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1、随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量概率分布函数概率分布函数随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布（复习）随机变量及其分布（复习）习题习题 2.19 a). 或或 b). 或或 2019 51 (0.9920 0.01 0.99 )0.081550,11()0.08460.2!kkek310010001 (0.01 0.99)0.0184kkkkC3010.0190!kkek第二章习题第二章习题2X1X)(2xF)(1xF1 1、 设设 , , 为随机变量为随机变量 , , 的的分布函数分布函数. . 为使为使 为一为一分布函数，
2、在下列给定的各组数值中应取分布函数，在下列给定的各组数值中应取 A. . a=3/5, b= -2/5; ; B. . a=2/3, b= 2/3 C. . a= - 1/2, b= 3/2; ; D. . a=1/2, b= -3/2 )()()(21xbFxaFxF 解解: : 答案为答案为 A 121FaFbF 提示提示: :由由1ab得得 2 ,3 ,XBpYBp2 2、设设 1P Y 且且 ，求，求 519P X 解解: : 因为因为 2 ,XBp 25119p 所以所以 110P XP X 因此因此 110P YP Y 311911327解得解得 （不合题意，舍去）（不合题意，舍去
3、）1533pp或或13 ,3YB故故 3 3、如果在时间如果在时间 t（分钟）内（分钟）内, , 某纺织工人看某纺织工人看管的织布机断纱次数服从参数与管的织布机断纱次数服从参数与 t 成正比的成正比的泊松分布泊松分布. . 已知在一分钟内不出现断纱的概率已知在一分钟内不出现断纱的概率为为 0.2，求，求在在 2 分钟内至少出现一次断纱分钟内至少出现一次断纱的概率的概率2ln524125e 110P XP X 由已知，当由已知，当 t = 1 时，时， 00.2kP Xe 解解: : XP kt设设 X 表示表示某纺织工人看管的织布机断纱某纺织工人看管的织布机断纱次数次数, , 则则当当 t =
4、 2 时时ln5k 解得解得 故，故，2分钟内至少出现一次断纱分钟内至少出现一次断纱的概率即的概率即解解: : 4 4、设随机变量设随机变量 X U ( -2 , 2 ) ，Y 表示作表示作独立重复独立重复 m 次试验中事件次试验中事件( X 0 ) 发生的发生的次数，则次数，则 Y . .1,2YB m 2011042P Xdx 提示提示: : X 落入区间落入区间 ( 1 , 3 ) 的概率最大的概率最大5 5、设随机变量设随机变量 ，当当 时时 20 ,XN _ 31解解: : 1313XPXP 记记 31g g 即求即求 为何值时，为何值时， 达到最大达到最大 22912230ee 3
5、1g 3311 5 (5 (续续) )311130 令令3130 得得解得解得2ln3 2220 , 25XN6 6、某种电子元件在电源电压某种电子元件在电源电压不超过不超过200伏、伏、200240伏、超过伏、超过240伏伏三种情况下损坏的概三种情况下损坏的概率分别为率分别为0.1 、 0.001 及及 0.2，设电源电压设电源电压求（求（1 1）此种电子元件在该电源电压下损坏的概率）此种电子元件在该电源电压下损坏的概率; ; （2 2）此种电子元件损坏时，电源电压在）此种电子元件损坏时，电源电压在 200-240200-240伏的概率伏的概率解解: :(1)(1)设设 A = 电子元件损坏
6、电子元件损坏 B1 = 电压电压不超过不超过200伏伏 B2 = 电压为电压为200240伏伏 B3 = 电压电压超过超过240伏伏 由已知得由已知得且且 1200P BP X 6 (6 (续续) ) 20.001,P A B 10.1,P A B 30.2P A B 0.2119 2200240P BPX 3240P BP X 20.81 2402202002202525 240220110.825 20022010.825 0.5762 0.2119 31iiiP AP BP A B 故，由全概率公式得故，由全概率公式得(2) (2) 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得0.1 0.21190.0
7、01 0.57620.2 0.2119 0.0641 222P BP A BP B AP A 6 (6 (续续) )0.001 0.57620.0641 0.0090 122P X 且且 . . 试确定常数试确定常数 a , b ; ; 并求并求 X 的分布列的分布列7 7、设离散型随机变量设离散型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为0,1,11( )2,123,2xaxF xaxabx 2P X 23aba解解: : (1)(1) 利用利用 及及 1F 0kkkP XxF xF x 得得 7 (7 (续续) )1ab (1)(1)15,66ab解得解得(2)(2)223ab12 (2) (
