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1、第一篇第一篇 力力 学学伽利略伽利略牛牛 顿顿 教学内容：教学内容：l 质点质点 参考系参考系 运动方程运动方程l 位移位移 速度速度 加速度加速度l 圆周运动及其描述圆周运动及其描述l 曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式l 运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换本章我们着重阐明以下三个问题：本章我们着重阐明以下三个问题： 如何描述物体的运动状态。如何描述物体的运动状态。 运动学的核心是运动方程。运动学的核心是运动方程。 运动的研究，离不开时间和空间。运动的研究，离不开时间和空间。第一章 质点的运动 课题课题 绪绪 论论 1-1 质点质点 参照系参照系 运动方
2、程运动方程 1-2 位移位移 速度速度 加速度加速度 教学目标教学目标 1、掌握质点模型和参考系、掌握质点模型和参考系 2、理解位矢、位移、速度、加速度的含义及性质，明确它们的矢量性、相对、理解位矢、位移、速度、加速度的含义及性质，明确它们的矢量性、相对性和瞬时性性和瞬时性 3、理解运动方程的物理意义和作用，会用运动方程确定质点的位置、位移、理解运动方程的物理意义和作用，会用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度速度和加速度 4、能借助直角坐标系熟练地计算质点在平面内运动时的速度和加速度、能借助直角坐标系熟练地计算质点在平面内运动时的速度和加速度 教学重点：教学重点： 1、理解位置矢量、位
3、移、速度和加速度的定义及性质、理解位置矢量、位移、速度和加速度的定义及性质 2、用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度 3、能熟练地计算质点在平面内运动时的速度和加速度、能熟练地计算质点在平面内运动时的速度和加速度 教学难点：教学难点： 1、质点运动中的矢量性描述、质点运动中的矢量性描述 2、用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度、用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度 教学手段：教学手段：多媒体教学和讲授相结合多媒体教学和讲授相结合 教学课时：教学课时：2课时课时 绪绪 论论 1、为什么要学习普通物理学？为什么要学习普通物理学？物
4、理学是除数学以外，一切自然科学的基础，是当代工物理学是除数学以外，一切自然科学的基础，是当代工 程程技术的重大支柱。技术的重大支柱。u 物理学研究的是物质运动最基本最普遍的形式物理学研究的是物质运动最基本最普遍的形式。运动运动：变化发展变化发展.原子和原子核内的运动原子和原子核内的运动分子热运动分子热运动电磁运动电磁运动机械运动机械运动 物质运动的形式是多样的，它们既服从共同的普遍规律，又各自物质运动的形式是多样的，它们既服从共同的普遍规律，又各自有其独特的规律。有其独特的规律。 物理学所研究的运动，普遍地存在于其他高级的、复杂的物质运物理学所研究的运动，普遍地存在于其他高级的、复杂的物质运动
5、形式之中，因此，物理学所研究的规律具有极大的普遍性。动形式之中，因此，物理学所研究的规律具有极大的普遍性。u 物理学的研究方法：从实践中来，到实践中去。物理学的研究方法：从实践中来，到实践中去。u 普通物理学的数学工具：高等数学。普通物理学的数学工具：高等数学。u 物理学发展过程中的物理学发展过程中的三次重大突破三次重大突破：a. 17、18世纪，牛顿力学的建世纪，牛顿力学的建立和热力学的发展，有力地推动了其他学科的进展，并引起了第一次工立和热力学的发展，有力地推动了其他学科的进展，并引起了第一次工业革命，极大地改变了工业生产的面貌；业革命，极大地改变了工业生产的面貌；b. 19世纪，在法拉第
6、麦克斯世纪，在法拉第麦克斯韦电磁理论的推动下，引起了工业电气化（第二次工业革命）；韦电磁理论的推动下，引起了工业电气化（第二次工业革命）；c. 20世世纪以来，相对论和量子力学的建立，人们对原子、原子核结构的认识日纪以来，相对论和量子力学的建立，人们对原子、原子核结构的认识日益深入，人类进入了原子能、电子计算机、自动化、半导体、激光、空益深入，人类进入了原子能、电子计算机、自动化、半导体、激光、空间科学等高新技术时代（第三次工业革命）。间科学等高新技术时代（第三次工业革命）。u 现代物理学已经成为基础学科中发展最快、影响最深的一门学科。现代物理学已经成为基础学科中发展最快、影响最深的一门学科。
