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1、.*第二章 2.4 线段、角的轴对称性一选择题（共10小题）1（2016湖州）如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离是（） A8B6C4D22（2016淮安）如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15B30C45D603（2016德州）如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作
2、直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65B60C55D454如图，已知点P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A2 B2 C4 D4 5如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交AB于点D，连接CD若CD=AC，A=50，则ACB的度数为（）A90B95C100D1056如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分ABC，l与m相交于P点若A=60，ACP=24，则ABP等于（）A24B30
3、C32D427如图，ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A7cmB10cmC12cmD22cm 8三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（）ABC的内角平分线上的点到三边距离相等三角形的三条内角平分线交于一点三角形的内角平分线位于三角形的内部三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分A1个B2个C3个D4个9如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为（）A11B5.5C7D3.510如图所示，点P为AB
4、C三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC满足（）APC6BPC=6 CPC6D以上都不对二填空题（共6小题）11（2016西宁）如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=_ 12（2016遵义）如图，在ABC中，AB=BC，ABC=110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则ABD=_ _度13如图所示，已知ABC的周长是20，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，则ABC的面积是_14如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，ABD的周长为14cm，则ABC的周长为_ 15如图，ABC中，AB
5、=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是_16如图ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E，给出下列结论：DC=DE；DA平分CDE；DE平分ADB；BE+AC=AB；BAC=BDE其中正确的是_ （写序号）三解答题（共5小题）17如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED18如图，已知：ABCD，BAE=DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM（1）求证：AECF；（2）若AM平分FAE，求证：FE垂直平分AC19在ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边
6、的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点OADE的周长为6cm（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若OBC的周长为16cm，求OA的长20如图，点P为ABC三边垂直平分线的交点，若PAC=20，PCB=30，求PAB的度数21如图，AD为ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，连接EF交AD于点G（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若BAC=60，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由参考答案一选择题（共10小题）1（2016湖州）如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离是（）A8B6C4D2【分析
7、】过点P作PEBC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4【解答】解：过点P作PEBC于E，ABCD，PAAB，PDCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，PA=PE，PD=PE，PE=PA=PD，PA+PD=AD=8，PA=PD=4，PE=4故选C【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键2（2016淮安）如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射
8、线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15B30C45D60【分析】判断出AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：由题意得AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，又C=90，DE=CD，ABD的面积=ABDE=154=30故选B【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键3（2016德州）如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN
9、，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65B60C55D45【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到C=DAC，求得DAC=30，根据三角形的内角和得到BAC=95，即可得到结论【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故选A【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键4如图，已知点P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则
10、PC的最小值为（）A2B2C4D4【分析】根据角平分线的定义可得AOP=AOB=30，再根据直角三角形的性质求得PD=OP=4，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果【解答】解：P是AOB角平分线上的一点，AOB=60，AOP=AOB=30，PDOA，M是OP的中点，DM=4cm，OP=2OM=8，PD=OP=4，点C是OB上一个动点，PC的最小值为P到OB距离，PC的最小值=PD=4故选C【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键5如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为
11、半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交AB于点D，连接CD若CD=AC，A=50，则ACB的度数为（）A90B95C100D105【分析】由CD=AC，A=50，根据等腰三角形的性质，可求得ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得B的度数，继而求得答案【解答】解：CD=AC，A=50，ADC=A=50，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，CD=BD，BCD=B，B=ADC=25，ACB=180AB=105故选D【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等6如图，锐角
12、三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分ABC，l与m相交于P点若A=60，ACP=24，则ABP等于（）A24B30C32D42【分析】根据角平分线定义求出ABP=CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出CBP=BCP，根据三角形内角和定理得出方程3ABP+24+60=180，求出方程的解即可【解答】解：BP平分ABC，ABP=CBP，直线l是线段BC的垂直平分线，BP=CP，CBP=BCP，ABP=CBP=BCP，A+ACB+ABC=180，A=60，ACP=21，3ABP+24+60=180，解得：ABP=32，故选：C【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直
13、平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出ABP=CBP=BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用7如图，ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC=5cm，ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A7cmB10cmC12cmD22cm【分析】根据三角形周长求出AD+DC=12cm，根据线段垂直平分线求出AD=BD，求出BC=AD+DC，即可得出答案【解答】解：AC=5cm，ADC的周长为17cm，AD+DC=12cm，AB的垂直平分线DE，BD=AD，BC=BD+DC=AD+DC=12cm，故选：C【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到
14、线段两个端点的距离相等8三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（）ABC的内角平分线上的点到三边距离相等三角形的三条内角平分线交于一点三角形的内角平分线位于三角形的内部三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分A1个B2个C3个D4个【分析】画出图形，设O为BAC的角平分线和ACB的角平分线的交点，过O作ONAB于N，OMBC于M，OQAC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可【解答】解： 设O为BAC的角平分线和ACB的角平分线的交点，过O作ONAB于N，OMBC于M，OQAC于Q，ON=OQ，OQ=OM，ON=OM=OQ，ABC的三个内角的角平分线的