8、2) X 的分布列为的分布列为XP211 2131617 (7 (续续) ) 0,11,1161,1221,2xxF xxx 故故 2,01,110 ,a xxbfxxx 其其它它8 8、设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度又又 1728PX求求: (1) : (1) 常数常数 a , b ; ; arc3PtgX (3)(3)(2) (2) X 的分布函数的分布函数 ; ; 112437848abab 又由又由 得得1728PX8 (8 (续续) ) 1fx dx 解解: :(1)(1)由由 得得120111ba x dxdxx 11212718ba x dxdxx 12ab
9、0F x 故故 20 ,01, 0122arc,1xF xxxtgxx xF xf t dt (2)(2)利用利用 求分布函数求分布函数8 (8 (续续) )1x 当当 时时, ,0 x 当当 时时, ,当当 时时, ,01x 2012xF xt dtx 1201211xF xt dtdtt 2arctgx 213 8 (8 (续续) ) 13F (3)(3)arc33PtgXPXtg13 3P X9 9、设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的分布函数的分布函数(1) (1) 确定确定 A ; (2) ; (2) 求求 X 的密度函数的密度函数 f ( x ) ; ;(3) (3) 计算计算
10、1cos22XP 0,0cos,021,xxF xAxx A = 1解解: : (1) (1) 由由 得得0limcos02xxA 1sin,0220,xxfx其其它它 (2) (2) 由由 得得 fxFx 12 203FF 9 (9 (续续) )另解另解(3)(3)12cos0223XPPX 2301sin22xdx 1cos22XP 12 4213XZ 22 , 3XN1010、设随机变量设随机变量 ，令，令求求 Z 的分布函数和概率密度的分布函数和概率密度 ZFz(1)(1)设设 Z 的分布函数为的分布函数为 ，概率，概率 密度为密度为 Zfz解解: : ZFzP Zz4213XPz 1
11、z 当当 时，时， 0ZFz 当当 时，时，1z 即即 14211,10,1ZzzFzz 10 (10 (续续) ) 22 , 3XN因为因为 ，所以，所以 20 ,13XN 14211z故故 114411zz ZFz 11442113ZXFzPzz 10 (10 (续续) )(2)(2)由由 得得 fxFx 12132411,12 20 ,1zzezz 3144111,120 ,1zzzz Zfz 1,10 ,xefxx 其其它它21YX求求 的概率密度的概率密度 1111、设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度1y 当当 时，时， 0YFy 21P Xy解解: :(1)(1)
12、YFyP Yy 21P Xy0 111ln1ydxyx 221ye当当 时，时， 当当 时，时，21ye12y当当 时，时， 11YFyPyXy 11 (11 (续续) ) 11YFyPyXy 11YFyPyXy 1 21,21210 ,Yyeyfy 其其它它故故 220 ,2ln1 ,211,1YyFyyyeye 11 (11 (续续) )(2)(2)由由 得得 fxFx 设设A，B为两个事件，求证为两个事件，求证1)()()(1)(BAPBPAPABP 解：解：)()()(1BAPBPAP )()()(1BAPBPAP 1 1( ) 1( ) 1()P AP BP AB )()()(BAP
13、BPAP )()()()()(ABPBPAPBPAP )(ABP 2 已知事件已知事件AB发生发生, 则事件则事件C一定发生。证明：一定发生。证明：1)()()( CPBPAP解：解： 事件事件AB发生发生, 则事件则事件C一定发生一定发生ABC所以所以)()(CPABP ( )( )( )P AP BP C()P AB( )( )()P AP BP AB1设 事 件设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且两 两 独 立 ， 且 A B C = , P(A)=P(B)=P(C)1/2，且已知，且已知P(A B C)=9/16, 求求P(A) 3解：解：)(CBAP)()()(CP
14、BPAP )()()()(ABCPACPBCPABP )()()(CPBPAP )()()()()()(CPAPCPBPBPAP 169)(3)(32 APAP41)( AP解得：解得：或或43)( AP舍掉舍掉4、设事件、设事件A，B，C相互独立，且相互独立，且 P(A B)=1/3, P(A C)=1/3，P(B C)=2/3，求求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。三个事件至少发生一个的概率。 解：解：)()()(1)(CPBPAPCBAP 31)()(1)( BPAPBAP32)()( BPAP进而进而32)()( CPAP31)()( CPBP274313232)()()(2 CP