7、在人类认识自然、改造自然的一系列重大课题上，现代物理学的各个分在人类认识自然、改造自然的一系列重大课题上，现代物理学的各个分科都孕育着新的突破。未来的生产技术，将继续从物理学这片肥沃广阔科都孕育着新的突破。未来的生产技术，将继续从物理学这片肥沃广阔的科学土壤中吸取营养，结出硕果。的科学土壤中吸取营养，结出硕果。u 学习普通物理学是提高自身科学素养的需要。一方面学习普通物理学是提高自身科学素养的需要。一方面为专业课学习为专业课学习打下基础打下基础；另一方面；另一方面提供世界观和方法论的指导提供世界观和方法论的指导。2、怎样学习普通物理学？怎样学习普通物理学？1质点质点 把所研究的物体视为把所研究
8、的物体视为具有质量而没有大小和形状具有质量而没有大小和形状的理想的理想物体物体，称为质点。，称为质点。l 一个物体一个物体能否看成质点依研究问题的不同情况而定。能否看成质点依研究问题的不同情况而定。l 复杂物体可看成质点的组合。复杂物体可看成质点的组合。1-1 1-1 质点质点 参照系参照系 运动方程运动方程 2参考系与坐标系参考系与坐标系 运动是物质存在的形式，是物质的固有属性，物质的运动运动是物质存在的形式，是物质的固有属性，物质的运动存在于人们的意识之外，这就是存在于人们的意识之外，这就是运动本身的绝对性运动本身的绝对性。 要明确描述一个物体的运动，必须选取适当的参考系。要明确描述一个物
9、体的运动，必须选取适当的参考系。机械运动是最简单又最基本的运动。人们通常把一个物体相机械运动是最简单又最基本的运动。人们通常把一个物体相对于另一个物体的对于另一个物体的位置位置，或一个物体的某些部分相当于其他，或一个物体的某些部分相当于其他部分的位置，部分的位置，随时间而变化的过程随时间而变化的过程，叫做机械运动叫做机械运动。u 坐标系：坐标系：用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。Pzyxoxyzou 参考系参考系 研究物体运动状态时，研究物体运动状态时，被选作参考的物体叫做参考系被选作参考的物体叫做参考系。 参考系的选择可以是任意的，主要依研究问题
10、的性质和研究的方便参考系的选择可以是任意的，主要依研究问题的性质和研究的方便而定。而定。 对物体运动的描述与参考系有关。在不同参考系中，对同一物体的对物体运动的描述与参考系有关。在不同参考系中，对同一物体的运动具有不同描述的事实，叫做运动具有不同描述的事实，叫做运动描述的相对性运动描述的相对性。 一般在参考系上选定一点作一般在参考系上选定一点作为坐标系的原点，取通过原点并为坐标系的原点，取通过原点并标有长度的线作为坐标轴。标有长度的线作为坐标轴。直角坐标系直角坐标系：P（x, y, z）极坐标系极坐标系球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系3. 空间和时间空间和时间l 人们关于空间和时间的概念的形成
11、，首先起源于对自己周围物质人们关于空间和时间的概念的形成，首先起源于对自己周围物质世界和物质运动的直觉。世界和物质运动的直觉。l 空间反映了物质的广延性空间反映了物质的广延性，它的概念是与物体的体积和物体位置，它的概念是与物体的体积和物体位置的变化联系在一起的。的变化联系在一起的。l 时间反映了物理事件的顺序性和持续性时间反映了物理事件的顺序性和持续性。l 物理史上时空观的发展物理史上时空观的发展 莱不尼兹认为，空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久莱不尼兹认为，空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物质的运动久没有空间和时间。暂的持续形式，没有具体的物质
12、和物质的运动久没有空间和时间。（忽视了时间和空间的客观性）（忽视了时间和空间的客观性） 牛顿认为，空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在。（忽牛顿认为，空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在。（忽视了时间和空间与物质运动的联系）视了时间和空间与物质运动的联系） 牛顿的绝对时空观牛顿的绝对时空观爱因斯坦的相对论时空观。爱因斯坦的相对论时空观。 现代物理理论指出：现代物理理论指出：空间长度和时间间隔都有下限空间长度和时间间隔都有下限，分别为普朗，分别为普朗克长度克长度10- -35m和普朗克时间和普朗克时间10- -43s，当小于普朗克时间间隔时，现有，当小于普朗克时间间隔时，现有的时空概念就
13、可能不再适用了。的时空概念就可能不再适用了。4. 运动方程运动方程 在一个选定的参考系中，当质点运动时，它的位置在一个选定的参考系中，当质点运动时，它的位置P（x，y，z）是按一定规律随时刻）是按一定规律随时刻 t 而改变的，即而改变的，即位置是位置是 t 的函的函数数，可以表示为：，可以表示为：=)()()(tzztyytxx质点的运动方程质点的运动方程 （参数形式）（参数形式） 从质点的运动方程中消去时间从质点的运动方程中消去时间 t ，即可求得质点的，即可求得质点的轨迹轨迹方程方程。若轨迹为直线，就叫做直线运动；若轨迹为曲线，。若轨迹为直线，就叫做直线运动；若轨迹为曲线，就叫做曲线运动。
