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1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【重点难点】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。【知识框图】 求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组根公式 二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么说明：（1）定理成立的条件（2）注意公式重的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 解：由题意，根据
2、根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等韦达定理体现了整体思想【课堂练习】1设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值为_2已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 3已知方程2x23x+k=0的两根之差为2，则k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3，则a= ;5若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;6 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (
3、2) 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5 xy=6 解：显然，x，y是方程z2-5z+60 的两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知k2-4220，k4或k-4 为所求。【典型例题】例1 已知关于的方程，根据下列条件，分
4、别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于 ，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足例2 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解：(1) 假设存在实数，使成立 一元二
5、次方程的两个实数根 ， 又是一元二次方程的两个实数根 ，但 不存在实数，使成立 (2) 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()ABCD2若是方程的两个根，则的值为()ABCD3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD4若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式
6、的关系是()ABCD大小关系不能确定5若实数，且满足，则代数式的值为( )ABCD6如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为1，则的值是 _ 9设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ ，= _ 10已知实数满足，则= _ ，= _ ，= _ 11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？请您说明理由12若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值13已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2
7、) 若方程的两根为，且满足，求的值14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，求的值B 组1已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由2已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11求证：关于的方程有实数根3若是关于的方程的两个实数根，且都大于1(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值答案A组1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正确1241314B组1(2) 不存在2(1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根3(1) ；(2) 11