一次函数与三角形面积.doc

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1、. 一次函数相关的面积问题一次函数相关的面积问题 思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化 成线段，代入面积公式求解。 规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法） 不含参数问题 含参数问题（用参数表示点坐标，转 化成线段） 注意：坐标的正负、线段的非负性。 求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高） ，然后根据面积公式，建 立等式。 1、求直线 y = -2x +4，y = 2x -4 及 y 轴围成的三角形的面积。 2、已知正比例函数 y = 2x 与一次函数 y = x +2 相交于点 P，则在 x 上是否存

2、在一点 A，使 SPOA=4?若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。 3、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于 M 点，交 x 轴于点 N（-6，0） ，已知点 M 在第二象限，其横坐标为-4，若 SNOM=15，求正比例函数的解析式。 N y M O x 4、如图，直线 1 l的解析表达式为 y=-3x+3，且 1 l与x轴交于点D，直线 2 l经过点AB，直线 1 l， 2 l交于点C （1）求点D的坐标； （2）求直线 2 l的解析表达式； （3）求ADC的面积； （4）在直线 2 l上存在异于点C的另一点P，使得 l1 l2 x y D O 3 B C A 3 2 （4，0

3、 ） 图 11 . ADP与ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标 5、如图，直线 L 的解析表达式为 y = -x +2，且与x轴、y 轴交于点A、B，在 y 轴上有一 2 1 点 C（0，4） ，动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式； （3）当何值时COMAOB，并求出此时 M 点的坐标。 O C M A x y B 一次函数（动态问题）一次函数（动态问题） 举一反三：举一反三：如图（十二） ，直线 的解析式为 y=-x+4，它与轴、轴分别相交于两点平行于直lxy

4、AB、 线 的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交lmOxxy 于两点，设运动时间为 秒（0t4） MN、t （1）求两点的坐标；（2）用含 的代数式表示的面积；AB、tMON 1 S （3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，MNOMPNMPNOAB 2 S 当 2t4 时，试探究与 之间 2 St 的函数 关系式； 在直线的运动过程中，当 为mt何值时， 为面积的？ 2 SOAB 5 16 OMA P N y l m x B OMA P N y l m x B E P F 图十二 . 【答案】解 （1）当x=0时，y=4；当 y=0 时，x=

5、4； (4 0)0 4AB，（，） （2），； 1 OMOA MNAB ONOB ， 2 1 11 22 OMONtSOM ONt， （3）当时，易知点在的外面，则点的坐标为,24t POABP()tt， 点的坐标满足即，同理，则， 所以F 4 xt yt ， ， ( 4)F tt，(4)Ett ，24PFPEttt(4- ) 2MPNPEFOMNPEF SSSSS ； 222 11113 242488 22222 tPE PFttttt ()() 当时，解得两个都不合题意，02t 22 2 11515 4 4 221622 Stt ， 12 5052tt ， 舍去；当时，解得，24t 2 2

6、 35 88 22 Stt 34 7 3 3 tt， 综上得，当或时，为的面积的 7 3 t 3t 2 SOAB 5 16 模仿操练：模仿操练：如图，直线与两坐标轴分别相交于 A.B 点，点 M 是线段 AB 上任意一点（A.B4xy 两点除外） ，过 M 分别作 MCOA 于点 C，MDOB 于 D （1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？ （3）当四边形 OCMD 为正方形时，将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动，设平移的距离为 ，正方形 OCMD

7、 与AOB 重叠部分的面积为 S试求 S 与的函数关系式并画出该函数的)40 aa（a 图象 6、在中，现有两个动点ABC,4,5,DBCCD3cm,CRtACcm BCcm点在上，且以 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；点 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动。过点 P 作 PEBC 交 AD 于点 E，连结 EQ。设动点运动时间为 x 秒。 . E DB C A Q P （1）用含 x 的代数式表示 AE、DE 的长度； （2）当点 Q 在 BD（不包括点 B、D）上移动时，设的面积为，求与的函数