14、就叫做曲线运动。如如x = x0 + vt 和和x = x0 + v0t + 1/2at2就是运动方程。就是运动方程。=)(0),(zyxG=0),(zyxF=)(tzz=)(tyytxx消去消去t t1. 位置矢量（简称位置矢量（简称位矢位矢）l 位置矢量的直角坐标分量：位置矢量的直角坐标分量：kzj yi xr= 定义：从坐标原点定义：从坐标原点O 出发，指出发，指向质点所在位置向质点所在位置P 的有向线段。的有向线段。1-2 1-2 位移位移 速度速度 加速度加速度=rzryrxgbacos,cos,cos方向：方向：=zyxr222大小：大小：gbaP ( x,y,z )rzyxOik
15、jktzjtyitxr)()()(=运动方程的矢量形式运动方程的矢量形式2位移与路程位移与路程 u 位移位移 （矢量）（矢量）ABrrABr=u 路程（标量）路程（标量）位移与路程：位移与路程： sr)(),(tsstrr=zyxOB:A: ttt)()(tsttsABsAB=注意：位移表示位置的改变，它并不是质点所经历的路程。注意：位移表示位置的改变，它并不是质点所经历的路程。位移r为位矢rB和rA的矢量差。注注意意r2r1rx y z B AoS位移是矢量，有大小和方向位移是矢量，有大小和方向 r 与与 的区别的区别r rr s 与与 的区别的区别r rs0t dsrd= =元位移的大小元
16、位移的大小元路程元路程=r2r1 orra ) 为标量，为标量， 为矢量为矢量r r 12rrr = = 12rrr=b )3速度速度 速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量。 平均速度平均速度 平均速率（路程平均速率（路程s 与与时间时间t的比值，标量）的比值，标量）vrtr ttr tt=()( )ttsttstsv)()(=zyxOB:A: ttt 平均速度是在相应的时间平均速度是在相应的时间t 内位移对时间的比值。平内位移对时间的比值。平均速度为矢量，其方向与位均速度为矢量，其方向与位移的方向相同。移的方向相同。 瞬时速度瞬时速度( (简称简称速
17、度速度) )：质点在某一时刻或某一位置的速度。：质点在某一时刻或某一位置的速度。dtrdtrvt=0lim 瞬时速率瞬时速率dtdstsvt=0limvvvv=, 要确定质点的速度，应使时间要确定质点的速度，应使时间t无限地减小而倾近于零，无限地减小而倾近于零，以平均速度的极限来表述。即以平均速度的极限来表述。即: : 速度等于位矢速度等于位矢 r 对时间对时间 t 的一阶导数。的一阶导数。速度描述了速度描述了质点位质点位矢的瞬时变化率矢的瞬时变化率。速度是矢量，其方向就是当。速度是矢量，其方向就是当t 倾近于零倾近于零时，位移的极限方向，即时，位移的极限方向，即沿轨迹切线方向沿轨迹切线方向，
18、并指向质点前进，并指向质点前进的一侧。的一侧。 速度的直角坐标分量速度的直角坐标分量 jtztyitxtrr)()()()(=kdtdzjdtdyidtdxkvjvivdtrdvzyx=vvvvvvvvvvvzyxzyx=gbacos,cos,cos:222方向大小dtdzvdtdyvdtdxvzyx=，4加速度加速度 加速度是反映速度变化快慢加速度是反映速度变化快慢的物理量的物理量。 速度变化包括速度速度变化包括速度大小和速度方向的变化。大小和速度方向的变化。AvBvv 加速度等于速度对时间的一阶导数。加速度为加速度等于速度对时间的一阶导数。加速度为矢量矢量，其，其方方向与速度的方向一般不同
19、向与速度的方向一般不同。加速度的方向为当。加速度的方向为当t 倾近于零时，倾近于零时，速度增量速度增量v 的极限方向。的极限方向。220limdtrddtvdtvat=xOzyAvBvBAtvvtvaAB= 加速度的直角坐标分量加速度的直角坐标分量 ktvjtvitvtvvzyx)()()()(=dtdvadtdvadtdvazzyyxx=，kajaiadtvdazyx=aaaaaaaaaazyxzyx=gbacos,coscos222，方向：大小： 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度。加速度。 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）
