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1、随机变量及其分布01 条件概率与全概率公式【知识点梳理】1条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率2概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)我们称上式为概率的乘法公式3条件概率的性质设P(A)0，则(1)P(|A)1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)；(3)设和B互为对立事件，则P( )1P(B)4全概率公式在全概率的实际问题
2、中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意的事件B，有P(B)P(Ai)P(B.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一5贝叶斯公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意事件B，P(B)0，有P(Aii1，2，n.6在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率02 离散型随机变量及其分布列 【知识点梳理】1随机变量随
3、机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量2离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.3.随机变量和函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集4离散型随机变量的分布列离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和(1)离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机
4、变量X的可能取值为 x1，x2，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(Xxi)pi，i1，2，n为X的概率分布列，简称为分布列(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表Xx1x2xixnPp1p2pipn还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图5离散型随机变量的分布列的性质(1)pi0，i1，2，n；(2) p1p2pn1.6两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X如果P(A)p，则P()1p，那么X的分布列如表所示X01P1pp我们称X服从两点分布或01分布03 离散型随机变量的数字特征 【知识点梳理】1离
5、散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpnxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平2两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)0(1p)1pp；3离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(Xxi) pi，i1，2，n.一般地，下面的结论成立：E(aXb)aE(X)b4离散型随机变量的方差、标准差正确
6、求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2 ，(xnE(X)2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2(xnE(X)2pn (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为(X)5几个常见的结论(1)D(aXb)a2D(X)(2)若X服从两点分布，则D(X)p
7、(1p)04 二项分布与超几何分布 【知识点梳理】1n重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验2n重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立3二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p0为参数显然对于任意xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)，特别地，当0，1时，称随机变量X服从标准正态分布2由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(2)曲线在x处达到峰值；(3)当无限增大时，曲线无限接近x轴3正态分布的期望与方差若XN(，2)，则E(X)，D(X)24正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)0.6827；(2)P(2X2)0.9545；(3)P(3X3)0.9973在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3原则.学科网（北京）股份有限公司