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1、实变函数试卷一一、单项选择题（3分5=15分）1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）;（C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B) 是可测函数（C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 二. 填空题(3分
2、5=15分)1、_2、设是上有理点全体，则=_,=_,=_.3、设是中点集，如果对任一点集都_，则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_,则称为 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分4=20分)1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。2、若，则一定是可数集.3、若是可测函数，则必是可测函数4设在可测集上可积分，若，则四、解答题（8分2=16分）.1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。考 生 答 题 不 得 超 过 此
3、 线2、（8分）求五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4、（6分）设在上可积，则.5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理试卷一 （参考答案及评分标准）一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、； ； 3、4、充要 5、成一有界数集。三、1错误2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密5分2错误2分例如：设
4、是集，则，但c ， 故其为不可数集 5分3错误例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数4错误四、1在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数，在上是可积的6分因为与相等，进一步，8分2解：设，则易知当时， 2分又因，()，所以当时，4分从而使得6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有8分五、1设 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 对，使对任意互不相交的有限个当时，有2分将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数.5分所以从而，因此，是上的有界变差函数.6分4、在上可积2分据积分的绝对连续性，有.4分对上述，从而，即6分
5、5存在闭集在连续2分令，则在连续4分又对任意,.6分故在连续.8分又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数.10分实变函数试卷二一.单项选择题（3分5=15分）1设是两集合，则 =（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( )(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C) 存在中点列，使，则是的聚点(D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下列断言中( )是错误的。（A）零测集是可测集； （B
6、）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；5. 若，则下列断言（ ）是正确的(A) 在可积在可积；(B) (C) ;(D) 二. 填空题(3分5=15分)1、设，则_。2、设为Cantor集，则 ，_，=_。3、设是一列可测集，则4、鲁津定理：_5、设为上的有限函数，如果_则称为上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分4=20分)1、由于，故不存在使之间对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题(8分2=16分
7、)1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。2、求极限 .五.证明题(6分3+ =34分)1.(6分) 1、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.2.(6分) 设使，则E是可测集。3. （6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4.（8分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。5.（8分）设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使.（答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A二、1， 2，c ；0 ； 3， 4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。5，对任意，使对中互
8、不相交的任意有限个开区间只要，就有三、1错误 记中有理数全体显然。5分2正确设为零测度集， ，所以，因此，是零测度集。5分3错误。例如：取作函数列：显然当。但当时，且这说明不测度收敛到1.5分4错误2分例如：显然是的连续函数。如果对取分划，则容易证明，从而得到5分四、1在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集3分因为是有界可测函数，所以在上是可积的.6分因为与相等, 进一步，8分2设，则易知当时，2分又4分但是不等式右边的函数，在上是可积的6分故有8分五、1.1分在点连续，对当时，有3分，5分因此，从而为开集.6分2对任何正整数，由条件存在开集使1分令，则是可测集3分又因对一切正整
9、数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.5分由知，可测。6分3、易知是上的增函数2分令, 则对于有所以是上的增函数4分因此，其中与均为上的有限增函数.6分4、因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且3分令，则在上处处收敛到5分，k=1,2所以8分5、证明：设由于在上有限，故.2分由积分的绝对连续性，对任何，使4分令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数使（1）（2）时，且6分所以.8分实变函数试卷三（参考答案及评分标准）一、单项选择题（3分5=15分）1、设，则（ B ）(A) （B）(C) （D）2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的（ D ）（
