 例5设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值 (1)求a、b的值； (2)若对于任意的x0,3，都有f(x)0； 当x(1,2)时，f(x)0. 所以当x1时，f(x)取极大值，f(1)58c. 又f(0)8c，f(3)98c，则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立， 所以98cc2，解得c9. 因此c的取值范围是(，1)(9，). 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间a，b上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继
6、续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点 1利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法： (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域 (2)求f(x)，令f(x)0，得出所有实数的解 (3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值 2利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去 (2)在
7、实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值 例6某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件 (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x(元)的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出L的最大值Q(a) 利用定积分求曲边梯形的面积、变力做功等问题，要注意用定积分求曲边梯形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)解方程组确定积分区间； (3)根据图形的特点确定积分函数； (4)求定积分 分析本题考查定积分知识 例8计算由y2x，yx2围成的图形的面积