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1、数数 列列数列的定义数列的定义递回数列递回数列数学归纳法数学归纳法数列的定义：数列的定义：将一些数字依序排成一列，就成为一个数列。一个数将一些数字依序排成一列，就成为一个数列。一个数列形如列形如 a1，a2，an，其中，其中 a1 称为第一项称为第一项 ( 或或称为首项称为首项 )，a2 称为第二项，称为第二项，以此类推，以此类推，an 称为第称为第 n 项，又称一般项项，又称一般项 ( n 为正整数为正整数)；此数列以符号；此数列以符号 表示。表示。数列的定义数列的定义p.8p.11na1p.8(1) 试写出数列试写出数列 的前五项。的前五项。(2) 设数列设数列 的一般项为，试写出此数列的
2、前五的一般项为，试写出此数列的前五项。项。21n 1( 1)nnan na(1) 将将 n = 1，2，5 分别代入分别代入 得前五项为得前五项为 1，3，5，7，9(2) 将将 n = 1，2，5 分别代入分别代入 得前五项为得前五项为 1， ， ， ，21nan121( 1)nnan 13 15 14等差数列：等差数列：一个数列若后项减去前项所得的差为定值，就称为一个数列若后项减去前项所得的差为定值，就称为 等差数列，而此定值就称为此等差数列的公差。若等差数列，而此定值就称为此等差数列的公差。若 等差数列等差数列 的首项为的首项为 a1，公差为，公差为 d，则此数列为，则此数列为a1，a1
3、 + d，a1 + 2d，a1 + 3d，。数列的定义数列的定义p.8p.11na数列的定义数列的定义p.8p.11等差数列的一般项：等差数列的一般项： 若等差数列若等差数列 的首项为的首项为 a1，公差为，公差为 d，na则其一般项为则其一般项为 an = a1 + (n1)d。等比数列：等比数列：一个数列若后项除以前项所得的比值为定值，就称为一个数列若后项除以前项所得的比值为定值，就称为 等比数列，而此定值就称为此等比数列的公比。若等等比数列，而此定值就称为此等比数列的公比。若等 比数列比数列 的首项为的首项为 ，公比为，公比为 ，则，则此数列为此数列为 ， ， ， ， 。数列的定义数列的
4、定义p.8p.1111(0)a a na(0)r r 1a1a r21a r31a r等比数列的一般项：等比数列的一般项：数列的定义数列的定义p.8p.11则其一般项为则其一般项为 。11nnaa r 若等比数列若等比数列 的首项为的首项为 ，公比为，公比为 ，na11(0)a a (0)r r 2p.10试写出下列数列的前五项，并求出其一般项试写出下列数列的前五项，并求出其一般项 an：(1) 等差数列首项为等差数列首项为 2，公差为，公差为 3 。(1) 等差数列的首项等差数列的首项 a1 = 2，公差，公差 d = 3 下面几项分别为：下面几项分别为：故此等差数列的前五项为故此等差数列的
5、前五项为 2，5，8，11，14 此等差数列的一般项为此等差数列的一般项为21324354235538831111314aadaadaadaad1(1)2(1) 331naand nn2p.10试写出下列数列的前五项，并求出其一般项试写出下列数列的前五项，并求出其一般项 an：(2) 等比数列首项为等比数列首项为 1，公比为，公比为 。12(2) 等比数列的首项等比数列的首项 ，公比，公比 下面几项分别为：下面几项分别为： ， ，11a 2111122aa r 12r 431 114 28aa r321 112 24aa r541 118 216aa r2p.10试写出下列数列的前五项，并求出
6、其一般项试写出下列数列的前五项，并求出其一般项 an：(2) 等比数列首项为等比数列首项为 1，公比为，公比为 。12(2) 故此等比数列的前五项为故此等比数列的前五项为 1， ， ， ， 此等比数列的一般项为此等比数列的一般项为121814116nnnnaa r111111122 递回数列的定义：递回数列的定义：若一数列的后项可以由前面的项，根据某个规则若一数列的后项可以由前面的项，根据某个规则(称为称为递回关系递回关系)而推得，这样的数列称为递回数列，一开始而推得，这样的数列称为递回数列，一开始给定的项称为初始值。给定的项称为初始值。等差数列的递回定义式等差数列的递回定义式(简称递回式简称
7、递回式)可写成可写成等比数列的递回定义式等比数列的递回定义式(简称递回式简称递回式)可写成可写成递回数列递回数列p.12p.1911,2nnaaaad n 11,2nnaaaran 3p.13试写出下列递回数列的前五项：试写出下列递回数列的前五项：(1) ，且，且 。21(2)nnaann 11a (1) 由初始值与递回关系依序代入可以得到由初始值与递回关系依序代入可以得到故此数列的前五项为故此数列的前五项为 1，5，14，30，55 12132435414591416302555aaaaaaaaa 3p.13试写出下列递回数列的前五项：试写出下列递回数列的前五项：(2) ，且，且 。121(
8、2)nnaan 11a (2) 同上依序代入可以得到同上依序代入可以得到故此数列的前五项为故此数列的前五项为 1，3，7，15，31 121324354121321721152131aaaaaaaaa 从递回式求一般项从递回式求一般项 (等差数列等差数列 )：首项为首项为 ，公差为，公差为 d 的等差数列，其递回式为的等差数列，其递回式为各等式相加并作对消，得到各等式相加并作对消，得到 。从递回式求一般项从递回式求一般项 (等比数列等比数列 )：首项为首项为 ，公比为，公比为 的等比数列，其的等比数列，其递回式为递回式为各等式相乘并作对消，得到各等式相乘并作对消，得到 。递回数列递回数列1aa
