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1、功率谱估计功率谱估计引言引言经典功率谱估计经典功率谱估计功率谱估计的参数化模型方法功率谱估计的参数化模型方法ARAR模型方法模型方法白噪声中正弦波频率的估计及谱估计的其它方法白噪声中正弦波频率的估计及谱估计的其它方法引言引言 信号处理的两类方法信号处理的两类方法 时域法和变换域法时域法和变换域法 频域法频域法 确定性信号用傅里叶变换确定性信号用傅里叶变换 随机信号的傅里叶变换变换不存在随机信号的傅里叶变换变换不存在 平稳随机序列是非周期的且能量无限，平稳随机序列是非周期的且能量无限，无法直接用傅立叶变换进行分析无法直接用傅立叶变换进行分析自相关函数随时间差自相关函数随时间差m的增大趋于均值的增
2、大趋于均值如果如果0 xm则则 是收敛的是收敛的)(mRxx可以用傅立叶变换进行分析可以用傅立叶变换进行分析 功率谱估计功率谱估计就是用已观测到的一定数量的样就是用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱本数据估计一个平稳随机信号的功率谱 应用应用：雷达、声纳、通信、生物医学、地震：雷达、声纳、通信、生物医学、地震勘探等勘探等 一、功率谱密度定义一、功率谱密度定义mxmxmRS jje )()e ( dSmRmxxjje )e (21)( 维纳辛钦公式维纳辛钦公式mxmxzmRzS )()(dzzzSmRmxcx1)(j21)( 广义地广义地实、平稳随机序列的功率谱具有以下性质
3、实、平稳随机序列的功率谱具有以下性质1 1、功率谱是、功率谱是 的偶函数的偶函数2 2、功率谱是实的非负函数、功率谱是实的非负函数)e ()e (-jj xxSS 0)e (j xS一般不定义非平稳随机信号的功率谱一般不定义非平稳随机信号的功率谱说明：说明：由由Rx(m)的定义，当的定义，当m时，时， Rx(m) mx2所以，仅当所以，仅当mx=0时时维纳辛钦公式成立维纳辛钦公式成立当当mx0时，时，Rx(m)的傅立叶变换不存在的傅立叶变换不存在当当mx=0时，自相关函数与协方差相同时，自相关函数与协方差相同因为平稳随机过程的因为平稳随机过程的Rx(m)是确定的，是确定的，故其功率谱也是确定的
4、故其功率谱也是确定的非平稳随机信号的分析用时频分析方法非平稳随机信号的分析用时频分析方法二、功率谱估计中的问题及各类谱估计方法二、功率谱估计中的问题及各类谱估计方法1. 问题：问题： 由功率谱的定义，求得真实的功率谱需要由功率谱的定义，求得真实的功率谱需要用无限长序列，但实际中只能根据有限观察来用无限长序列，但实际中只能根据有限观察来估计功率谱。估计功率谱。 由功率谱的定义，求得真实的功率谱需要由功率谱的定义，求得真实的功率谱需要用无限长序列，但实际中只能根据有限观察来用无限长序列，但实际中只能根据有限观察来估计功率谱。估计功率谱。 需要与实际的矛盾需要与实际的矛盾推动着功率谱估计课题研究的发
5、展。推动着功率谱估计课题研究的发展。2. 功率谱估计方法：功率谱估计方法：非参数化非参数化参数化参数化最大熵最大熵最小交叉熵最小交叉熵BT法法(自相关法自相关法)周期图谱法周期图谱法最大似然法最大似然法特征分解特征分解多重信号分类多重信号分类传统传统现代现代三、随机信号分析的预处理三、随机信号分析的预处理 要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题，要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题，一般信号都很少满足要求，所有需作预处理一般信号都很少满足要求，所有需作预处理(1)(1)取样：取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的若信号未经取样，则在满足取样定理的前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估
6、计前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计取样间隔。取样间隔。xmnxnx )()(2)(2)去均值去均值(3)(3)去非平稳去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号，为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号，方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。四、估计质量的评价四、估计质量的评价1、偏倚、偏倚设设a是广义平稳随机过程是广义平稳随机过程 的一个数字特征的一个数字特征
