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1、2.3 二项式定理二项式定理的发现、应用与推广的发现、应用与推广二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿牛顿于于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 物理是我物理是我的强项的强项数学上我同样有建树数学上我同样有建树2.3.1 二项式定理的发现二项式定理的发现 通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:222332234432234555322345()2()33()46
2、4()510105abaabbabaa babbabaa ba babbabaa ba ba babb 为了便于看出规律，我们把它补充完整:01222332234432234555322345()1()()2()33()464()510105ababababaabbabaa babbabaa ba babbabaa ba ba babb 为了便于研究其中的规律, 1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数. 他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和. 用公式表示为:1111211331146411510 105111kkknnnCCC这个结果，中国数学家杨辉早在这个结果，中国
3、数学家杨辉早在1313世纪就发现了。世纪就发现了。1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C
4、0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn这个表叫做二项式系数这个表叫做二项式系数表表,也称也称“杨辉三角杨辉三角”表中的每一个表中的每一个数等于它肩上数等于它肩上的两数的和的两数的和 类似上面的表类似上面的表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里明了表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于两个
5、数的和，杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家算书，且我国北宋数学家贾宪贾宪（约公元（约公元11世纪）世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕帕斯卡斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见我国古代数，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的学的成就是非常值得中华民族自豪的详解九章算法详解
6、九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉 通过进一步研究， 1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:1111211331146411510 1051!()!(1)(2)(1)1 2 3knnFk nkn nnnkk 1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。?)(4 ba?)(3 ba?)(2 banba)( 二项式定理研究的是二项式定理研究的是 的展开式的展开式. .222baba ?)(100 ba )()(2baba )()(3baba此法此法有困难有困难?)( nba展开式有几项？每一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 的展开式是什么？的展开式
7、是什么？)(2121bbaa 问题问题1:1: 展开式中展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？展开式有几项？)()(212121ccbbaa 问题问题2:2:多项式乘法的多项式乘法的再认识再认识规律规律: : 每个括号内任取一个字母相乘构每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项成了展开式中的每一项. .问题问题1 4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？都不取蓝球都不取蓝球 （全取红球）：（全取红球）： 取取1个蓝球个蓝球 （1蓝蓝3红）红） ： 取取2个蓝球个蓝球 （2蓝蓝2红）红） ： 取取3个蓝球个蓝
8、球 （3蓝蓝1红）红） ： 取取4个蓝球个蓝球 （无（无 红球）红球） ： )(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CCmnnCmnC11mnmnmnCCC 不作多项式运算，用不作多项式运算，用组合知识组合知识来考来考察，展开察，展开)()()(babababa展开式中有哪些项？各项系数各是什么？展开式中有哪些项？各项系数各是什么？43223444433422243144044464)(babbabaabCabCbaCbaCaCba问题2取4个a球 （不取 b球） ： 取3个a球 （取3 a 1 b） ： 取2个a球 （取2 a 2 b） ：取1个a球 （取
9、1 a 3 b） ： 不取 a球 （全取b球） ： )(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC)()(bababa 3aba22ab3b 项： 系数： 113C23C33C03C)()(bababa )()(bababa )()(bababa ba2分析分析13C3332232133033)(bCabCbaCaCba 3)(ba 展开式： 探究探究1 1 推导推导 的展开式的展开式. .3)(ba kkba 33 , 2 , 1 , 0 kkC3 3)(ba 4)(ba 2)(ba 2a22C2 ab2b02C12C03C 2ab ba2 3a13C23C
10、33C3b 4a04C24C14C34C44C ba3 22ba 3ab4b?)( nba探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程, ,推导推导 的展开式的展开式. .4)(ba 猜想：猜想： 没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 -牛顿牛顿 nba)(nnnrrnrnbbaCC 222110baCbaCaCnnnnnn_?_)( nbannbabababa)()()( 项：系数：kknba 分析分析相乘相乘个个)(ba naba中选中选个个)( kn bba中选中选个个)( kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCa
11、Cbannnkknknnnnnn 探究探究3 3：请分析请分析 的展开过程，证明猜想的展开过程，证明猜想. .nba)( naban 1 kknba nb展开式：二项展开式的通项二项展开式的通项: 1kT二项式系数二项式系数:), 2 , 1 , 0(nkCkn 项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n， kknknbaC )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0 , 字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n .杨辉，南宋时期杰出的杨辉，南宋时期杰