9、 11,2nnaaaad n na(1)naandnaaa a1(0)(0)r r 11,2nnaaaran 1nnaar p.12p.19从递回式求一般项：从递回式求一般项：由递回关系可以导出等差数列与等比数列的一般项。由递回关系可以导出等差数列与等比数列的一般项。一般而言，求数列的一般项公式，通常是由观察规律一般而言，求数列的一般项公式，通常是由观察规律开始的。开始的。递回数列递回数列p.12p.194p.15(1) 实际画画看可得实际画画看可得 ， ， ， 18a 213a 318a 423a 用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干
10、图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。形一次增加一个，如下图。设设 an 是第是第 n 图中的白色正方形个数，则：图中的白色正方形个数，则：(1) 试求试求 a1，a2，a3，a4 。4p.15用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。形一次增加一个，如下图。设设 an 是第是第 n 图中的白色正方形个数，则：图中的白色正方形个数，则：(2) 求出求出 an 和和 an1 之间的关系之间的关系 。(2)n (2) 如图，可看出第如图，可看出第 n1 图加上五个白色正方形和一个黑色图加上五个白色正方形和一个
11、黑色因此，因此，15nnaa 正方形，就得到第正方形，就得到第 n 图图，如以下红色虚线框处所表示如以下红色虚线框处所表示用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。形一次增加一个，如下图。设设 an 是第是第 n 图中的白色正方形个数，则：图中的白色正方形个数，则：(3) 写出数列写出数列 的递回式。的递回式。4p.15na1185,2nnaaan (3) 承承(2)，可得数列的递回式为，可得数列的递回式为na4p.15因此，一般项为因此，一般项为85(1)53nann(4) 是一个首项为是一个首项为 8
12、，公差为，公差为 5 的等差数列的等差数列na用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方用黑、白正方形磁砖依照如下的规律拼成若干图形，黑色正方形一次增加一个，如下图。形一次增加一个，如下图。设设 an 是第是第 n 图中的白色正方形个数，则：图中的白色正方形个数，则：(4) 试求试求 an 。5p.16已知正三角形已知正三角形 的边长为的边长为 1，如右图，如右图，依次连接依次连接 三边三边 、 、的中点的中点 、 、 而成而成 ，又再次，又再次连接连接 的三边的三边 、 、 的中点的中点 、 、 而成而成 ，以此类推，以此类推而得一系列的三角形。设而得一系列的三角形。设 是是 的
13、周长，则：的周长，则：(1) 试求试求 ， ， 。111A B C11A B111A B C11B C11C A2C2B2A222A B C222A B C22A B22B C22C A3C3B3A333A B CnannnA B C1a2a3a(1) 由于三角形两边中点连线段长是第三边长的一半由于三角形两边中点连线段长是第三边长的一半故故 的周长是的周长是 之半，以此类推之半，以此类推故故 ， ， 222A B C111A B C13a 232a 334a 5p.16已知正三角形已知正三角形 的边长为的边长为 1，如右图，如右图，依次连接依次连接 三边三边 、 、的中点的中点 、 、 而成而
14、成 ，又再次，又再次连接连接 的三边的三边 、 、 的中点的中点 、 、 而成而成 ，以此类推，以此类推而得一系列的三角形。设而得一系列的三角形。设 是是 的周长，则：的周长，则：(2) 设设 ，求出，求出 与与 之间的关系。之间的关系。111A B C11A B111A B C11B C11C A2C2B2A222A B C222A B C22A B22B C22C A3C3B3A333A B CnannnA B C2n (2) 同理，第同理，第 n 个三角形的周长是第个三角形的周长是第 n1 个三角形周长的个三角形周长的一半一半故故11,22nnaan na1na 5p.16已知正三角形已
15、知正三角形 的边长为的边长为 1，如右图，如右图，依次连接依次连接 三边三边 、 、的中点的中点 、 、 而成而成 ，又再次，又再次连接连接 的三边的三边 、 、 的中点的中点 、 、 而成而成 ，以此类推，以此类推而得一系列的三角形。设而得一系列的三角形。设 是是 的周长，则：的周长，则：(3) 写出数列写出数列 的递回式的递回式。111A B C11A B111A B C11B C11C A2C2B2A222A B C222A B C22A B22B C22C A3C3B3A333A B CnannnA B Cna(3) 数列数列 的递回式为的递回式为1131,22nnaaan na5p.