7、是是a的一个估计的一个估计)(nxa EE aaaaab 它表示了估计值与实际值的接近程度。它表示了估计值与实际值的接近程度。叫无偏估计叫无偏估计, 0 ab叫有偏估计叫有偏估计, 0 ab2、方差、方差E var2aEaa 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。它表示了估计值相对估计均值的分散程度。单独使用单独使用 和和 都不能完整表达都不能完整表达 对对a的估计质量的估计质量 ab var aa 3、均方误差、均方误差22)( var) (E aEaaaaD 如果随观测次数的增大如果随观测次数的增大 趋近于零，称该趋近于零，称该估计为一致估计估计为一致估计 aD 经典谱估计经典谱估计一、间
8、接法，一、间接法，BT法（法（R.Blackman J.Tukey ）为随机序列为随机序列设设12 , 1 , 0),( Nnnx1|)()(1)(10 NmmnxnxNmRNnxBT法的基本步骤法的基本步骤)()(E)(mnxnxmRx （2 2）求）求 的傅立叶变换得功率谱的傅立叶变换得功率谱1e )()e (j -j NMmRSmxMMm )(mRx（1 1）自相关估计）自相关估计 由于只用了由于只用了 的的N个有限值得到自相个有限值得到自相关函数的估计，因此它与信号实际的自相关关函数的估计，因此它与信号实际的自相关函数有一定程度的差别，该估计性能对谱估函数有一定程度的差别，该估计性能对
9、谱估计性能也有很大的影响。计性能也有很大的影响。)(nx说明：说明：为了减小估计误差，常对自相关函数进行加窗处理为了减小估计误差，常对自相关函数进行加窗处理1e )()()e (j -j NMnwmRSmxMMm 二、直接法二、直接法为为随随机机序序列列设设12 , 1 , 0),( NnnxmNmnxX j -10je )()e ( NXISN/| )e (|)()e (2jj 三、三、经典谱估计方法的估计质量经典谱估计方法的估计质量1.直接法与间接法估计是功率谱直接法与间接法估计是功率谱的有偏估计的有偏估计)e (j S2.当当N增大时直接法与间接法估计的方差增大时直接法与间接法估计的方差
10、趋于一非零常数趋于一非零常数所以，直接法与间接法估计不是功率谱的所以，直接法与间接法估计不是功率谱的一致估计一致估计经典谱估计的问题经典谱估计的问题 频谱分辨率较低频谱分辨率较低 存在谱泄漏存在谱泄漏 不是一致估计不是一致估计功率谱估计的参数化模型方法功率谱估计的参数化模型方法 为了克服上述缺点，人们提出了平均、加窗平滑为了克服上述缺点，人们提出了平均、加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能，但始等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能，但始终不能解决频谱分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾。终不能解决频谱分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾。经典谱估计的主要缺点经典谱估计的主要缺点: :频
11、谱分辨率低频谱分辨率低，原因原因: :仅利用了仅利用了N个有限的观测数据作自相关估计，个有限的观测数据作自相关估计， 隐含了在已知数据之外，相关函数为零的假设。隐含了在已知数据之外，相关函数为零的假设。不符合实际不符合实际参数模型功率谱估计方法的基本思想和步骤参数模型功率谱估计方法的基本思想和步骤基本思想基本思想步骤步骤（1 1）选择一个合适的模型；）选择一个合适的模型；（2 2）用已观测到的数据估计模型参数）用已观测到的数据估计模型参数（3 3）将模型参数代入功率谱估计的计算公式）将模型参数代入功率谱估计的计算公式得到功率谱估计值得到功率谱估计值随机信号的参数模型随机信号的参数模型 一个离散
12、线性系统输入是一个离散线性系统输入是u( (n),),输出是输出是x( (n) )()()(01rnubknxanxrqrkpk 传递函数传递函数)()(1)(10zAzBzazbzHkkpkrrqr h(n)x(n)u(n)若若u(n)是一个方差为是一个方差为 的白噪声的白噪声, ,则则x(n)的功率谱的功率谱2 2j2j| )e (|)e ( HSx )/1()()/1()()/1()()(*2*2zAzAzBzBzHzHzSx 或或)()(2 , 1, 010rnubnxpkarqrk 则则对对）若）若（称为称为MAMA模型模型)()()(2 , 1, 0201nubknxanxmrbk
13、pkr 则则对对）若）若（称为称为ARAR模型模型称为称为ARMAARMA模型模型, 03均不为均不为和和）若）若（rkba)()()(01rnubknxanxrqrkpk kkpkrrqrzazbzH 101)(kkpkzazH 111)(rrqrzbzH 0)(三种模型之间的关系三种模型之间的关系(Wold(Wold分解定理分解定理) ) 任何一个有限方差的平稳任何一个有限方差的平稳ARMAARMA或或MAMA模模型都可以表示成唯一的、阶数可能是无穷型都可以表示成唯一的、阶数可能是无穷大的大的ARAR模型模型; ;同样地任何一个有限方差的同样地任何一个有限方差的平稳平稳ARMAARMA或或ARAR模型都可以表示成唯一的，模型都可以表示成唯一的，阶数可能是无穷大的阶数可能是无穷大的MAMA模型模型例例