20、以及初始条已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程。件求质点的运动方程。运动学中的两类问题：运动学中的两类问题：1、已知运动方程，求速度、加速度、已知运动方程，求速度、加速度2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程求导数求导数运用积分方法运用积分方法特别特别指出指出讨论问题一定要选取坐标系讨论问题一定要选取坐标系注意矢量的书写注意矢量的书写dtvddsrd,与与的物理含义的物理含义t,v, s,r 例例1：一质点运动轨迹为抛物线：一质点运动轨迹为抛物线求：求：x= -4m时（时（t0)粒子的速度、速率、粒子的速度、速率、加速度
21、。加速度。xy2422ttytx = = = =(SI)(SI)解：解：smvx4 = =ttdtdyvy443 = = =smvvvyx37422= = = =)(4441222 = = = =mstay练习练习2222 = = = =msdtxddtdvaxx?= =yatdtdxvx2 = = =2= =tsmvy24 = =2= =t2422ttytx = = = =(SI)(SI)smjiv/244 = =jivt42 22 = = =解：解：求求t=0秒及秒及t=2秒时质点的速度，并求后者的大秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。小和方向。例例2. .设质点做设质点做二维运动：二维
22、运动：方向：方向：轴轴的的夹夹角角与与为为xv2626324arctan = = = =smv/47. 442222= = = =大小：大小：ivt2 00= = =j tidtrdv22 = = =)()2(22SIjti tr=例例2. .设质点做设质点做二维运动：二维运动：例例3. .一质点沿一质点沿x x轴作直线运动，其位置轴作直线运动，其位置坐标坐标与时间的与时间的 关系为关系为 x=10+8t-4t2, ,求：求：（1 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。）质点在第一秒第二秒内的平均速度。（2 2）质点在）质点在t=0、1、2秒时的速度。秒时的速度。解：解：10 010= = =x
23、t）（14141810 1 21= = = = =xttxvtt = =21 轴轴正正向向相相反反方方向向与与 x)sm(v 4 21 = = 轴轴正正向向相相同同方方向向与与x)sm(v4 10= = 10242810 2 22= = = = =xt轴轴正正向向相相反反与与 xsmv 82 = =tdtdxvt88 2 = = =）（轴轴正正向向相相同同与与 xsmv 80= =此此时时转转向向 0 1= =v代入代入 t = 0 , 1 , 2 得：得：例例4.4.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过以后加速度均匀
24、增加，每经过秒增加秒增加a0，求经过，求经过t秒秒后质点的速度和运动的距离。后质点的速度和运动的距离。adtdvdtdvataaa= = = = = 00 ( (直线运动中可用标量代替矢量）直线运动中可用标量代替矢量）解：据题意知，加速度和时间的关系为：解：据题意知，加速度和时间的关系为： = = = = =1200002ctatadttaaadtv )(20012 000tatavcvt = = = = = 时 62 00030202tataxcxt= 时vdtdxdtdxv= 2302020062)2(ctatadttatavdtx=例例5 5 已知质点作匀加速直线运动，加速度为已知质点作
25、匀加速直线运动，加速度为 a ，求，求质点的运动方程。质点的运动方程。 解：由加速度的定义可推得解：由加速度的定义可推得tavtvadddd=由于质点作匀加速直线运动，所以由于质点作匀加速直线运动，所以tavdd =设设t = 0时，时，v=v0，即可得，即可得atvvdtaadtdvtvvt=0000又由定义又由定义atvvdtdx=0设设t = 0时，时，x=x0，对上式积分可得运动方程：，对上式积分可得运动方程：20021attvxx= 课题：课题： 13 圆周运动及其描述圆周运动及其描述 14 曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式 教学目标：教学目标： 1、了解质点做圆周运动的
