周期性对称性幂函数图像与性质.doc
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1、.-授课类型T 周期性与对称性C 幂函数图像T 幂函数性质教学内容 周期性 1、周期函数的定义一般地,对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然,若T是函数的周期,则也是的周期。如无特别说明,我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明:1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。推广:若,则是周期函数,是它的一个周期; ,则周期为T;的周期为的周期为。2、常见周期函数的函数方程:(1)函数值之和定值型,即
2、函数对于定义域中任意满足,则有,故函数的周期是特例:,则是以为周期的周期函数;(2)两个函数值之积定值型,即倒数或负倒数型若,则得,所以函数的周期是(3)分式型,即函数满足由得,进而得,由前面的结论得的周期是(4)递推型:(或),则的周期T= 6a(联系数列),则的周期T=5a;其中,则是以为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系:双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即,如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心),则该函数必为周期函数。相关结论如下:结论1:两线对称型:如果定义在上的函数有两条对称轴、,即,且,那么是周期函数
3、,其中一个周期结论2:两点对称型:如果函数同时关于两点、()成中心对称,即和,那么是周期函数,其中一个周期结论3:一线一点对称型:如果函数的图像关于点()成中心对称,且关于直线()成轴对称,那么是周期函数,其中一个周期例1、定义域为的函数满足,且为偶函数,则( )(A)是周期为4的周期函数 (B)是周期为8的周期函数(C)是周期为12的周期函数 (D)不是周期函数例2、定义在上的函数,给出下列四个命题:(1)若是偶函数,则的图象关于直线对称(2)若则的图象关于点对称(3)若=,且,则的一个周期为2。(4)与的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为 。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性 1
4、、对称性的概念 函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 二、抽象函数的对称性1、函数图象本身的对称性(自对称问题)(1)轴对称的图象关于直线对称 的图象关于直线对称.特别地,函数的图像关于轴对称的充要条件是.(2)中心对称 的图象关于点对称 。 的图象关于点对称.特别地,函数的图像关于原点对称的充要条件是.(3)对称性与周期性之间的联系若函数既关于直线对称,
5、又关于直线对称,则函数关于无数条直线对称,相邻对称轴的距离为;且函数为周期函数,周期;特别地:若是偶函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数; 若函数既关于点对称,又关于点对称,则函数关于无数个点对称,相邻对称中心的距离为;且函数为周期函数,周期;若函数既关于直线对称,又关于点对称,则函数关于无数个点和直线对称,相邻对称轴和中心的距离为,相邻对称轴或中心的距离为;且函数为周期函数,周期。特别地:若是奇函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数。1.已知函数定义域为,且对于任意实数满足,当时,则 .2. 已知函数(),给出下列四个命题:当且仅当时,是偶函数; 函数一定存在零点; 函
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