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1、第1页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法第四章第四章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质第2页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好
2、PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题Duality Theory 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质第四章第四章 线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论第3页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持
3、熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例如：例如：平面中矩形的面积与周长的关系平面中矩形的面积与周长的关系周长一定面积最大的矩形是正方形周长一定面积最大的矩形是正方形 : 面积一定周长最短的矩形是正方形面积一定周长最短的矩形是正方形一、对偶问题的提出一、对偶问题的提出 对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。例例1 1、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？ 某企业生产甲、乙两种产品，要用某企业生产甲、乙两种产品，要用A、B、C三种
4、不同的原料。每生产三种不同的原料。每生产1吨甲产品，需耗用三种原料分别为吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产单位；生产1吨乙产品，需耗用三吨乙产品，需耗用三种原料分别为种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知单位。又知道每生产道每生产1吨甲产品企业利润为吨甲产品企业利润为300元，每生产元，每生产1吨乙产品企业利润为吨乙产品企业利润为400元。元。第4页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
5、管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例1 1、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？、应如何安排生产计划，使一天的总利润最大？max x1 0 , x2 0s.t. x1 + x2 6z = 3x1 + 4x2 x1 + 2x2 8 x2 3设设 xj 表示第表示第 j 种产品每天的产量种产品每天的产量 假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将厂里的现有资源外售。决策者应怎样制定每种资源的收厂里的现有资源外售。决策者应怎样制定每种资源的收费标准才合理？费标准才合理？第5页采用采用PP管及
6、配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例1 1、应怎样制定收费标准才合理？、应怎样制定收费标准才合理？设设 yj 表示第表示第 j 种原料的收费单价种原料的收费单价 分析问题：分析问题： 1 1、出让每种资源的收入不能低于自己生产时的可获利润；、出让每种资源的收入不能低于自己生产时的可获利润； 2 2、定价不能太高，要使对方能够接受。、定价不能太高，要使对方能够接受。 把生产一吨甲产品所用
7、的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨甲产品的利润：甲产品的利润： 乙产品同理：乙产品同理：123yy12324yyy 把企业所有原料出让的总收入：把企业所有原料出让的总收入：123683wyyy只能在满足只能在满足所有产品的所有产品的利润的条件下利润的条件下, ,其总收入其总收入尽可能少尽可能少, ,才能成交才能成交. .123min683wyyy12123123 324,0yyyyyy yys.t.第6页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保
8、证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一、对偶问题的提出一、对偶问题的提出 任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性规划问题与之对应，反之亦然规划问题与之对应，反之亦然. 把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。 12max34zxx1212212 628 3,0 xxxxxx xs.t.LP1123min
9、683wyyy12123123 324,0yyyyyy yys.t.LP2原问题（原问题（P）对偶问题（对偶问题（D）第7页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物二、原问题与对偶问题的对应关系二、原问题与对偶问题的对应关系12max34zxx1212212 628 3,0 xxxxxx xs.t.P123min683wyyy12123123 324,0yyyyyy yys.t
10、.Dyj 表示对第表示对第 j 种资源的估价种资源的估价321yyy矩阵形式：矩阵形式：12max(3 4)xzx12121161280130 xxxx s.t.123min6 8 3ywyy1231231 10312140yyyyyy s.t. max z=CX s.t. AX b X 0 min w =bTY s.t. ATY CT Y 0第8页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部