15、BPAP2( ) ( ) ( )3 3P A P B P C )()()(1)(CPBPAPCBAP 3321 5 5、袋中装有编号、袋中装有编号1,2, n(n 2)的的n个球，有个球，有返回地抽取返回地抽取 r 次，求：次，求：（1 1）1 1号球不被抽到的概率；号球不被抽到的概率；（2 2）1 1号球和号球和2 2号球均被抽到的概率。号球均被抽到的概率。解：解：rrnnAP)1()( 设设A A表示表示1 1号球被抽到，号球被抽到，B B表示表示2 2号球被抽到。号球被抽到。（1）)(1)(ABPABP （2）)(1BAP)()()(1BAPBPAP 2(1)1rrnn (2)rrnn6
16、、假设一批产品中一、二、三等品各占、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%和和10%，现从中随意取一件，结果不是三，现从中随意取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率等品，求取到的是一等品的概率解：解：设设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，表示从中随意取一件产品，不是三等品，B表示取到的是一等品表示取到的是一等品)()()|(APABPABP 329 . 06 . 0)()( APBP7、设、设10件产品中有件产品中有4件不合格品，从中任取两件，件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率
17、一件也是不合格品的概率解：解：()(|)( )P ABP B AP A设设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品，表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件是不合格品表示另一件是不合格品1524210CC211464210CC CC8. 常言道：常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，如今，如今有三位有三位“臭皮匠臭皮匠”受某公司之请各自独立地去受某公司之请各自独立地去解决某问题，公司负责人据过去的业绩，估计解决某问题，公司负责人据过去的业绩，估计他们能解决此问题的概率分别是他们能解决此问题的概率分别是0.45,0.55,0.60 0.45,0.55,0.60 。据
18、此，该问题能被解决的概。据此，该问题能被解决的概率是多少？率是多少？解：设解：设A,B,CA,B,C分别为三个臭皮匠分别能解决某问题的事件，分别为三个臭皮匠分别能解决某问题的事件，由题意知由题意知 P(A)=0.45, P(B)=0.55, P(C)=0.60.P(A)=0.45, P(B)=0.55, P(C)=0.60.所求为所求为()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC0.450.550.600.450.550.450.600.550.600.450.550.600.9019、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其、设甲、乙两人独
19、立地向同一目标射击，其命中率分别为命中率分别为0.6和和0.5，现已知目标被命中，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率求它是甲射中的概率解：解：设设A，B分别表示甲、乙命中目标，分别表示甲、乙命中目标，C表示目标表示目标被命中。被命中。)()()|(CPACPCAP )()(BAPAP)()()()(ABPBPAPAP0.60.60.50.6 0.53410、某厂的产品有、某厂的产品有4%的废品，每的废品，每100件合格品中件合格品中有有75件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一等品的概率。等品的概率。解：解：设设A表示任取一件产品是一等品。表示任取一件产
20、品是一等品。B表示任取一表示任取一件产品是合格品。件产品是合格品。则易知则易知75. 0)|( BAP96. 0)( BP( )()P AP AB72. 075. 096. 0 ( ) (|)P B P A B11、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概率为率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发，现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的一架敌机。的概率击中来犯的一架敌机。解：解：设至少需配置设至少需配置n门高射炮才能以不小于门高射炮才能以不小于0.9
21、9的概的概率击中来犯的一架敌机。率击中来犯的一架敌机。设设A表示表示n门高射炮同时各发射一发炮弹至少有门高射炮同时各发射一发炮弹至少有一发炮弹击中来犯的敌机。一发炮弹击中来犯的敌机。)(1)(APAP 1 0.4n 解不等式得：解不等式得：n=60.9912、设三次独立试验中，事件、设三次独立试验中，事件A出现的概率相出现的概率相等。若已知等。若已知A至少出现一次的概率等于至少出现一次的概率等于19/27，求事件求事件A在一次试验中出现的概率。在一次试验中出现的概率。 解：解：设设p表示事件表示事件A在一次试验中出现的概率。在一次试验中出现的概率。 由题意知由题意知: 2719)1(13 p解