10、A） (B) (C) =0，1 (D) 3、下列说法不正确的是（ C ）(A) 若，则 （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测4、设是一列可测集，且，则有（ A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不对5、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的（ B ）(A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导（C）在上L可积 (D) 是有界变差函数二. 填空题(3分5=15分)1、设集合，则_2、设为Cantor集，则 ，_0_，=_。3、设是中点集，如果对任一点集都有_，则称是可测的4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于个有限的函
11、数 的可测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。5、设在上可测，则在上可积的 充要 条件是|在上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立 2分反例：设Gn=( ),n=1,2,L, 每个Gn为开集但 不是开集. 5分2、若，则一定是可数集.解：不成立 反例:设是集，则， 但c ， 故其为不可数集 .5分3、收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 2分例如：取作函数列：显然当。但当时，且这说明不测度收敛到1 5分4、连续函数一定是有界变差函数。解：不成立 2分例如：显然是
12、的连续函数。如果对取分划，则容易证明，从而得到 5分四、解答题（8分2=16分）.1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集 .3分因为是有界可测函数，在上是可积的 6分因为与相等，进一步， 8分2、求极限 解：记则在0,1上连续,因而在0,1上（R）可积和（L）可积. .2分又 4分 .6分且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得 .8分五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）试证证明：记中有理数全体,令显然 5分所以 6分2、（6分）设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.证
13、明: .1分因f（x）连续，故. .4分即.所以是E的内点.由的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集. 6分考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。证明：， 1分是可测集的非负可积函数 是上的可积函数. . 4分同理，也是上的可积函数.是上的可积函数。 6分4、（6分）设在上积分确定，且于，则在上也积分确定，且证明：于 在上积分确定，在上也积分确定，且5、（10分）设在上,而成立,则有证明:记,由题意知由知 2分对任意,由于从而有 又因为在上,故 8分所以于是: 故在上有 10分实变函数试卷四（参考答案及评分标准）
14、一.单项选择题（3分5=15分）1设P为Cantor集，则 C（A） 0 (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( C )(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C) 存在中点列，使，则是的聚(D) 内点必是聚点3.设在上可积,则下面不成立的是( C )(A)在上可测 (B)在上a.e.有限(C)在上有界 (D)在上可积4. 设是一列可测集，则有（B ）（A） (B) （C）;（D）以上都不对5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的( D )(A)在上可积 (B)在上可积(C)在上可积 (D)在上绝对连续二. 填空题(3分
15、5=15分)1、设，则_（0，2）_。2、设,若则是 闭 集；若，则是 开_集；若，则是_完备_集.3、设是一列可测集，则4、鲁津定理：_设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且_，则称为上的有界变差函数。5、设为上的有限函数，如果对于的一切划分，使成一有界数集，则称为上的有界变差函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分4=20分)1、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.解：成立 2分因A可数,所以可设A=a1,a2,an,又B至多可数,设B=b1,b2,bn(当B有限时),或B=b1,b2,bn,(当B可数时)当B
16、有限时,当B可数时,所以可数. 5分(注:可分和讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法).2、若，则.解：不成立. .2分反例：为中的全体有理点集，则有，而5分注：其余例只要正确即可。3、若是可测函数，则必是可测函数解：不成立.2分例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数5分4设在可测集上可积分，若，则解：不成立.2分5分四.解答题(8分2=16分)1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集.3分因为是上的有界可测函数，在上是可积的6分因为与相等，进一步，8分2、（8分）求解：设，则易知当时，.2分
17、又因，()，所以当时，4分从而使得6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有8分五.证明题(6分3+ =34分)1、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。证明：.2分.3分5分.6分2.(6分) 设使，则E是可测集。证明：对任何正整数，由条件存在开集使1分令，则是可测集 3分又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.5分由知，可测。 6分3.（6分） 设为E上可积函数列，.于E，且，k为常数，则在E上可积.由于E得于E .1分再由Fatou引理 .4分所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. .6分4.（6分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于.证明： 因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且2分令，则在上处处收敛到4分，k=1,2所以6分5.（10分）试用Fatou引理证明Levi定理.证明：设为可测集上的一列非负可测函数，且在上有，令 2分由为单调可测函数列知，可测，且于是 从而 （*） 6分另一方面，因为可测集上的一列非负可测函数，由Fatou引理知 （*） 8分由（*）、（*）两式即证 .10分