11、位干净无污物( (一一) )对称型对偶问题对称型对偶问题其中其中 yi 0 （i = 1,2,m）称为）称为对偶变量对偶变量。 变量均具有非负约束，且约束条件：当目标函数求极大时变量均具有非负约束，且约束条件：当目标函数求极大时均取均取“”号，当目标函数求极小时均取号，当目标函数求极小时均取“”号。号。max z = c1x1 + c2x2 + + cnxns.t. a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 (P) am1x1 + am2x2 + + amnxn bm xj 0 （j = 1,2,n）min w = b1 y1
12、+ b2 y2 + +bm yms.t. a11y1 + a21 y2 + + am1ym c1 a12y1 + a22y2 + + am2 ym c2 (D) a1ny1 + a2ny2 + + amnym cn yi 0 （i = 1,2,m） max z=CX s.t. AX b X 0 min w =bTY s.t. ATY CT Y 0第9页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接
13、部位干净无污物( (二二) )非对称型对偶问题非对称型对偶问题分析：分析：化为对称形式。化为对称形式。max x10, x20, x3无约束无约束s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 b1z = c1x1 + c2x2 + c3x3 a31x1 + a32x2 + a33x3 b3 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2令令33333 (0,0)xxxxx22xx ，11 112 213 313 31a xa xa xa xb1233,0 x x x x1 12 23 33 3zcxc xc xc x21 122 223 323 32a xa xa xa xb31
14、 132 233 333 33a xa xa xa xb31 132 233 333 33a xa xa xa xb21 122 223 323 32a xa xa xa xb21 122 223 323 32a xa xa xa xb21 122 223 323 32a xa xa xa xbmaxs.t.第10页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物13 12322323
15、333a ya ya ya yc( (二二) )非对称型对偶问题非对称型对偶问题11 112 213 313 31a xa xa xa xb1233,0 x x x x1 12 23 33 3zcxc xc xc x31 132 233 333 33a xa xa xa xb21 122 223 323 32a xa xa xa xb21 122 223 323 32a xa xa xa xb21 122 223 323 32a xa xa xa xbmaxs.t.对偶变量对偶变量1y3y2y2y11 121 221 231 31a ya ya ya yc1223,0y y y y 1 122
16、2233wb yb yb yb y13 12322323333a ya ya ya yc12 12222223232a ya ya ya ycmins.t.对偶问题：对偶问题：第11页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物12 12223232a ya ya yc12 12223232a ya ya yc( (二二) )非对称型对偶问题非对称型对偶问题13 123223233
17、33a ya ya ya yc11 121 221 231 31a ya ya ya yc1223,0y y y y 1 1222233wb yb yb yb y13 12322323333a ya ya ya yc12 12222223232a ya ya ya ycmins.t.令令33yy222yy y- ，13 12323333a ya ya yc11 121 231 31a ya ya yc10y ，1 12233w byb yb y13 12323333a ya ya ycmins.t.2y 无约束，30y 12 12223232a ya ya yc13 12323333a ya
18、ya yc11 121 231 31a ya ya yc10y ，1 12233w byb yb ymins.t.2y 无约束，30y 13 12323333a ya ya yc第12页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3个个=约束条件约束条件变变 量量( (二二) )非对称型对偶问题非对称型对偶问题12 12223232a ya ya yc13 12323333a ya
19、 ya yc11 121 231 31a ya ya yc10y ，1 12233w byb yb ymins.t.2y 无约束，30y 原问题原问题对偶问题对偶问题目标函数目标函数 maxmax目标函数目标函数 minmin目标函数的系数目标函数的系数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数目标函数的系数目标函数的系数3个个=3个个00无符号限制无符号限制约束条件约束条件变变 量量3个个00无符号限制无符号限制321yyy原问题（对偶问题）原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）对偶问题（原问题）第13页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配
20、置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3个个=约束条件约束条件变变 量量( (一一) )对称型对偶问题对称型对偶问题原问题（对偶问题）原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）对偶问题（原问题）目标函数目标函数 maxmax目标函数目标函数 minmin目标函数的系数目标函数的系数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数约束条件右端常数目标函数的系数目标函数的系数3个个=3个个00无符号限制无符号限制约束条件约束条件变变 量量3个个00无符
