复数的三角形式ppt课件.ppt

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1、复数的三角形式复数的三角形式新课讲授新课讲授复数的三角形式复数的三角形式OZbaZbiaz )3(),( )2( )1(向向量量点点代代数数形形式式 ),(Rba 一一、复复数数的的表表达达二、复数与复平面二、复数与复平面z z= =a a+ +b bi i向向量量O OZ Z点点Z Zxy0 ab Z Z (a,b)的的模模即即为为向向量量复复数数的的模模复复数数的的虚虚部部复复数数的的实实部部OZzba| 三角函数的定义:O),(yxPxrsincostgrxryxyy有有什什么么关关系系？与与则则所所在在射射线线为为终终边边的的角角，以以轴轴的的非非负负半半轴轴为为始始边边，是是以以，设

2、设 , , | rbaOZxOZr 新课讲授新课讲授r xy0 ab Z Z (a,b)sin(cos irbiaz sin , cos rbra 我我们们有有：的的三三角角形形式式叫叫做做复复数数 )sin(cosbiair 复复数数的的辐辐角角复复数数的的模模， r复数的三角形式复数的三角形式rab复数辐角的概念：以x轴的正半轴为始边，向量oz所在的射线（起点是o）为终边的角，叫复数z=a+bi的辐角。复数辐角用ArgZ=2k+表示适合02的辐角的值，叫辐角主值 记作arg z，即0arg z2。复数(除0外)与它的辐角主值一一对应。当aR+时，arga=0，arg（-a）=argai=/

3、2，arg（-ai）=3/2，arg0不一定XOYZ(a,b)复数的三角形式条件：Z= （ i ）r0。加号连接。Cos在前，Sin在后。前后一致，可任意值。r Cos Sin+例题讲解例题讲解)32sin32cos(3 )5( )3sin()3cos( )4( )611sin311(cos3 )3( )3cos3(sin3 )2( )3sin3cos(3 )1( 1 iiiii 值值：、求求下下列列复复数数的的复复角角主主复数的三角形式复数的三角形式例题讲解例题讲解 0 4的三角形式是的三角形式是，则，则、若、若aa iii2 )4( 1 )3( 1 )2( 3 )1( 3 角角形形式式、把

4、把下下列列复复数数表表示示成成三三)611sin611(cos6 )2( )3sin3(cos4 )1( 2 ii 数数形形式式、把把下下列列复复数数表表示示成成代代复数的三角形式复数的三角形式5：将下列复数化为三角形式； 552 iSinCos 43432 iCosSin 3321 iSinCos 552 iSinCos SiniCos 2 59592 iSinCos 47472 iSinCos 343421 iSinCos 54542 iSinCos iSinCos例题讲解例题讲解的值的值，求，求且且，、若、若 5751 , 1|, 721212121zzizzzzCzz )tan( 7

5、31 6的的值值为为，则则和和的的辐辐角角主主值值分分别别为为与与、复复数数 ii )77()3( 54的的辐辐角角主主值值为为，则则复复数数、设设ziiz 复数的三角形式复数的三角形式复数的三角形式复数的三角形式)2( cossin1 18 i）（形式形式、将下列复数化为三角、将下列复数化为三角新课讲授新课讲授)sin(cos )sin(cos22221111 irzirz 法法与与乘乘方方一一、复复数数三三角角形形式式的的乘乘各复数的辐角的和各复数的辐角的和模的积，积的辐角等于模的积，积的辐角等于等于各复数的等于各复数的两个复数相乘，积的模两个复数相乘，积的模 复数的三角形式复数的三角形式

6、)sin()cos( )cossinsin(cos )sinsincos(cos )sin(cos )sin(cos212121212121212122211121 irrirririrzz几何意义几何意义 是什么呢？是什么呢？新课讲授新课讲授)sin(cos )sin(cos22221111 irzirz 法法与与乘乘方方一一、复复数数三三角角形形式式的的乘乘 nnrrrr2121 , 若若复数的三角形式复数的三角形式)sin( )cos( )sin(cos )sin(cos )sin(cos21212122211121nnnnnnnirrriririrzzz )sin(cos )sin(c

