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1、选修选修1-2第二章推理与证明第二章推理与证明弋阳二中数学组弋阳二中数学组 2.2.从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. .茅草是齿形的茅草是齿形的； 茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？情景创设情景创设1 1： 1. 1
2、.列车车厢内，一位年纪大的旅客对另一名年轻的旅客说：列车车厢内，一位年纪大的旅客对另一名年轻的旅客说：“伙计，你不要吸烟了，车厢内不准吸烟。伙计，你不要吸烟了，车厢内不准吸烟。”“难道我在吸烟吗难道我在吸烟吗?”?”“你嘴上不是叼着烟斗吗你嘴上不是叼着烟斗吗?”?”“这能说明什么呢，我的鞋穿在脚上，可我走路了没有这能说明什么呢，我的鞋穿在脚上，可我走路了没有?”?”火星火星地球地球相似点相似点: :绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。生存等。地球上有生
3、命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）情景创设情景创设2 2：猜想猜想3.3.仿照鱼类的外型和它们在水仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理中沉浮的原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. .情景创设：情景创设：这几这几个个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳推理有什么区别？纳推理有什么区别？ 这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特
4、征的推理称为类比推理类比推理（简称（简称类比类比）简言之，）简言之，类比推理是由特殊到特殊类比推理是由特殊到特殊的推理的推理一、类比推理的定义一、类比推理的定义: 类比推理的几个特点类比推理的几个特点: : 1. 1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正在研究的推测正在研究的事物的属性事物的属性, ,是以是以旧旧有的认识为基础有的认识为基础, ,类比出类比出新新的结果的结果. . 2. 2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊特殊属性推测另一种事物的属性推测另一种事物的特殊特殊属属性性. . 3. 3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一
5、定可靠不一定可靠, ,但它却但它却有发现的功能有发现的功能. .类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间相似形或一致性； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个命题(猜想)；例例1 1：试根据等式的性质试根据等式的性质猜想猜想不等式的性质不等式的性质. .等等 式式不等式不等式(1) a=b a+c=b+cab a+cb+c(2) a=b ac=bcab acbcab a2b2(3) a=b a2=b2等等等等解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？猜
6、想猜想猜想猜想猜想猜想数学应用：例例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比. .解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都具有相解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性似的属性. .圆圆弦弦直径长直径长球球截面圆截面圆大圆大圆与圆心距离相等与圆心距离相等的两弦相等的两弦相等圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点中点的连线垂直于弦的连线垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的圆心的连线垂直于截面的连线垂直于截面与球心距离相等的与球心距离相等的两截面面积相等两截面面积相等球的体积球的体积3 34 4V V
7、 = =R R3 3圆的面积圆的面积2 2S =RS =R圆的周长圆的周长S=2R=dS=2R=d球的表面积球的表面积S=4RS=4R2 2=d=d2 2猜想猜想例例3：类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, ,试给出空试给出空间中四面体性质的猜想间中四面体性质的猜想直角三角形直角三角形C C90903 3个边的长度个边的长度a a，b b，c c2 2条直角边条直角边a a，b b和和1 1条斜边条斜边c c3 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDFPDEPDEEDFEDF9090 4 4个面的面积个面的面积S S1 1，S S2 2，S S3 3和和
8、S S 3 3个个“直角面直角面” ” S S1 1，S S2 2，S S3 3和和1 1个个“斜面斜面” ” S Sa ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 21 1+S+S2 22 2+S+S2 23 3猜猜想想: :90 ,ABOCAOBBOCAOC 如图，四面体中，则等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaq n（n mnmaa q11(1)(
9、1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q例例4：等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质22nmn maaa 22nmn maaa 任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成公差为成公差为 等差数列等差数列232,mmmmmSSSSS成公比成公比? 等比数列等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比n2dqn类比的风险类比的风险合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推的推理。理。 合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向的思路和方向