21、号限制无符号限制12max34zxx1212212 628 3,0 xxxxxx xs.t.123min683wyyy12123123 324,0yyyyyy yys.t.2个个2个个第14页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物二、原问题与对偶问题的对应关系二、原问题与对偶问题的对应关系第15页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及
22、配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例2 2、写出下述线性规划问题的对偶问题、写出下述线性规划问题的对偶问题解：解：设对偶变量为设对偶变量为123435xxxx12340,0,xx xx,无约束1234235zxxxxmaxs.t.1342 24xxx234 6xxx122 2yy10,y 123546wyyymins.t.123,y y y，则对偶问题为则对偶问题为20,y 3y 无约束13 3yy123325yyy123 1yyy第16页采用采用
23、PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例3 3、写出下述线性规划问题的对偶问题、写出下述线性规划问题的对偶问题解：解：设对偶变量为设对偶变量为123435xxxx12340,0,xx xx,无约束1234235zxxxxmins.t.1342 24xxx234 6xxx122 2yy10,y 123546wyyymaxs.t.123,y y y，则对偶问题为则对偶问题为20,y 3
24、y 无约束13 3yy123325yyy123 1yyy第17页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物练习、写出下述线性规划问题的对偶问题练习、写出下述线性规划问题的对偶问题1234235zxxxxmaxs.t.1234124123412344 32532 74234 60,0,xxxxxxxxxxxxxxx无约束12343234zxxxxmins.t.12342341234
25、1234 2343 345237420,0,xxxxxxxxxxxxxxx ,无约束第18页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质Duality Theory 线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释影子价格影子价格 对偶单纯形法对偶单纯形法 灵敏度分析灵敏度分析第二章第二章 线性规划的对偶理论线性规划的
26、对偶理论第19页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质对称性对称性弱对偶性弱对偶性无界性无界性最优性最优性原问题与对偶问题单纯形表间的性质原问题与对偶问题单纯形表间的性质互补松弛性互补松弛性强对偶性强对偶性第20页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以
27、保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质 max z=CX s.t. AX b X 0 min w =bTY s.t. ATY CT Y 0njjjxcz1max1 1,0 1,nijjijja xbimxjn（）（）s.t.（P）1minmiiiwby1 1,0 1,mijijiia ycjnyim（）（）s.t.（D）第21页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的
28、圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 对偶问题对偶问题1、对称性、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。定理：对偶问题的对偶是原问题。对偶问题对偶问题max z = CXs.t. AX b X 0max w = bTYs.t. ATY CTY 0 min w = bTYs.t. ATY CT Y 0min z = CXs.t. AX b X 0第22页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无
29、污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2、弱对偶性、弱对偶性11nmjjiijic xb y定理：设定理：设 和和 分别是原问题（分别是原问题（P P）和其对偶问题（和其对偶问题（D D）的可行解，则恒有）的可行解，则恒有(1, )jxjn(1,)iy im111()nnmjjijijjjic xa yx 111()mmniiijjiiijb ya xy 11mnijjiija x y第23页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，
30、保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2、弱对偶性、弱对偶性11nmjjiijic xb y定理：设定理：设 和和 分别是原问题（分别是原问题（P P）和其对偶问题（和其对偶问题（D D）的可行解，则恒有）的可行解，则恒有(1, )jxjn(1,)iy im推论：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标推论：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。是其原问题目标函数值的上界。第24页采