22、得解得: 31 p13、甲袋中放有、甲袋中放有5只红球，只红球，10只白球；乙袋中放只白球；乙袋中放有有5只白球，只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放只红球。今先从甲袋任取一球放入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。解：解： 设设A A表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋，表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋，B B表示从表示从乙袋取一红球放入甲袋，乙袋取一红球放入甲袋，C C表示最后从甲袋任取两个红球。表示最后从甲袋任取两个红球。( )P C () (|)() (|)
23、P AB P C ABP AB P C AB( ) (|)P A P B A( ) (|) (|)( ) (|) (|)P A P B A P C ABP A P B A P C BA25215111316CC2226542221515151521026316316316CCCCCC19() (|)() (|)P AB P C ABP AB P C AB(|)P C AB ( ) (|) (|)P A P B A P C AB 1414、设有一批产品，共、设有一批产品，共100100件，其中件，其中4 4件废品，件废品，9696件件正品，任取三件测试，若有一件测试不合格就拒绝正品，任取三件测试
24、，若有一件测试不合格就拒绝接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为0.050.05，而正品被误测为不合格的概率是而正品被误测为不合格的概率是0.010.01。求该批产品被接受的概率。求该批产品被接受的概率。 解：解：设设A A表示该批产品被接受。表示该批产品被接受。 Bk 表示抽取的三件产品中有表示抽取的三件产品中有k件废品件废品, k=0,1,2,3 30)|()()(kkkBAPBPAP由全概率公式得由全概率公式得 30)|()()(kkkBAPBPAP339631000.99CC12296431000.050.99C CC8629. 02129
25、6431000.05 0.99C CC33431000.05CC1515、设有来自三个地区的各、设有来自三个地区的各10名，名，15名和名和25名考名考生的报名表，其中女生的报名表分别为生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、份、7份份和和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后取份。随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份。出两份。（1）先抽到的一份是女生表的概率；先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的是一份男生表，求先抽到的一已知后抽到的是一份男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。份是女生表的概率。 解：解： 设设A A先抽到的一份是女生表，先抽到的一份是女生表，B B后抽到的是
26、一后抽到的是一份男生表。份男生表。8029)255157103(31)( AP)()()|(BPABPBAP 6120)|(BAP92)(31)(2251201521518172101713 AAAAAAAAAABP9061)(31)(225120124215181142101719 AAAAAAAAABP 三门问题三门问题：在电视台举办的猜隐藏在：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛
27、者先选择一扇山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？得赢得汽车的机率更大一些？设设A1A1表示第一次抽到羊表示第一次抽到羊 A2A2表示第一次抽到车表示第一次抽到车 B1B1表示最终抽到羊表示最终抽到羊 B2B2表示最终抽到车表示最终抽到车 P(A1)=2/3 P(A2)=1/3 P(A1)=2/3 P(A2)=1/3 P(B2|A1)=1 P(B2|A1)=1 P(B2|A2)=0 P(B2|A2)=0 所以所以 P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=2/3 P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=2/3 P(B1)=1/3 P(B1)=1/3作业作业: :2.25; 2.26; 2.282.25; 2.26; 2.28