26、特点、了解质点做圆周运动的特点 2、能熟练计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度、切向、能熟练计算质点做圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度加速度和法向加速度 3、借助直角坐标系，熟练计算质点在平面内运动时的速度和、借助直角坐标系，熟练计算质点在平面内运动时的速度和加速度加速度 教学重点：教学重点： 1、圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度、圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度 2、能用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度、能用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度 教学难点：教学难点： 1、质点做曲线运动中的矢量性描述、质点做曲线运动
27、中的矢量性描述 2、切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 教学手段：教学手段：多媒体教学和讲授相结合多媒体教学和讲授相结合 教学课时：教学课时：2课时课时 切向：沿轨道切向并指向速度方向，单位矢量为切向：沿轨道切向并指向速度方向，单位矢量为 。te 法向：沿轨道法向并指向凹侧，单位矢量为法向：沿轨道法向并指向凹侧，单位矢量为 。ne1-3 圆周运动及其描述圆周运动及其描述1. .自然坐标系自然坐标系 切向与法向切向与法向 在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的即存在加速度。采用
28、自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。物理意义。 自然坐标：自然坐标：s s(t) 在运动轨道上任一点建立正在运动轨道上任一点建立正交坐标系交坐标系 , 其一根坐标轴沿轨道其一根坐标轴沿轨道切线方向切线方向 , 正方向为运动的前进正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方方向；一根沿轨道法线方 向，向，正方向指向轨道内凹的一侧。正方向指向轨道内凹的一侧。netesoPteQ sne2. .切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度ntvvv=1P2Pvv svvvvv vnvv方向：沿方向：沿te大小：大小：方向：沿方向：沿ne其中：其中：大小：大小：vv vnvvtana a 结论结论
29、切向加速度切向加速度由于速度方向的改变而产生的加速度由于速度方向的改变而产生的加速度Rvan2=l 法向加速度法向加速度由于速度大小的改变而产生的加速度由于速度大小的改变而产生的加速度tvatdd=l tnntaaaaa=tan22l l 3. .圆周运动圆周运动 圆周运动的加速度圆周运动的加速度向心加速度向心加速度切向加速度切向加速度tvatdd=Rvat2=OPnaaatnntaaaaa=tan22 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 RB sxOA 角位置：角位置： = = ( (t t) )角位移角位移: : =2-1角速度角速度: : dtdtt=0lim角加速度角加速度: : d
30、tdttb=0lim角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度 / 秒秒 ( rad s -1 )角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度 / 平方秒平方秒 ( rad s -2 ) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为：加速度的关系式为：与匀变速直线运动的几个关系式与匀变速直线运动的几个关系式比较知：两者数学形式完比较知：两者数学形式完全相同全相同 , 说明用角量描述说明用角量描述 , 可把平面圆周运动转化为一维运可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题动形式，从而简化问题 。 角量和线量的关系角量和线
31、量的关系 =Rdtdva=RRvan22)(2202022000 xxavvattvxxatvv=)(2202022000bbb=ttt对比对比b b匀速圆周运动匀速圆周运动 是恒量是恒量dtd = = = =tdtd00 t=0匀角加速圆周运动匀角加速圆周运动b b是恒量是恒量tb b = =020021ttb= = =tdtd00 = =tdt00 一般圆周运动一般圆周运动)(20202b=线量线量速度、加速度速度、加速度角量角量角速度、角加速度角速度、角加速度=b=22sRRvaRdtdRdtdvaRdtdRdtdvnRdds =rv = = dtd b b= =加速转动加速转动 b b
