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1、基基本本不不等等式式及及其其应应用用考纲要求：考纲要求：C C级级a+baba0b02（，）知识回顾知识回顾 : 1 若若a , bR，那么，那么 a 2 + b 2 2ab( 当且仅当当且仅当 a = b 时时, 取取 “ = ” 号号 ) 两个正数的算术平均数不小两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数于它的几何平均数 .基本不等基本不等式式a+ b2 ab若若 a 0 b 0那么那么2问题问题 1 .回顾探索回顾探索基本不等式基本不等式 的的 代数证法代数证法.2baab证法证法 1 :abba2baba221 . 0212ba.2baab证法证法 2 :比较法比较法分析法分析法要证要证
2、2baab只要证只要证,2baab只要证只要证, 02abba只要证只要证. 02 ba.2baab证法证法 3 :对于正数对于正数 a , b , 有有. 02ba, 02abba,2baab.2baab综合法综合法证法回顾证法回顾1 . 比较法比较法2 . 分析法分析法3 . 综合法综合法， 1 .已知已知 ,且且 ,则则 的的最大值为最大值为 _., x yR41xyx y2 . 设设x，y 为正数为正数,则则 的最小值为的最小值为 _ .yxyx411619小试牛刀小试牛刀11.(0)_.(4)(04)_.yxxxyxxx函函数数的的最最小小值值为为2 2 函函数数的的最最大大值值为为
3、a+b2 ab 2a+bab()2 当积当积ab为定值为定值M时时,和和a+b有最有最_值值:_;当和当和a+b为定值为定值N时时,积积ab有最有最_值值:_.小小2 M大大2N()2这是基本不等式的推广，即：积定和最小，这是基本不等式的推广，即：积定和最小，和定积最大。和定积最大。适用范围是：适用范围是： “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”继续探继续探究究例例 1.利用基本不等式解决下列各题：利用基本不等式解决下列各题： (1) 求函数求函数 的最大值的最大值;) 0(21xxxy 42(3);3yx xx 求求函函数数的的最最小小值值 3(2 )(0,2 ,yx axxax 求求函函
4、数数a 为常数为常数 ) 的最大值的最大值 .体会：利用基本不等式求最值关键是：体会：利用基本不等式求最值关键是：考察考察“正正”，构造，构造“定定”，检验，检验“=”=”！224sinsinyxx最最小小值值为为? ?a2.a+b=2,22_.x+1 2.x(-1,+ ),y=x56_.bx 练练习习:1:1 若若则则的的最最小小值值为为已已知知函函数数 的的最最大大值值为为3.0,0,1,2121_.ababab设设且且则则的的最最大大值值为为32 2 42 214.x0,y0,x+y=1xyx,y.例例2 2 已已知知且且，求求的的最最小小值值并并求求指指出出相相应应的的的的值值 的的最
5、最小小值值s si in n9 9c co os s1 1求求2 22 2的的最最小小值值1 1x x0 0 x x1 1b bx xa a求求2 22 2变式练习：变式练习：12,33xy 当当时时, ,原原式式取取得得最最小小值值9 9. .16(|a|+|b|)2nabc nNabbcac 11,n例例4.4.已已知知求求 的的最最大大值值。4ayxaaymnn 3.log (3)1(01)A,A1(0)_.例例 函函数数且且的的图图像像x x过过定定点点若若点点 在在直直线线上上m m则则m+nm+n的的最最小小值值为为 32 2小小 结结 与函数法相比，使用基本不等式与函数法相比，使
6、用基本不等式求最值往往快捷的多，特别是处理一求最值往往快捷的多，特别是处理一些多元问题，其缺点是较灵活，且限些多元问题，其缺点是较灵活，且限制条件多，使用时大家要谨记：制条件多，使用时大家要谨记： “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”的要诀。的要诀。思考：思考：91 4 41 1. .在在“”中中的的方方框框内内分分别别填填上上一一个个自自然然数数，口口 口口并并使使它它们们的的和和最最小小。 2 22 22 2b b2 2. .a a0 0, ,b b0 0, ,a a1 1, ,求求a a 1 1 b b 的的最最大大值值. .2 24 .已知已知 , 则则 的最小值为的最小值为 _ .*, ,x y zR230.xyz2yxz33 .已知不等式已知不等式 对任意对任意正实数正实数 x , y 恒成立恒成立,则正实数则正实数 a 的最小的最小值为值为_ . 91yaxyx4