31、用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3、无界性、无界性定理：在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，定理：在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。则另一个问题无可行解。原问题有可行解但目标函数值无界原问题有可行解但目标函数值无界对偶问题无可行解对偶问题无可行解对偶问题有可行解但目标函数值无界对偶问题有可行解但目标函数值无界原问题无可行解原问题
32、无可行解推论：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标推论：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。是其原问题目标函数值的上界。第25页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3、无界性、无界性定理：在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解
33、，定理：在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。则另一个问题无可行解。原问题有无界解原问题有无界解对偶问题无可行解对偶问题无可行解推论：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标推论：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值函数值的下界；反之，对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。是其原问题目标函数值的上界。可能是无可行解可能是无可行解推论推论1 1：在互为对偶的两个问题中，若一个问题无可行解，：在互为对偶的两个问题中，若一个问题无可行解，则另一个问题或具有无界解或无可行解。则另一个问题或具
34、有无界解或无可行解。第26页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3、无界性、无界性定理：在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，定理：在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。则另一个问题无可行解。推论推论1 1：在互为对偶的两个问题中，若一个问题无可行解，：在互为对偶的两个问题中，若一个问题无可行解，则另一个问题或具有无界解或无可行解。则另
35、一个问题或具有无界解或无可行解。推论推论2 2：在互为对偶的两个问题中，若一个问题有可行解，：在互为对偶的两个问题中，若一个问题有可行解，另一个问题无可行解，则可行的问题无界。另一个问题无可行解，则可行的问题无界。无界解无界解无可行解无可行解无可行解无可行解无界解无界解对偶问题对偶问题原问题原问题第27页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例1 1、利用对偶理论证明问题无
36、界（无最优解）、利用对偶理论证明问题无界（无最优解）解：解：设对偶变量为设对偶变量为1231231233221,0 xxxxxxx x x122zxxmaxs.t.12321yy12,0y y 122wyymins.t.12,y y则对偶问题为则对偶问题为12 2yy12 0yy由由 知，知，12,0y y 第一个约束第一个约束可知对偶问题无可知对偶问题无条件不成立，条件不成立，可行解。可行解。易知易知(0, 0, 0)T 是原问题的一是原问题的一个可行解，故原问题可行。个可行解，故原问题可行。由无界性定理可知，原问题由无界性定理可知，原问题有无界解，即无最优解。有无界解，即无最优解。对偶问题
37、对偶问题不可行不可行原问题无界原问题无界或不可行或不可行无界无界 不可行不可行第28页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物练习、证明下列线性规划问题无最优解练习、证明下列线性规划问题无最优解13123123 423,0 xxxxxx x x123zxxxmins.t.12 1yy12,0y y 1243wyymaxs.t.12yy2 1y1221yy 对偶问题对偶问题原问题
38、的一个可行解：原问题的一个可行解：4,0,0T5,1,0T对偶问题不可行：对偶问题不可行：找矛盾找矛盾12 1yy1221yy223y 2 1y21y 第29页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物4、最优性、最优性11nmjjiijic xb y定理：设定理：设 和和 分别是原问题（分别是原问题（P P）和其对偶问题（和其对偶问题（D D）的可行解，且有）的可行解，且有 (
39、1, )jxjn (1,)iy im则则 和和 分别是原问题（分别是原问题（P P）和其对）和其对偶问题（偶问题（D D）的最优解。）的最优解。 (1, )jxjn (1,)iy im*11nnjjjjjjc xc x设设 和和 分别是分别是P和和D的的最优解：最优解：*(1, )jxjn*(1,)iyim*11mmiiiiiib yb y因此因此*1111nnmmjjjjiiiijjiic xc xb yb y第30页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件
40、，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5、互补松弛性、互补松弛性定理：设定理：设 和和 分别是原问题和其分别是原问题和其对偶问题的最优解，对偶问题的最优解，*(1, )jxjn*(1,)iyim*1nijjija xb若对偶变量若对偶变量 ，则原问题相应的约束条件，则原问题相应的约束条件*0iy若约束条件若约束条件 ，则相应的对偶变量，则相应的对偶变量*0iy*1nijjija xb第31页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干