32、方向一致方向一致减速转动减速转动 b b方向相反方向相反右手螺旋例例1 有一质点沿半径为有一质点沿半径为R=2m圆轨道作圆周运动，圆轨道作圆周运动，t 时刻的角位置为时刻的角位置为 。求。求t = 1s 时质点的速时质点的速度和加速度。度和加速度。)rad(22t=解：tdtd=，=dtd =)/(22)/(2)/(22222222smtRasmRasmtRvn222(m/s2)ena=2)/(smv=etet另解：jtitr)2sin(2)2cos(222= jttittdtrdv)2cos(2)2sin(222= 1=t，iv2=（m/s） jtttitttdtvda)2cos(2)2si
33、n(2 )2sin(2)2cos(222222222= 1=t，)/(2222smjia= 例例2一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为s = v0tbt2/2， v0、b都是正的常量。都是正的常量。 求求：（1）该点在时刻该点在时刻 t 的加速度；的加速度；（2）t 为何值时，该点的切线加速度与法向加速度的大小相等？为何值时，该点的切线加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为已知飞轮的半径为R。解解：（：（1）由题意可知该点的速度为由题意可知该点的速度为btvbttvdtddtdsv=020)21(速率速率v 随时间随时间t 而变化，说明该
34、点作匀变速圆周运动。而变化，说明该点作匀变速圆周运动。向心加速度向心加速度切向加速度切向加速度bbtvdtdtvat=)(dd0RbtvRvat202)(=（2）该点的切线加速度不随时间而变，只有向心加速度随时）该点的切线加速度不随时间而变，只有向心加速度随时间变化，因而令两者相等，即可求得所需时间。即间变化，因而令两者相等，即可求得所需时间。即bbRvtbtvbRRbtvb)()()(0020= 该点在时刻该点在时刻 t 的加速度的大小和方向分别为的加速度的大小和方向分别为=RbbtvaabtvbRRaaatnnt20202222)(arctgarctg)(114 曲线运动方程的矢量形式曲线
35、运动方程的矢量形式1、圆周运动方程的矢量形式、圆周运动方程的矢量形式 （1）在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的）在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的 坐标坐标 x 、 y 、 z 为时间为时间 t 函数：函数：运动的叠加原理：运动的叠加原理： 一个运动可以看成几个各自独立进行的一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的叠加。运动的叠加。以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直方向的以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相互垂直方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。分运动的叠加，即合运动。
36、这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式x=x( (t) )， y=y(t) ，z=z(t)(),(trzyxrr=（2）x y平面内圆周运动的讨论：平面内圆周运动的讨论： 两种形式的运动方程可分别写出为：两种形式的运动方程可分别写出为：这显然是这显然是 z=0 的平面内以原点为圆心、半径为的平面内以原点为圆心、半径为 R 的圆。的圆。因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运动，满足运因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运动，满足运动的叠加原理。动的叠加原理。 在第一组方程中消去时间参数在第一组方程中消去时间参数 t ，得到运动的轨迹方程，得到运动的轨迹方
37、程 和和x2+y2=R2， z=0 x=Rsin t， y=Rcos t ， z=0)cos(sinj ti tRr=对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为：对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为：写成矢量形式为：写成矢量形式为： rj tRi tRaj tRi tRv222cossinsincos=tRdtdvatRdtdvatRtRdtddtdyvtRtRdtddtdxvyyxxyxcossinsin)cos(cos)sin(22=2、 抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 抛体运动：抛体运动： 从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称抛