15、交点到三角形三边的距离相等，错误；ONAB，OMBC，ON=OM，O在ABC的角平分线上，即O是ABC的三个角的平分线交点，正确；三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，正确；三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，错误；故选B【点评】本题考查了三角形的角平分线性质和三角形的中线性质，主要考查学生的推理能力和辨析能力9如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为（）A11B5.5C7D3.5【分析】作DM=DE交AC于M，作DNAC，利用角平分线
16、的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DNAC于点N，DE=DG，DM=DG，AD是ABC的角平分线，DFAB，DF=DN，在RtDEF和RtDMN中，RtDEFRtDMN（HL），ADG和AED的面积分别为50和39，SMDG=SADGSADM=5039=11，SDNM=SEDF=SMDG=11=5.5故选B【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求10如图所示，点P为ABC三边垂直平分线的交点，PA=6，则点P到点C的距离为PC
17、满足（）APC6BPC=6CPC6D以上都不对【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PC=PA，得到答案【解答】解：点P为ABC三边垂直平分线的交点，PC=PA=6，故选：B【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键二填空题（共6小题）11（2016西宁）如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=2【分析】作PEOA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得ACP=AOB=30，由直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA
18、于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在RtPCE中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半），PD=PE=2，故答案是：2【点评】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键12（2016遵义）如图，在ABC中，AB=BC，ABC=110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则ABD=35度【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得A=C=35，再由线段垂直平分线的性质可求出ABD=A，问题得解【解答】解：在ABC中
19、，AB=BC，ABC=110，A=C=35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，AD=BD，ABD=A=35，故答案为：35【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键13如图所示，已知ABC的周长是20，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，则ABC的面积是30【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可【解答】解：如图，连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OB、OC分别平分ABC和ACB，OE=
20、OF=OD=3，ABC的周长是22，ODBC于D，且OD=3，SABC=ABOE+BCOD+ACOF=（AB+BC+AC）3=203=30，故答案为：30【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键14如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，ABD的周长为14cm，则ABC的周长为22cm【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案【解答】解：DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，AC=2AE=8cm，AD=DC，ABD的周长为14cm，AB+AD+BD=14cm，A
21、B+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用性质定理求出AD=DC是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等15如图，ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4【分析】由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得ACDABD，OCDOBD，AOCAOB，又由EF是AC的垂直平分线，证得OCEOAE【解答】解：AB=AC，D是BC的中点
22、，CAD=BAD，ADBC，OC=OB，在ACD和ABD中，ACDABD（SAS）；同理：CODBOD，在AOC和AOB中，OACOAB（SSS）；EF是AC的垂直平分线，OA=OC，OEA=OEC=90，在RtOAE和RtOCE中，RtOAERtOCE（HL）故答案为：4【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等16如图ABC中，C=90，AD平分BAC，DEAB于E，给出下列结论：DC=DE；DA平分CDE；DE平分ADB；BE+AC=AB；BAC=BDE其中正确的是 （写序号）【分析】根据角平分线上的
23、点到角的两边的距离相等可得DC=DE，判断正确，然后利用“HL”证明RtACD和RtAED全等，根据全等三角形对应角相等可得ADC=ADE，判断正确；全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判断正确；根据同角的余角相等求出BAC=BDE，判断正确，并得到错误【解答】解：C=90，AD平分BAC，DEAB，DC=DE，故正确；在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL），ADC=ADE，AC=AE，DA平分CDE，故正确；BE+AC=BE+AE=AB，故正确；BAC+B=90，BDE+B=90，BAC=BDE，故正确；ADE+BAD=90，而BADB，BDEAD
24、E，DE平分ADB错误，故错误；综上所述，正确的有故答案为：【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键三解答题（共5小题）17如图，在RtABC中，C=90，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D求证：CAB=AED【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论【解答】证明：DE是线段AB的垂直平分线，AE=BE，ADE=90，EAB=B在RtABC中，C=90，CAB+B=90在RtADE中，ADE=90，AED+EAB=90，CAB=AED【点评】本题
25、考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键18如图，已知：ABCD，BAE=DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM（1）求证：AECF；（2）若AM平分FAE，求证：FE垂直平分AC【分析】（1）先根据ABCD得出BAC=DCA，再由BAE=DCF可知EAM=FCM，故可得出结论；（2）先由AM平分FAE得出FAM=EAM，再根据EAM=FAM可知FAM=FCM，故FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论【解答】（1）证明：ABCD，BAC=DCA，又BAE=DCF，EAM=FCM，AECF；（2）证明：AM平分FA
26、E，FAM=EAM，又EAM=FCM，FAM=FCM，FAC是等腰三角形，又AM=CM，FMAC，即EF垂直平分AC【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键19在ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点OADE的周长为6cm（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若OBC的周长为16cm，求OA的长【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA=
27、OC=OB，再由OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论【解答】解：（1）DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，AD=BD，AE=CE，AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，BC=6cm；（2）AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，OA=OC=OB，OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，OC+OB=166=10，OC=5，OA=OC=OB=5【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等20如图，点P为ABC三边垂直平分线的交点，若PAC=20，P
28、CB=30，求PAB的度数【分析】由P为ABC三边垂直平分线的交点，推出PA=PC=PB，由等腰三角形的性质证得PAC=PCA=20，PBC=PCN=30，由PAB=PBA，根据三角形的内角和即可推出结论【解答】解：P为ABC三边垂直平分线的交点，PA=PC=PB，PAC=PCA=20，PBC=PCN=30，PAB=PBA，PAB=（180220230）=40【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质得到PA=PB=PC是解题的关键21如图，AD为ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，连接EF交AD于点G（1）求证：AD垂直平分EF；（2）
29、若BAC=60，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由【分析】（1）由AD为ABC的角平分线，得到DE=DF，推出AEF和AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论；（2）由已知推出EAD=30，得到AD=2DE，在DEG中，由DEG=30推出DE=2DG，即可推出结论【解答】（1）证明：AD为ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF，AED=AFD=90，DEF=DFE，AEF=AFE，AE=AF点A、D都在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF（2）答：AG=3DG理由：BAC=60，AD平分BAC，EAD=30，AD=2DE，EDA=60，ADEF，EGD=90，DEG=30DE=2DG，AD=4DG，AG=3DG【点评】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DG题目比较典型，综合性强