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1、1.3.2 1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数函数的极值与导数内容：函数极值的概念及其与 导数的关系应用求函数的极值给函数的极值求函数的解析式给函数的极值求函数的单调区间 本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件为了巩固新知识，给出3个
2、例题和变式，通过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。 在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限摆锤极限转动最高点转动最高点问题.摆锤极限转动最高点 跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10其图象如右.tho0)( ah0)( th单调递增0)( th单调递减yoxdbfca
3、ehg对于d点,函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小， =0.在点x=d 附近的左侧 0)(xf )(xf 我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.yoxdbfcaehg在点 x=e 附近的左侧 0在点 x=e 附近的右侧 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则
4、函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D D例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)(xf 令 =0)(xf 得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当 0即x2,或x-2时;)(xf (2)当 0即-2x0,得x1,所以f(x)的单调增区间为(-,-2) (1,+)(xf )(xf 由 0,得-2x0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 .
5、 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值 极大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.)(xf 又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或.33114 baba当a=-3,b=3时,
6、 ,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0) 1( 3)(2 xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf当-11/3x1时, ,此时x=1是极值点.0)(0)( xfxf从而所求的解为a=4,b=-11.)(xf )(xf 一般地,求函数的极值的方法是:解方程 =0.当 =0时.如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf即“峰顶”即“谷底” abxy)(xfyO abxy)(xfyO 1.（2014年天津年天津)函数函数 的定义域为开区间的定义
7、域为开区间)(xf导函数导函数 在在 内的图像如图所内的图像如图所示示,则则函数函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4)(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfA Af (x) 0f (x) =0注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别必做题必做题:2.函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）A. 或 B. 或C. D. 以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3, 3 ba11, 4 ba1, 4 ba11, 4 ba11, 4 baC C解:由题设条件得：解之得注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 3.3.求下列函数的求下列函数的极值极值: :xxy 11 ）（16128223 xxxy）（ 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 .注意：注意：导数与方程、不等式的结合应用导数与方程、不等式的结合应用选做题选做题:32( )f xaxbxcx2.(2012年北京卷)已知函数在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：（1) 的值；（2）a,b,c的值；0 x( )yfx0 x略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用