8、关系式，EDQ 2 ()y cmyx 并写出自变量的取值范围；x （3）当为何值时，为直角三角形。xEDQ 7、如图 1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且动点在(0 4 3)A ，Bx30ABO P 线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为 秒在轴上取两点作等ABAB3txMN， 边PMN （1）求直线的解析式；AB （2）求等边的边长（用 的代数式表示） ，并求出当等边的顶点运动到与原点重PMNtPMNMO 合时 的值；t （3）如果取的中点，以为边在内部作如图 2 所示的矩形，点在线段OBDODRtAOBODCEC 上设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与 的函

9、数关系ABPMNODCES02tSt 式，并求出的最大值S （图 1） y AP MONBx （图 2） y A C ODB x E . 8、两块完全相同的直角三角板 ABC 和 DEF 如图 1 所示放置，点 C、F 重合，且 BC、DF 在一条直线上， 其中 AC=DF=4，BC=EF=3固定 RtABC 不动，让 RtDEF 沿 CB 向左平移，直到点 F 和点 B 重合 为止设 FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为 y （1）如图 2，求当 x=时，y 的值是多少？ 2 1 （2）如图 3，当点 E 移动到 AB 上时，求 x、y 的值； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式；

10、9、 （重庆课改卷）如图 1 所示，一张三角形纸片 ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜边 AB 的中线 CD 把 这张纸片剪成和两个三角形（如图 2 所示）.将纸片沿直线（AB）方向 11 AC D 22 BC D 11 AC D 2 D B 平移（点始终在同一直线上） ，当点于点 B 重合时，停止平移.在平移过程中，与 12 ,A D D B 1 D 11 C D 交于点 E,与分别交于点 F、P. 2 BC 1 AC 222 C DBC、 . A CQB P （1）当平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想； 11 AC D 1 D E 2 D F

11、（2）设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及 21 D Dx 11 AC D 22 BC Dyyx 自变量的取值范围； （3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值；使得重叠部分的面积等于原面积的？若不存xABC 1 4 在，请说明理由. 10、已知：如图，ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移 动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两 点停止运动设点 P 的运动时间为 t（s） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PBQ 是直角三角形? （2）设四边形 APQC 的面积为

12、 y（cm2） ，求 y 与 t 的 关系式；是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC 的面积是ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应 的 t 值；不存在，说明理由； C BDA 图 1 P E F AD1B C1 D2 C2 图 3 C2 D2 C1 BD1A 图 2 . 三角形面积与函数解析式的几种题型 一、利用面积求解析式一、利用面积求解析式 1、直线与坐标轴围成的三角形的面积是 9,则=_.bxy 2b （分类讨论） 2、已知直线 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，直线经过原点，与线段 AB 交于点 C，把, AOB 的面积分为 2：l 两部分，求直线名的

13、解析式 3、如图,已知直线 PA：与轴交于 A,与轴交于 Q,另一条直线)0( nnxyxy 轴交于 B,与直线 PA 交于 Pxnmmxy与)(2 求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用或表示)mn (2)若 AB=2,且S四边形PQOB=,求两个函数的解析式. 6 5 4、已知直线与轴、轴分别交于点和点，另一条直线2xyxyAB 经过点，且把分成两部分bkxy)0(k)0 , 1 (CAOB （1）若被分成的两部分面积相等，则和的值AOBkb （2）若被分成的两部分面积比为 1：5，则和的值AOBkb . 5、已知一次函数的图象与 y 轴、x 轴分别交于点 A、B，直线经过 OA 上的

14、三分 3 3 2 yx ykxb 之一点 D，且交 x 轴的负半轴于点 C，如果，求直线的解析式 AOBDOC SS ykxb 二、利用解析式求面积二、利用解析式求面积 1、直线过点 A（1，5）和点且平行于直线，O 为坐标原点，求的bkxy)5,(mBxyAOB 面积. 2、 如图，所示，一次函数的图像经过，两点，与轴交于bkxyABxC 求：（1）一次函数的解析式； （2）的面积AOC 3、已知:直线与直线,它们的交点 C 的坐标是_,设两直线与轴分别交于42 xy3 xyx A,B,则 SABC=_,设两直线与轴交于 P,Q,则 SPCQ=_.y 4、一次函数与正比例函数的图象都经过(2

