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1、,.专题三 不等式的证明 （柯西不等式）1下列不等式的证明明过程：若a，bR，则 若x，yR，则；若xR，则；若a，bR，ab0，则其中正确的序号是 2设a，bR+，a+b=1，则+的最小值为（ ）A.2+ B.2 C.3 D.3已知ab0，cd0，则与的大小关系为 4已知a，b，cR，且a+b+c=0，abc0，则+的值（ ）A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正负不能确定5若不等式（1）na2+对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A.2，） B.（2，） C.3，） D.（3，）6设a，b，c（，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是 都不大于2 都不小于2 至少有一个
2、不小于2 至少有一个不大于27定义在R上的函数f（x）=mx2+2x+n的值域是0，+），又对满足前面要求的任意实数m，n都有不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）A.2013 B.1 C. D.8已知a、b、c是ABC的三边长，A=，B=，则（ ）A.AB B.AB C.AB D.AB9设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）A.0 B. 2 C . D. 10设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为（ ）A B C D11（2012湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（ ）A. B. C. D.12用
3、柯西不等式求函数y=的最大值为（ ）A. B.3 C.4 D.513若，则函数的最大值为（ ）A. B. C. D.14对任意正数x，y不等式（k）x+ky恒成立，则实数k的最小值是（ ）A.1 B.2 C.3 D.415已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（ ）A.1 B.4 C.8 D.916设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（ ）A. B. C. D.17已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则+的最大值是（ ）A.2 B.2 C.2 D.318实数ai（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2a1）
4、2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2=1则（a5+a6）（a1+a4）的最大值为（ ）A.3 B.2 C. D.119设a，b，c，x，y，z均为正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则等于()A. B. C. D.,.参考答案1、【解析】试题分析：依次分析4个命题：a0，b0时，0，故不正确当x=，y=时，检验不正确，利用基本不等式可得正确，综合可得答案解：当a，bR且 a0，b0时，0，故不正确当x=，y=时，lgx 和lgy 都等于lg2，小于0，故不正确|=|x|+|2=4，故正确若a，bR，ab0，则，故正确故答案为 、点评：本题
5、考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题2D【解析】试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得 的最小值为10，可得+的最小值解：a，bR+，a+b=1，a2+b2=12ab，又=a2+b2+5+262ab+2=62ab+2（ab+2）=10，+，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题3【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论解：=因为 ab0，cd0，所以，ac0，bd0，ba0，又cd0，则有acbd，即 acbd，则 bd
6、ac0，所以（b+a）（ba）（bdac）0，所以，=0，即 故答案为 点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、变形、判断符号，其中，判断符号是解决问题的关键当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系4A【解析】试题分析：因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为负数把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断解：a+b+c=0，abc0，a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设a0，b0，c0由a+b+c=0得a=（b+c）代入得，+=+，（b）+（c）（）4，即，=0，故选A点评：本题主要考查柯西不等式
7、的运用，解题的关键是由条件正确判断a，b，c的符号5A【解析】试题分析：对n进行分类讨论，分离出参数a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决解：当n为正偶数时，a2恒成立，又2为增函数，其最小值为2=a当n为正奇数时，a2+，即a2恒成立而2为增函数，对任意的正整数n，有22，a2故a2，）点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题6【解析】试题分析：因为a，b，c（，0），所以a+b+c+6，再假设三个数都小于2，则a+b+c+6，所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于2解：因为a，b，c（，0），所以a+b+c+6假设三个数都小于2则a+b+c+6所以假设错误所以至少
8、有一个不小于2故正确的序号为，故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题7A【解析】试题分析：根据已知条件可以得到m0，mn=1，n0由已知的不等式可得：只要让小于等于的最小值即可因为m，n0，所以有=，所以只要求的最大值即可，所以只要求m2+n2的最小值即可，根据m2+n22mn=2知m2+n2的最小值为2，这样即可求出的最小值为1，所以，所以就能得到a的最大值了解：定义在R上的函数f（x）=mx2+2x+n的值域是0，+）；m0，mn=1，n0；=；m2+n22mn=2，2+m2+n24，；即的最大值为1；，即的最小值是1；，a2013，实数a的最大值为2
9、013故选A点评：考查二次函数：y=ax2+bx+c值域的求法，利用基本不等式：a+b，a2+b22ab求最值8A【解析】试题分析：由题意得 ca+b，故 B=，变形后再放大，可证小于 A解：a、b、c是ABC的三边长，ca+b，B=+=A，BA，故选 A点评：本题考查三角形的边长的性质，用放缩法证明不等式9B【解析】试题分析：由已知得，时等号成立，代入已知得，则。10B 【解析】试题分析：，当且仅当时成立，因此，所以.考点：（1）基本不等式的应用，（2）利用二次函数求最值。 11C【解析】试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2
10、）（x2+y2+z2）（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，等号成立=故选C点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造12C【解析】试题分析：由柯西不等式可得，函数y=，从而求得函数的最大值解：由柯西不等式可得，函数y=4，当且仅当= 时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题13
11、C【解析】试题分析：由柯西得不等式，选C.考点：柯西不等式.14A【解析】试题分析：根据题意可得（k）x+ky2，不等式（k）x+ky恒成立，可得2，化简可得（2k+1）（k1）0，由此求得k的最小值解：由所给的选项可得k1，（k）x+ky2，x、y都是正实数，不等式（k）x+ky恒成立，2，2，化简可得 （2k+1）（k1）0解得 k （舍去），或k1，故k的最小值为1，故选：A点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题15D【解析】试题分析：由柯西不等式可得 （x2+4y2+kz2）（1+）（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得
12、36（1+）=49，由此求得正数k的值解：由题意利用柯西不等式可得 （x2+4y2+kz2）（1+）（x+y+z）2，即 36（1+）（x+y+z）2再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1+）=49，求得正数k=9，故选：D点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题16A【解析】试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立解：x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=94（2x+4y+3z）2=36，可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，x
13、+y+z=故选A点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题17C【解析】试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）（+）2，结合x+y+z=2，即可求出+的最大值解：x、y、z是正数，（1+2+3）（x+y+z）（+）2，x+y+z=2，+=2，+的最大值是2故选：C点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题18B【解析】试题分析：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2，结合条
14、件，即可得出结论解：由柯西不等式可得：（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2=（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）28，（a5+a6）（a1+a4）2，（a5+a6）（a1+a4）的最大值为2，故选B点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用（a2a1）2+（a3a2）2+（a4a3）2+（a5a4）2+（a6a5）2（1+1+1+4+1）（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+2（a5a4）+（a6a5）2，是解题的关键19C【解析】柯西不等式，(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)等号成立的条件是.又a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)，因此，故.