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1、.-含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数在矩形区域上连续,则函数=在a,b上连续.例1 设（这个函数在x=y时不连续）,试证由含量积分所确定的函数在 上连续.解 因为,所以当y0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,xy则 1, y1时, f(x,y)=-1,则,即F(x)= 1-2y,0y1又因F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在上连续.例2 求下列极限：（1）; (2).解 （1）因为二元函数在矩
2、形域R=-1,1-1.1上连续,则由连续性定理得在-1,1上连续.则. （2）因为二元函数在矩形域 上连续,由连续性定理得,函数在上连续.则例3 研究函数的连续性,其中f（x）在闭区间0,1上是正的连续函数.解 对任意,取,使,于是被积函数在上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F（y）在区间上连续,由的任意性知,F（y）在上连续.又因,则F（y）在上连续.当y=0处.由于为0,1上的正值连续函数,则存在最小值m0.,从而,但F(y)在y=0处不连续,所以F（y）在上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G=(x,y)|上连续,其中c(x),d(x)为a,b上的连续函
3、数,则函数 F(x,y)= 在a,b上连续. 例4 求.解 记.由于都是和x的连续函数,由定理2知在处连续,所以.例5 证明函数在上连续.证明 对,令x-y=t,可推得.对于含多量正常积分,由连续性定理可得在上连续,则在上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数与其偏导数都在矩形区域R=a,b*c,d上连续,则=在a,b上可微,且.定理4 设,在R=a,b*p,q上连续,c,d为定义在a,b上其值含于p,q內的可微函数,则函数F=在a,b上可微,且定理5 若函数及都在a,b;c,d上连续,同时在c,d上及皆存在,并且aa(y)b,ab(y)b (cyd),则.证明 考虑函数F(y)在c
4、,d上任何一点处得导数,由于.现在分别考虑在点处得导数.由定理5可得.由于,所以.应用积分中值定理.这里在和之间.再注意到的连续性及b(y)的可微性,于是得到.同样可以证明于是定理得证.例6 设求.解 应用定理5有 .例7 设在的某个邻域U上连续,验证当时,函数 （1）的n阶导数存在,且解 由于（1）中被积函数及其偏导数在U上连续,于是由定理4可得 同理 如此继续下去,求得k阶导数为特别当时有于是例8 计算积分.解 考虑含参量积分显然且函数在R=0,10,1上满足定理3的条件,于是.因为所以 因此 .另一方面所以 1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f在矩形区域R=上连续,则和分别在和上可积
5、.其中=dy,x,=dy.这就是说：在f连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：与,简便记为与,前者表示f先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f在矩形区域R=上连续,则=.定理7 若f在矩形区域R=上连续,g在上可积,则作为的函数在上连续,且=.注意 推论中闭区间可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I= （ba0）.解 由得I=,因为在矩形区域上连续,由定理可得I=ln.例10 试求累次积分与,并指出它们为什么与
6、定理的结果不符.解：=.=,由=,同理可得=,所以=.即,这与定理不符.因为= 不存在,所以在点处极限不存在,即在矩形区域上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分, .解 令,.因为所以在上连续.所以=.令= , , 0 , .则在矩形区域上连续,由定理可知=.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设在）上连续,若含参量反常积分=在I上一致连续,则（x）在I上连续.推论 在）上连续,若在I上內闭一致收敛,则（x）在I上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：例12 证明在a,b（a0）上一致收敛;在0,b上不
7、一致收敛.证明 x,y,有,而收敛（a0）,由M判别法,知反常积分在a,b（a0）上一致收敛.因（x）= 0,， 1,0.在x=0处不连续,而在0 x b,0y + 內连续,由连续性定理知在0 x b上不一致连续. 例13 回答对极限能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？ 解 .而运算顺序不能交换,是因为在0,b（b0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数在a,+）上连续,而且积分在上一致收敛,那么由（x）=所确定的函数在上连续.证明 由于在上一致连续,故对任意0,存在a,使得不等式0,存在0,当u且 时, -.于是当且-时, -=- - + +=.这就证明了在处
8、是连续的.由于是中的任意点,所以在上连续.这个定理也可以写成：即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数的连续性区间.解 先看函数的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,.所以当-2时收敛.由此得知的定义域是（-2,2）.我们只需证明在任意a,b（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在a,b上一致收敛.当x时,设ab2,这时存在常数c使得而b-11,故由比较判别法,积分在（+,b一致收敛.当x1,+）时,设-21,故有比较判别法,积分在a,+）上一致收敛,把积分合在一起,即知在a,b（-2,2）上一致收敛,故在（-2,2）上连续.注意 与级数
9、的情形一样,积分的一致收敛只是保证连续的一个充分不必要条件.但在非负的条件下,积分的一致收敛便是连续的必要条件.2.2含参量反常积分的可微性定理10 设与在区域上连续.若在上收敛,在上一致收敛,则在上可微,且.例15 求积分.解 记J(y)= ,有参量反常积分可微性定理推得= =,而,所以= =,.例16 对能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理 验证函数是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,解 由于= 0,.因而在上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因=,则而在=0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序. 定理11（积分号下求导定理） 设与在上
10、连续.若在上收敛,而在上内闭一致收敛,则在上可微,且.证明 设为一递增且趋于的数列,记,n=1,2,且有=.由正常积分的连续性定理得 （n=1,2,）在上可微,且,n=1,2,由已知条件在上一致收敛,又因若含参变量反常积分关于一致收敛,则函数项级数关于一致收敛.从而函数项级数也在上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得在上可微,且.上述定理的结果也可记成.定理12 如果函数f和都在上连续,积分在上一致收敛,那么在上可微,而且.证明 对于任意正整数,令.又因为若函数f及其偏导数都在闭矩形上连续,那么函数在上可微,而且.所以在上有连续的导函数.由于在上一致收敛,所以函数列在上一致收敛,且因在
11、上收敛于,故在上连续可微,且成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分0,b0.解 把a看作参数,记上面的积分为那么.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a限制在区间中,这里是任意一个正数.于是由于收敛,故由Weierstrass判别法知道,积分对中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于0是任意的,故在中成立.计算得,所以由于故最后得2.3含参量反常积分的可积性定理13设在a,bc, 上连续,若在a,b上一致收敛,则在a,b上可积,且=.定理14 设在a,bc, 上连续,若（1）关于y在c, 上内闭一致收敛,关于x在a,上内闭一致收敛；（2）积分与中有一个收敛.则=.例18 等式=出发,计算积分（ba0）.解 因为在0, a,b上连续,且xyax,则有00）上一致收敛.由可积性定理知在 a,b上可积.且=.例19 对能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x,则=0而.则=1.所以积分运算顺序不能变换.原因是在0,1上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.