16、16已知正三角形已知正三角形 的边长为的边长为 1，如右图，如右图，依次连接依次连接 三边三边 、 、的中点的中点 、 、 而成而成 ，又再次，又再次连接连接 的三边的三边 、 、 的中点的中点 、 、 而成而成 ，以此类推，以此类推而得一系列的三角形。设而得一系列的三角形。设 是是 的周长，则：的周长，则：(4) 试求试求 。11A B11B C11C A2C2B2A222A B C222A B C22A B22B C22C A3C3B3A333A B CnannnA B Cna(4) 是一个首项为是一个首项为 3，公比为，公比为 的等比数列的等比数列故一般项为故一般项为1132nna na
17、12111A B C111A B C6p.18小璇小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设设 an 表示叠了表示叠了 n 层所需的橘子数，则：层所需的橘子数，则：(1) 写出数列写出数列 的递回式。的递回式。na(1) a1 = 1。观察图形得知：叠两层可视。观察图形得知：叠两层可视叠三层可视为两层加上一个叠三层可视为两层加上一个 3 3 的的为一层加上一个为一层加上一个 2 2 的的“底底”而成；而成；“底底”而成，如右图而成，如右图6p.18小璇
18、小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设设 an 表示叠了表示叠了 n 层所需的橘子数，则：层所需的橘子数，则：(1) 写出数列写出数列 的递回式。的递回式。na(1) 同理，叠同理，叠 n 层可视为层可视为 n1 层加上一个层加上一个 n n 的的“底底”而而成成nn 因此，因此，21nnaan 故数列的递回式为故数列的递回式为1211,2nnaaann na6p.18小璇小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每在水果摊打工，把橘子堆
19、成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设设 an 表示叠了表示叠了 n 层所需的橘子数，则：层所需的橘子数，则：(2) 若要叠七层，若要叠七层，100 个橘子够不够？个橘子够不够？(2) 由递回式可逐项求出由递回式可逐项求出2212145aa232314aa243430aa6p.18小璇小璇在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每在水果摊打工，把橘子堆成金字塔形：底盘是正方形，每四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。四个橘子的空隙上方再放一个橘子，如下图。设设 an 表示叠了表示叠了 n 层所需的橘子数，则：层所
20、需的橘子数，则：(2) 若要叠七层，若要叠七层，100 个橘子够不够？个橘子够不够？故需要故需要 140 个橘子才能叠到七层，个橘子才能叠到七层，100 个是不够的个是不够的265691aa2767140aa(2) 254555aa数学归纳法：数学归纳法：如果一个与正整数如果一个与正整数 n 有关的命题满足下列两个条件：有关的命题满足下列两个条件：(1) 当当 n = 1 时命题成立。时命题成立。(2) 设设 n = k 时命题成立，由此可以推得时命题成立，由此可以推得 nk1 时命题时命题 也成立。也成立。则此命题对于所有自然数则此命题对于所有自然数 n 都成立。都成立。数学归纳法数学归纳法
21、p.19p.26设数列设数列 满足递回式满足递回式 。试求一般项试求一般项 an。p.207112121,2nnaaannn na先找出并观察前几项的数值先找出并观察前几项的数值 ， ，因此，我们推测因此，我们推测底下用数学归纳法证明此式成立底下用数学归纳法证明此式成立112a 21212322aa 32213433aa 43214544aa 1nnan 设数列设数列 满足递回式满足递回式 。试求一般项试求一般项 an。p.207112121,2nnaaannn na(1) 当当 n = 1 时，时， ，推测成立，推测成立(2) 设设 n = k 时推测成立，即时推测成立，即则则 n = k1
