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1、.弹力小结矩形薄板的几种解法 矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为, 。 ， 。， 。 纳维把挠度的表达式取为如下的重三角级数：， （a）其中和都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（a）代入弹性曲面微分方程D4w=q，得到 为了求出系数，须将式（b）右边的展为与左边同样的重三角级数即。 （c）现在来求出式（c）中的系数。将式（c）左右两边都乘以，其中的为任意正整数，然后对积分，从0到，注意0 ， (m i) a/2 ， ( m = i) 就得到 。再将此式的左右两边都乘以，其中的也是任意正整数，然后对积分，从0到，注意 0 ， (
2、n ) /2 ， ( n = ) .就得到因为和式任意正整数，可以分别换为和，所以上式可以换写为解出，代入式（c）,得到的展式。 （13-25）与式（b）对比，即得当薄板受均布荷载时，成为常量，式（d）积分式成为于是由式（d）得到或 代入式（a），即得挠度的表达式由此可以用公式求得内力。当薄板在任意一点（）受集中荷载时，可以用微分面积上的均布荷载来代替分布荷载。于是，式（d）中的除了在（）处的微分面积上等于以外其余各处都等于零。因此，式（d）成为代入式（a），即得挠度的表达式 ， 值得指出：当及分别等于及时，各个内力的级数表达式都不收敛（这是可以预见的，因为在集中荷载作用处，应力是无限大的，从
3、而内力也是无限大），但挠度的级数表达式（e）仍然收敛于有限打的确定值。显然，如果在式（e）中命和等于常量而把和当做变量，并取，则该式的将成为（）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动时，该点的挠度变化率。同样。在由式（e）对及求导而得到的内力表达式中，命和等于常量并取，则各该表达式将成为在（）点的各该内力的影响函数。本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简单。它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载，也不能有沉陷引起的挠度。它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。二：莱维解法对于有两个对
4、边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边及，其余两边式任意边，承受任意横向荷载。莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数： 其中是的任意函数，而为任意正整数。极易看出，级数（a）能满足及两边的边界条件。因此，只需选择函数，使式（a）能满足弹性曲面的微分方程，即： （b） 图13-8并在的两边上满足边界条件。 将式（a）代入（b），得 。 （c）现在须将式（c）右边的展为的级数。按照傅里叶级数展开式的法则，得 。 与式（c）对比，可见 （d） 这一常微分方程的解答可以写成 其中是任意一个特解，可以按照式（d）右边积分以后的结果来选择；、是任意常
5、数，决定于两边的边界条件。将上式代入式（a），即得挠度w的表达式 Dmmyacoshmya+fm(y)sinmxa (e) 作为例题，设图13 8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载q=qo 。 这时，微分方程（d）的右边成为 于是微分方程（d)的特解可以取为 .带入式（e），并注意薄板的挠度w应当是y的偶函数，因而有Cm=0，Dm=0， 得 。 （f） 应用边界条件 ， 由式（f)得出决定Am 及Bm的联立方程 或者 ,（m=2,4,6.。）其中。求得 Am 及Bm，得出 ， ；（m=1,3,5.。）或者得出 （2,4,6.。） 将求出的系数带入式（f），得挠度w的最后表达式 （g）并可以
6、从而求得内力的表达式。 最大挠度的、发生在薄板的中心。将及代入公式（g），即得这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板，得出 在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。但是，在其他各点的挠度表达式中，级数收敛就没有这样快。在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。 应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。三：一般解法 此外在13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。于是可得矩形薄板的一个一般解法，说明如下。 采用结构力学中的力法。位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基本系。对于任一夹支边，以该边
7、上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未知值，应用上面所述的解答，求出夹边上的法线斜率，自由边上的分布反力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已知荷载来表示），命夹边上的法向斜率 等于零，自由边上的分布反力等于零，两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率 ，内力和反力。当然，求解时的运算是很繁琐的。在工程设计中，一般总是利用现成的图表，或是采用各种数值解 对于在各种边界条件
8、下承受各种横向荷载的矩形薄板，很多专著和手册中给出了关于挠度和弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。为了节省篇幅，对于只具有简支边和夹支边而不具有自由边的矩形薄板，在矩形的表格或图线中大都给出泊松比等于某一指定数值时的弯矩。但是，我们极易由此求得泊松比等于任一其他数值时的弯矩，说明如下。 薄板的弹性曲面微分方程可以写成 夹支边及简支边的边界条件不外乎如下形式： 把Dw看作基本未知函数，则显而易见，Dw的微分方程及边界条件中都不包含泊松比，因而Dw的解答不会包含泊松比，于是及都不随泊松比而变。现在，根据公式（13-12），当泊松比为时，弯矩为 （h）当泊松比为时，弯矩为 （i）由式（h）解出及，然后代入式（i），得到关系式 （13-26)于是可见，如果已知泊松比为时的弯矩MX及MY，就很容易求得泊松比为时的弯矩MX及MY。在=0的情况下（表格或图线所示的MX及MY是取=0而算出的），上式简化为 （13-27）注意，如果薄板具有自由边，则由于自由边的边界条件方程中包含着泊松比，因而Dw的解答将随泊松比而变。于是，式（h)中的Dw与式（i）中的Dw-般并不相同，因而就得不出关系式（13-26）及（13-27）。