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1、1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-,+)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.3、函数f(x)对任意xyR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时, 0, f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-,+)上的单调性;(2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.4、已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)
2、=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。7、 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0. (1)求; (2) 判断函数的单调性,并证明.8、 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数;9、 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减;10、 函数对于x0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范
3、围。11、 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。12、 已知函数,在R上有定义，对任意的有 且（1）求证：为奇函数（2）若， 求的值13、 已知函数对任意实数恒有且当x0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间3,3上的最大值；(3)解关于的不等式14、定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（ab）=2 f（a）f（b）成立，且。（1）
4、求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；15、已知定义在上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：试回答下列问题：（）试求的值；（）判断并证明函数的单调性；16、定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；参考答案1、分析：在中，令，得 令，得于是 故是偶函数2、解析:(1)f(x)对任意x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(
5、y),令x=y=1,有f(11)=1f(1)+1f(1).f(1)=0,令x=y=-1,有f(-1)(-1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1),f(-1)=0.(2)f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). 函数f(x)是(-,+)上的奇函数.3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x),设x1x2(-,+)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)x1x2,x1-x20. 又x0时,f(
6、x)0.f(x1-x2)0. 即f(x1)-f(x2)0.由定义可知f(x)在区间(-,+)上为单调递减函数.(2)f(x)在区间(-,+)上是减函数,f(x)在-3,3上也是减函数. f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在-3,3上最大值为2,最小值为-2.4、思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点 证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0
7、x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函
8、数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.9、解： (1)证明:令,则当时,故,当 时, 当时,则 (2)证明: 任取,则,0,故0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x2时，14、解：（1）令a=b=0则f（0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所
9、以2 f（0）f（0）1=0又因为，所以f（0）=1（2）令a=0，b=x，则f（x）+ f（x）=2 f（0）f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函数。15、解：（）在中，令，则有即：也即：由于函数的值域为，所以，所以（）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（）这个问题实际上是：是否成立？为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以，在中，令，得所以，函数为奇函数故（）式成立所以，任取，且，则，故且所以，所以，函数在R上单调递减16、解:（1）由已知对于任意xR，yR，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f
10、（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函数.（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根据函数单调性的定义知f(x0在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，（11分）讨论：（1）当a0，即a-时，原不等式解集为x | x或xa；（2）当a=0即a=-时，原不等式的解集为；（3）当a0时，即-a0时，原不等式的解集为x | xa或x