38、体运动的运动称抛体运动 。 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为 x 轴，竖轴，竖直方向为直方向为 y 轴。设抛出时刻轴。设抛出时刻 t=0 的速率为的速率为 v0 ，抛射角为，抛射角为，则初速度分量分别为：则初速度分量分别为：而加速度恒定而加速度恒定故任意时刻的速度为故任意时刻的速度为将上式积分，得到运动方程的矢量形式为将上式积分，得到运动方程的矢量形式为消去此方程中的时间参数消去此方程中的时间参数 t ，得到抛体运动的轨迹方程为：，得到抛体运动的轨迹方程为： 此为一抛物线方程，故抛体运此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。动也叫抛物线运动。
39、sincos0000vvvvyx=，j gga=jgtvivv)sin()cos(00=jgttvitvdtvrt)21sin()cos(2000=2202cos21tgvgxxy=令令 y = 0 ，得到抛物线与，得到抛物线与 x 轴的另一轴的另一个交点坐标个交点坐标 H ，它就是射程：，它就是射程：根据轨迹方程的极值条根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为：件，求得最大射高为：gvh2sin220=gvH2sin20= 知：知：抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析方法称
40、为运动。这种分析方法称为运动的分解。的分解。 由方程由方程jgttvitvr)21sin()cos(200=运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：叠加：这种分解方法可这种分解方法可用右图说明。用右图说明。jgttvjgttjvivr202002121)sincos(=谢谢！再见！例例、由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪射出一发子弹，取枪口为原点，沿口为原点，沿v0为为x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y轴
41、轴，并取发射并取发射时时t=0.试求试求：(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在子弹在t t时刻的速度，切向加速度和法向加速度时刻的速度，切向加速度和法向加速度。aagyxov0 n 2021gtytvx= = =解解：(1)20221vgxy = =(2)gtvvvyx= = =,0与切向加速度垂直与切向加速度垂直 = = = = = = 01222022tan vgttgvvvvyx与速度同向与速度同向22202tgvtgdtdva=2220022tgvgvagan=aagyxov0 n 课题：课题： 教学目标：教学目标： 1、理解描述运
42、动的相对性、理解描述运动的相对性 2、理解伽利略坐标变换、速度变换和加速度变换、理解伽利略坐标变换、速度变换和加速度变换 3、能综合运用运动学的相关知识分析、解决实际问题、能综合运用运动学的相关知识分析、解决实际问题 教学重点：教学重点： 1、理解伽利略坐标变换式、速度变换和加速度变换、理解伽利略坐标变换式、速度变换和加速度变换 2、位矢、速度、加速度等知识的综合应用、位矢、速度、加速度等知识的综合应用 教学难点：教学难点： 1、伽利略坐标变换式、速度变换和加速度变换、伽利略坐标变换式、速度变换和加速度变换 2、巧妙运用运动的相对性、瞬时性和矢量性分析、解决问题、巧妙运用运动的相对性、瞬时性和
43、矢量性分析、解决问题 教学手段：教学手段：多媒体教学和讲授相结合多媒体教学和讲授相结合 教学课时：教学课时：2课时课时 只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。一个坐标系一个坐标系中的描述中的描述另一个坐标另一个坐标系中的描述系中的描述变换变换经典时空观经典时空观空间绝对性空间绝对性时间绝对性时间绝对性运动描述具有相对性运动描述具有相对性车上的人观察车上的人观察地面上的人观察地面上的人观察运动是相对的运动是相对的静止参考系、运动参考系也是相对的静止参考系、
44、运动参考系也是相对的A.绝对速度绝对速度(绝对加速度绝对加速度)将物体相对于静止将物体相对于静止参考系的速度参考系的速度(加速度加速度)称为绝对速度称为绝对速度(绝对加速绝对加速度度)B.相对速度相对速度(相对加速度相对加速度)将物体相对于运动将物体相对于运动参考系的速度参考系的速度(加速度加速度)称为相对速度称为相对速度(相对加速相对加速度度) C.牵连速度牵连速度运动参照系相对于静止参考运动参照系相对于静止参考系的速度系的速度1、伽利略坐标变换、伽利略坐标变换 设有两个惯性系设有两个惯性系K(O-xyz z)和和K(O-xyz z)，其中，其中x轴与轴与x轴相轴相重合，重合，y轴与轴与y