7、os ninrirnn 棣莫弗定理例题讲解例题讲解 )3( )80cos80(sin3 266ii ，、计算：、计算：)6sin6(cos3)12sin12(cos2 1 ii 、计计算算：)( 09 1 3用用代代数数形形式式表表示示对对应应的的复复数数向向量量，求求与与，得得到到逆逆时时针针方方向向旋旋转转按按对对应应，把把与与复复数数、向向量量ZOZOOZiOZ 复数的三角形式复数的三角形式例题讲解例题讲解的的模模与与辐辐角角，求求、已已知知 1 )12sin12(cos4 5ziz 是实数？是实数？是什么值时，是什么值时，、正整数、正整数 )31( 4nin 的的示示意意图图出出，在在

8、直直角角坐坐标标平平面面上上画画，若若、已已知知复复数数 )( |1|)( , sincos 63xfyzzxfRxxixz 复数的三角形式复数的三角形式例题：例题： 例例 1复数复数 z1与与 2+4i 的积是的积是 2-16i，复数，复数 z2满足满足1i) i167(zz21 .如果复数如果复数 z1的辐角主值是的辐角主值是 ，z2的辐角的辐角主值是主值是 ，求，求 + 的值的值. 分析与解答：分析与解答： + 是是 z1z2的一个辐角；的一个辐角； 必须先求出必须先求出 z1和和 z2，并由此确定，并由此确定 、 的范围；的范围； 由已知由已知i 23i 21i 81i 42i162z

9、1 ,将其代入另一个条件，将其代入另一个条件， 解得解得i 51i 23i177z2 ， z2=1-5i, 23),i 23arg(zarg1 , 223),i 51arg(zarg2, 2725 , 又又 z1z2=(-3-2i)(1-5i)=-13+13i. + 是是 z1z2的一个辐角，且的一个辐角，且11313)(tg . 411 . 解该题时，很多同学由于不注意解该题时，很多同学由于不注意 、 以及以及 + 的范的范 围，从而得出错误结论围，从而得出错误结论. 、 分别在分别在0, 2 )内，但内，但 + 不一定在这个范围内，不一定在这个范围内， 要结合要结合 z1z2=-13+13

10、i 对应的点在第二象限内，且对应的点在第二象限内，且 2725 ，最后确定，最后确定 + 的值的值. 例例 2已知复数已知复数i2222, i2123z ，复数，复数32z,z 在在复平面上所对应的点分别为复平面上所对应的点分别为 P、Q.求证：求证：OPQ 是等腰是等腰直角三角形（其中直角三角形（其中 O 为原点）为原点）. 分析与解答：分析与解答： 从复数的角度，证一个三角形是等腰直角三角形，从复数的角度，证一个三角形是等腰直角三角形， 一是用到模相等，另一是用到复数除法的几何意义或一是用到模相等，另一是用到复数除法的几何意义或 三角形中的角就是两个有共同始点的复数辐角的差三角形中的角就是

11、两个有共同始点的复数辐角的差. 解法一：解法一：)6sin(i)6cos(i2123z 4sini4cosi2222 , 12sini12cos)46sin(i)46cos(z , )12sin(i)12cos(z 又又)43sini43)(cos3sin(i)3cos(z32 125sini125cos . 因因此此 OP，OQ 的的夹夹角角为为2)12(125 ， OPOQ，又又 |OP|=|z |=1, |OQ|=|z2 2|=1, |OP|=|OQ|, OPQ 为为等等腰腰直直角角三三角角形形. 分析与解答：分析与解答： . i1i 43i7i 43i 42i 35i 43i 42)

12、i1)(i 41(z 例例 3设设 =z+ai(aR), i 43i 42) i1)(i 41(z 且且2| ，求，求 的辐角主值的辐角主值 的取值范围的取值范围. 又又 tg =a-1, -1tg 1, 的辐角主值的辐角主值)2 ,474, 0 . 此题首先要算对了，还要会算模以及辐角此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容其中，最容 易出问题的是易出问题的是 的范围的确定的范围的确定.仅有仅有-1tg 1 是不够的，还是不够的，还 应当注意到应当注意到 =1+(a-1)i 的实部为的实部为 1，虚部，虚部 a-1 在在-1，1内，内， 所以所以 所对的辐角只能在第一和第四象限所对的

13、辐角只能在第一和第四象限. 例例 4在在复复平平面面上上，一一个个正正方方形形的的四四个个顶顶点点按按照照逆逆时时针针方方 向向依依次次为为 Z1，Z2，Z3，O（其其中中 O 为为原原点点）.已已知知 Z2对对应应 复复数数 Z2=1+i 3，求求 Z1和和 Z3所所对对应应的的复复数数. 分分析析与与解解答答： 根根据据题题意意我我们们不不妨妨画画出出草草图图，以以便便分分析析. 根根据据平平面面几几何何的的知知识识，我我们们知知道道正正方方形形的的一一条条对对角角线线 将将正正方方形形分分成成两两个个全全等等的的等等腰腰直直角角三三角角形形，而而且且斜斜边边是是直直 角角边边的的2倍倍.