15、,-1),则这两个函数的图象与轴围成4 11 xkyxky 22 x 的三角形面积是_. . 5、已知，直线 y=2x+3 与直线 y=-2x-1. (1)求两直线交点 C 的坐标; (2)求ABC 的面积. (3)在直线 BC 上能否找到点 P,使得SAPC=6，若能，请求出点 P 的坐标，若不能请说明理由。 6、如图，直线 y-x+4 与 y 轴交于点 A，与直线 yx+交于点 B，且直线 yx+与 x 轴交于 3 4 5 4 5 4 5 4 5 4 点 C，求ABC 的面积。 B A CO 7、已知直线 ykxb 经过点A（0，6） ，且平行于直线 2yx . （1）求该函数的解析式，并

16、画出它的图象； （2）如果这条直线经过点P（m，2） ，求m的值； （3）若O为坐标原点，求直线OP解析式； （4）求直线 ykxb 和直线 OP 与坐标轴所围成的图形的面积。 3、关于面积的函数关系关于面积的函数关系 1、已知点 A（x，y）在第一象限内，且 x+y=10，点 B（4，0） ，OAB 的面积为 S. （1）求 S 与 x 的函数关系式，直接写出 x 的取值范围，并画出函数的图像； （2）OAB 的面积为 6 时，求 A 点的坐标； . A F E o y x 2、如图，直线与 x 轴、y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0） ，点 A 的坐标为（-6ykx 6，

17、0） 。 （1）求的值；k （2）若点 P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，试写出OPA 的面积xy S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）探究：当点 P 运动到什么位置时，OPA 的面积为，并说明理由。 27 8 4、如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发, 沿 ABCD 路线运动,到 D 停止;点 Q 从 D 出发,沿 DCBA 路线运动,到 A 停止. 若点 P、点 Q 同时 出发,点 P 的速度为 1cm/s,点 Q 的速度为 2cm/s,as 时点 P、点 Q 同时改变速度,点 P 的

18、速度变为 bcm/s, 点 Q 的速度变为 dcm/s .图(2)是点 P 出发 x 秒后APD 的面积 S1(cm2)与 x(s)的函数关系图象;图(3)是 点 Q 出发 x 秒后AQD 的面积 S2(cm2)与 x(s)的函数关系图象. (1)参照图(2),求 a、b 及图(2)中 c 的值; (2)求 d 的值; (3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm),点 Q 到 A 还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点 P、Q 改变速度 后 y1、y2与出发后的运动时间 x(s)的函数关系式,并求出 P、Q 相遇时 x 的值; (4)当点 Q 出发_s 时,点 P、点 Q 在运动

19、路线上相距的路程为 25cm. (1) P Q C BA D x(秒) (2) 20 8 40 c a O S1(cm2) x(秒) (3) 22 40 O S2(cm2) 8如图，直线l1过A（0，2） ，B（2，0）两点，直线l2： ymxb 过点（1，0） ，且把 AOB 分成两 部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，及自变量 m的取值范围。 . 4 2 -2 -4 -55 Q P O A 10、在平面直角坐标系中，点 A（4，0） ，点 P（x，y）是直线在第一象限的一点3 2 1 xy （1）设OAP 的面积为 S，用含 x 的解析式表示 S，并写出自变量取值范围 （2）在直线求一点 Q，使OAQ 是以 OA 为底的等腰三角形3 2 1 xy （3）若第（2）问变为使OAQ 是等腰三角形，这样的点有几个？ 2、已知：如下图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（5，3） 、B（2，-2） 、 C（6，-4） ，求ABC 的面积. . C B A y x