45、、z z轴与轴与z z轴分别相平行轴分别相平行, 并且并且K系相对于系相对于K系以速系以速度度v沿沿x轴作匀速直线运动轴作匀速直线运动, 如图所示。在长度测量的绝对性和同如图所示。在长度测量的绝对性和同时性测量的绝对性的假定下时性测量的绝对性的假定下, 即认为时间和空间是相互独立的即认为时间和空间是相互独立的, 绝绝对不变的对不变的, 并与物体的运动无关并与物体的运动无关, K系与系与K系之间的变换可以表示系之间的变换可以表示为为xyy vPx OO rrRz zttt vrr=ttzzyyvtxx=或或伽利略坐标变换伽利略坐标变换2. 速度变换速度变换 分别用分别用 表示质点在两个坐标系中的
46、速度表示质点在两个坐标系中的速度 。,kkvvvvdttvrddtrddtrdvkk=)(（伽利略速度变换）vvvk=在直角坐标系中的分量形式为在直角坐标系中的分量形式为: vKx=vKx-v，vKy=vKy，vKz=vKz为了便于记忆，速度变换通常写成：为了便于记忆，速度变换通常写成：的速度。对为的速度；对为的速度；对为其中KKvKAvKAvvvvKKAKAKKKAKAK=注意注意： 低速运动的物体满足低速运动的物体满足速度变换式，并且可通过实速度变换式，并且可通过实验证实，对于高速运动的物验证实，对于高速运动的物体，上面的变换式失效。体，上面的变换式失效。 3、加速度变换、加速度变换设设K
47、系相对于系相对于K系作匀加速直线运动系作匀加速直线运动 , 加速度沿加速度沿x方向。设方向。设 K 系相对于系相对于 K 系的速度为系的速度为0aaaKK=00vvt= ，tavv00=当当a0=0 时时, 表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。 KKaa=tvtvtvKKdddddd=一观察者一观察者A 坐在平板车上，车以坐在平板车上，车以10m/s的速率沿水平的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈轨道前进。他以与车前进的反方向呈60角向上斜抛出一角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者石块，此时站在地面上的观察者B 看到
48、石块沿铅垂向上运看到石块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。动。求石块上升的高度。按题意作矢量图按题意作矢量图vvv=0103 .17601060=smtgtgvvmgvH3 .1580. 923 .17222=0vyxy x 0vv解解：Vvv= =sincosvvVvvyx cos2sin)cos(22222VvVvvVvv= Vvvvvxy=acossintan 例例2 如图，一物体沿倾角为如图，一物体沿倾角为的斜面下滑，设当物体相对斜面的斜面下滑，设当物体相对斜面的速度大小为的速度大小为 v时，斜面对地的速度大小为时，斜面对地的速度大小为V，求此时物体对地，求此时物体对地的速度大小和方向
49、。的速度大小和方向。 vVxOy例例3 一货车在行驶过程中，遇到一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大雨，车上竖直下落的大雨，车上紧靠挡板平放有长为紧靠挡板平放有长为l=1m的木板。如果木板上表面距挡板最的木板。如果木板上表面距挡板最高端的距离为高端的距离为h=1m，问货车应以多大的速度行驶，才能使木，问货车应以多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？板不致淋雨？45lha雨车v雨地v地车v解：由题意，为使木板不致淋解：由题意，为使木板不致淋湿，雨滴对货车的速度方向与湿，雨滴对货车的速度方向与地面的夹角地面的夹角a a 必须满足下式：必须满足下式：=45arctanlha在货车行驶时，车对地
50、面的速度、雨滴对地面的速度以及在货车行驶时，车对地面的速度、雨滴对地面的速度以及雨滴对车的速度三者的关系如图所示。所以雨滴对车的速度三者的关系如图所示。所以m/s5ctg=a雨地地车vv车对地的速度与地对车的速度大小相等，方向相反，所以车对地的速度与地对车的速度大小相等，方向相反，所以货车以货车以5m/s的速度行驶，木板就不会淋雨了。的速度行驶，木板就不会淋雨了。例例4一升降机以加速度一升降机以加速度1.2m/s2上升，当上升速度为上升，当上升速度为2.44m/s时，时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距距2.74m。