14、 由复数运算的几何意义知：由复数运算的几何意义知： i213213) i2222)(i 31(22)4sin(i)4cos(z21z21 i231231) i2222)(31(22)4sini4(cosz21z23 求求 z1时是将时是将OZ2 向顺时针方向旋转向顺时针方向旋转 45 ，且模缩短到原，且模缩短到原来长度的来长度的21，符合复数除法的几何意义，也可以直接写成，符合复数除法的几何意义，也可以直接写成4sini4cosi 3121 . 而在求而在求 z3时，也可将时，也可将OZ1 逆时针旋转逆时针旋转 90 得到，因此用得到，因此用z3=z1i 算更方便算更方便. 复数的三角形式复数

15、的三角形式)sin(cos )sin(cos22221111 irzirz 法法与与乘乘方方一一、复复数数三三角角形形式式的的乘乘)sin()cos(21212121 irrzzzirirz )sin(cos)sin(cos111222求复数求复数思考：若思考：若 0 12 z、除除法法法法则则法法与与开开方方二二、复复数数三三角角形形式式的的除除新课讲授新课讲授的的差差角角减减去去除除数数的的辐辐角角所所得得的的辐辐角角等等于于被被除除数数的的辐辐除除数数的的模模所所得得的的商商，商商于于被被除除数数的的模模除除以以两两复复数数相相除除，商商的的模模等等 )sin(cos )sin(cos2

16、2221111 irzirz )sin(cos )sin(cos22211121 irirzz 复数的三角形式复数的三角形式)sin()cos( 212121 irr例题讲解例题讲解)1()30cos30(sin3 )2( )3sin3(cos2 (1) iii 练练习习：)65sin65(cos2)34sin34(cos41 ii 、计计算算： 32 ), 0()3(2)()1( 2223的的三三角角形形式式为为，则则的的模模为为、已已知知复复数数zRaaiaiaiz 复数的三角形式复数的三角形式1 12 x）（在复数范围内解方程在复数范围内解方程1 6100 x）（1 56 x）（1 45

17、 x）（1 34 x）（1 23 x）（100 7100 x）（ 2、开开方方法法则则法法与与开开方方二二、复复数数三三角角形形式式的的除除新课讲授新课讲授)sin(cos )sin(cos1 irziz )sin(cos )isin(cos )( 11 irzzNnnzznn 次次方方根根，则则的的是是设设)sin(cos )sin(cos irninn )( 2Zkknrn 2nkrn 复数的三角形式复数的三角形式 2、开开方方法法则则法法与与开开方方二二、复复数数三三角角形形式式的的除除新课讲授新课讲授)1, 1 , 0( )2sin2(cos )( )sin(cos nknkinkrN

18、nnirzn 次次方方根根为为的的复复数数分分之之一一倍倍的的和和的的的的个个复复数数的的辐辐角角与与它它们们的的辐辐角角分分别别等等于于这这次次算算术术根根，的的模模的的们们的的模模都都等等于于这这个个复复数数个个复复数数，它它次次方方根根是是复复数数的的 1, 2 , 1 , 0 2 )( nnnnNnn 复数的三角形式复数的三角形式例题讲解例题讲解的的五五次次方方根根、求求复复数数 5i 032 45 x、在在复复数数集集中中解解方方程程的的立立方方根根以以及及六六次次方方根根、求求 1 3i 1 3 2 3 )2321()2321( 6 的的倍倍数数时时为为不不是是，当当的的倍倍数数时时为为是是，求求证证：当当、已已知知nniinn复数的三角形式复数的三角形式例题讲解例题讲解82)31()34)(1(8ii 、计计算算： 2arg 33| 1)(1 )0( sincos 0144，求求，已已知知，、设设复复数数 zziz复数的三角形式复数的三角形式)(tan)sin(cos)tan1()sin(cos)2( 9258iiii 、计计算算：复数的三角形式复数的三角形式有几个？有几个？的的求这样求这样）（满足满足且存在且存在，、设、设nniniNnnn,cossincossin,201011 653 , 1 7 1 12zzzzz 求求次方根，且次方根，且的虚的虚是是、设、设