22、 时时111112a 1kkak 设数列设数列 满足递回式满足递回式 。试求一般项试求一般项 an。p.207112121,2nnaaannn na所以所以 n = k1 时，推测也成立时，推测也成立故由数学归纳法可知，故由数学归纳法可知， 对于所有自然数对于所有自然数 n 都成立都成立122111(1)(2)(1)(1)(2)1(1)1 (1)(2)(1)(2)2kkkaakkkkkk kkkkkkkk 1nnan (1) 当当 n = 1 时，时， 是是 7 的倍数，命题成立的倍数，命题成立(2) 设设 n = k 时命题成立，即时命题成立，即 是是 7 的倍数的倍数则则 nk1 时时由假
23、设由假设 是是 7 的倍数；的倍数； 也是也是 7 的倍数的倍数所以所以 亦是亦是 7 的倍数的倍数故由数学归纳法可知，原命题成立故由数学归纳法可知，原命题成立即对任意正整数即对任意正整数 n， 是是 7 的倍数的倍数014 837a 14 83kka (1)111114 834 83 4 8 83 (4 8328)8kkkkkka 14 83k 128 8k 1ka 14 83nna 试证明：对任意正整数试证明：对任意正整数 n， 是是 7 的倍数。的倍数。p.23814 83nna 利用数学归纳法时：利用数学归纳法时：(1) 检验检验 n = 1 成立。成立。(2) 在在 n = k 成立
24、的假设下导出成立的假设下导出 nk1 成立。成立。这两个步骤缺一不可。这两个步骤缺一不可。数学归纳法数学归纳法p.19p.26利用数学归纳法证明：利用数学归纳法证明： 对所对所有正整数有正整数 n 均成立。均成立。p.249222(1)(21)126n nnn(1) 当当 n = 1 时，时， ，原式成立，原式成立(2) 设设 n = k 时原式成立时原式成立即即21 2 316 222(1)(21)126k kkk利用数学归纳法证明：利用数学归纳法证明： 对所对所有正整数有正整数 n 均成立。均成立。p.249222(1)(21)126n nnn 则则 n = k1 时时故由数学归纳法可知，
25、原式对所有正整数均成立故由数学归纳法可知，原式对所有正整数均成立22222212(1)(21)(1)( (21)6(1)66(1)(276)(1)(2)(23(1)(1)(1) ()66(1)1)(1)(21)6kkkkkkk kkkkkkkkkkkk 实验室中的某种细菌以下列的方式繁殖：在第一秒时有实验室中的某种细菌以下列的方式繁殖：在第一秒时有 3 只细只细菌。每过一秒，会先死去一只细菌，然后剩下的细菌每一只都菌。每过一秒，会先死去一只细菌，然后剩下的细菌每一只都会分裂成两只。因此第二秒时有会分裂成两只。因此第二秒时有 4 只细菌，第三秒时有只细菌，第三秒时有 6 只细只细菌菌 ，如下图，
26、如下图 。令。令 an 表示第表示第 n 秒时的细菌数目。秒时的细菌数目。(1) 写出数列写出数列 的递回式。的递回式。(2) 试求第试求第 11 秒时的细菌数目。秒时的细菌数目。(3) 试推测此数列的一般项试推测此数列的一般项 an，并用数学归纳法证明之。，并用数学归纳法证明之。p.2510nap.2510(1) 。又由题意可知当。又由题意可知当 时，时，因此，数列的递回式为因此，数列的递回式为13a 2n 12(1)nnaa na1132(1),2nnaaan (2) 利用递回式可逐项求得利用递回式可逐项求得 因此，第因此，第 11 秒时的细菌数目有秒时的细菌数目有 1026 只只2345
27、6789101146101834661302585141026aaaaaaaaaa，p.2510(3)n1234113461010261+22+24+28+21024+2nanana1 122 2 122 3 122 4 122 11 122 我们推测一般项我们推测一般项底下用数学归纳法证明此式成立底下用数学归纳法证明此式成立122nna p.2510(3) 当当 n = 1 时，时， ，推测成立，推测成立 设设 n = k 时推测成立，即时推测成立，即1 11223a 122kka 故由数学归纳法可知故由数学归纳法可知 对所有自然数对所有自然数 n 都成立都成立 此即数列的一般项此即数列的一般项122nna 则则 n = k1 时时 所以所以 n = k1 时，推测也成立时，推测也成立1()11112(1)2(221)2(21)2222kkkkkkaa (因为设因为设 成立成立)122kka (递回关系递回关系)