41、净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5、互补松弛性、互补松弛性定理：设定理：设 和和 分别是原问题和其分别是原问题和其对偶问题的最优解，对偶问题的最优解，*(1, )jxjn*(1,)iyim*1nijjija xb若对偶变量若对偶变量 ，则原问题相应的约束条件，则原问题相应的约束条件*0iy若约束条件若约束条件 ，则相应的对偶变量，则相应的对偶变量*0iy*1nijjija xb*111()nnmjjijijjjic xa yx *111()mmniiijjiiijb ya xy *11nmjjiijic xb y*111()m
42、mniiijjiiijb ya xy *11()0mnijjiiija xb y 第32页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5、互补松弛性、互补松弛性定理：设定理：设 和和 分别是原问题和其分别是原问题和其对偶问题的最优解，对偶问题的最优解，*(1, )jxjn*(1,)iyim*1nijjija xb若对偶变量若对偶变量 ，则原问题相应的约束条件，则原问题相应的约束条件
43、*0iy若约束条件若约束条件 ，则相应的对偶变量，则相应的对偶变量*0iy*1nijjija xb*1nijjija xb若若 ，则，则*0iy若若 ，则，则*0iy*1nijjija xb*1mijijia yc若若 ，则，则*0jx若若 ，则，则*0jx*1mijijia yc第33页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例2 2、利用互补松弛定理求最优解、利用互补松弛
44、定理求最优解123123123 2102216 ,0 xxxxxxx x x12334zxxxmaxs.t.已知原问题的最优解是已知原问题的最优解是*(6,2,0)TX求对偶问题的最优解。求对偶问题的最优解。解：解：设对偶变量为设对偶变量为1223yy12,0y y 121016wyymins.t.12,y y则对偶问题为则对偶问题为12224yy12 1yy设对偶问题的最优解为设对偶问题的最优解为*12(,) ,TyyY因因*12,0,xx 由互补松弛性知由互补松弛性知*1223yy*12224yy解方程组得解方程组得*121,1,yy故对偶问题的最优解为故对偶问题的最优解为*(1,1) ,
45、TY*26.w第34页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例3 3、利用互补松弛定理求最优解、利用互补松弛定理求最优解已知原问题的最优解是已知原问题的最优解是12312312312323523 61 40,0,xxxxxxxxxxxx无约束12343zxxxmaxs.t.*(0,0,4)TX求对偶问题的最优解。求对偶问题的最优解。对偶变量为对偶变量为123231yyy12
46、30,0,yyy无约束12324wyyymins.t.123,y y y则对偶问题为则对偶问题为1233 4yyy123563yyy设对偶问题的最优解为设对偶问题的最优解为*123(,) ,TyyyY将将 代入原问题约束条件得代入原问题约束条件得*X解：解：*123*123*1232352023 6241 44xxxxxxxxx 由互补松弛性知由互补松弛性知*120,yy又又*123563yyy故对偶问题的最优解为故对偶问题的最优解为*(0,0,3) ,TY*12.w得得*33,y 第35页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角
47、切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例4 4、利用互补松弛定理求最优解、利用互补松弛定理求最优解已知其对偶问题的最优解是已知其对偶问题的最优解是1234512345 23423 30,1,2,5jxxxxxxxxxxxj1234523523zxxxxxmins.t.*4 3( , )5 5TY求原问题的最优解。求原问题的最优解。对偶问题为对偶问题为设原问题的最优解为设原问题的最优解为*,X解：解：1243wyymins.t.121212121212 22 (1) 3 (2)
48、235 (3) 2 (4) (5)3 3 ,0yyyyyyyyyyyy将将 代入原问题约束条件得：代入原问题约束条件得：*Y(2)、(3)、(4)为严格不等式为严格不等式由互补松弛性知由互补松弛性知*2340,xxx又因又因*12,0,yy 由互补松弛性知由互补松弛性知*12345*12345 23423 3xxxxxxxxxx得得*151,xx故原问题最优解为故原问题最优解为*(1,0,0,0,1) ,TX*5.z第36页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及
49、配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6、强对偶性、强对偶性（对偶定理）（对偶定理）定理：若原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优定理：若原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优解，且目标函数的最优值相等。解，且目标函数的最优值相等。11max0nmjjsijizc xx1 1,0,0 1,nijjsiijjsia xxbimxxjn（）（）s.t.用单纯形法求原问题的最优解：用单纯形法求原问题的最优解：第37页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以
50、保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物jc BC基bmjjcz11max0nmjjsijizc xx1 1,0,0 1,nijjsiijjsia xxbimxxjn（）（）s.t.1ckcnc00000nc1sx1csmx1blbmb1xkxnx1sxslxsmx10000101011a1 la1ma1kalkamka1nalnamnakcib*iy0001slx01mjjjjiijjjiczccacBC P第38页采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，