12、出的数学家和数学教育家数学家和数学教育家二项式定理二项式定理 ?)1( nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn ?)( nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110 nnnnknnnxCxCxCC 10二项式定理二项式定理 二项式定理的二项式定理的数学归纳法数学归纳法证明证明 成成立立时时，显显然然有有当当bCaCban110111 kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba 110 等等式式成成立立，即即假假设设kn 2 bababaknkk 11时时，当当11111111101 kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC
13、证:需要证明需要证明证毕证毕 bababaknkk 11时时，当当 111211011110110)( kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()( kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC111111111101 kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCaC杨辉三角杨辉三角 一一 一一 一一 一一 二二 一一 一一 三三 三三 一一 一一 四四 六六 四四 一一 一一 五五 十十 十十 五五 一一 一一 六六 十五
14、十五 二十二十 十五十五 六六 一一 2.3.2、杨辉三角与二项式系数1ba1 12ba1 2 13ba1 3 3 14ba1 4 6 4 15ba1 5 10 10 5 16ba1 6 15 20 15 6 1nba0nc2nc1ncnncrnc1nnc探究：杨辉三角探究：杨辉三角之雾里看花之雾里看花2、对称性：对称性： 表中的数字左右对称表中的数字左右对称 ，即，即 rnnrnCC3、结构特征：结构特征：除底边上除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，以外的各数，都等于它肩上的两数之和， 即即rnrnrnCCC1111、与二项式定理的关系：与二项式定理的关系： 表中的每个数都是二项式
15、表中的每个数都是二项式系数，第系数，第n行的第行的第r+1个数是个数是第第n行各数的和为行各数的和为nrnC尝试探索尝试探索第0行1、杨辉三角第、杨辉三角第n n行各数的特点行各数的特点第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行 11nC12nCrnC1nnC 杨辉三角形的两条斜边都是杨辉三角形的两条斜边都是数字数字1，而其余的数都等于它肩上的两个，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加数字相加.rnrnrnCCC111
16、即杨辉三角形的每一行中的数杨辉三角形的每一行中的数字左右对称字左右对称.rnnrnCC即探究：研究斜行规律：探究：研究斜行规律：第一条斜线上：第一条斜线上：166C第二条斜线上：第二条斜线上：2615C第三条斜线上：第三条斜线上：3620C第四条斜线上：第四条斜线上：4615C猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=1+2+3+4+5=1+3+6+10=1+4+10=第第m+1条斜线上的第条斜线上的第n个数个数.1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线 ） (nr)r
17、nrrrrrrCCCC1211nC3nC1 rnC1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线 ）22222341nCCCC （第第3 3条斜线条斜线 ）2nC（第第2 2条斜线条斜线 ）11111231nCCCC结论：结论：杨辉三角中，第杨辉三角中，第m条斜线条斜线(从右上从右上到左下到左下)上前上前n个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数个数)(1121rnCCCCCrnrnrrrrrr即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第中，第m条斜线条斜线(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的个数字的
18、和，等于第和，等于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。想一想：想一想：（07）湖南理（）湖南理（15）将杨辉三角中的奇数换成）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成，偶数换成0，得到如图所示的，得到如图所示的01数表，从上往下数表，从上往下数：第一次全行的数都为数：第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的的是第一行，第二次全行的数都为数都为1 的是第的是第3行，行，第第n次全行的数都为次全行的数都为1 的是第的是第 行行第一行第一行 1 1第二行第二行 1 0 1第三行第三行 1 1 1 1 第四行第四行 1 0 0 0 1第五行第五行 1 1 0 0 1 1 分析：分析：本题是对杨辉
19、三角的考察，一行全即本身全本题是对杨辉三角的考察，一行全即本身全为奇数，因此，我们继续探究下表为奇数，因此，我们继续探究下表2n1358 第第0行行4101312679111214151 1）杨辉三角中的第）杨辉三角中的第1 1，3 3，7 7，1515，行，即第行的行，即第行的各个数字为奇数？各个数字为奇数？2 2n n-1-1除两端的除两端的1 1之外都是偶数之外都是偶数. . 则第则第2n行的数字有什么特点？行的数字有什么特点？探究、横行规律探究、横行规律 125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21
20、7 1第第1行行 1 1 第第0行行 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 1138132134想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1探究探究?1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列，此数列an满足满足, a1=1,a2=1,且且an=an-1+an-2 (n3) 这就是著名的这就是著名的 斐波那契数列斐波那契数列 中世纪意大利数学家中世纪意大利数学家斐波那契斐波那契的传世之作的传世之作算术之法算术之法中中提出了一个饶有趣味的问
21、题：提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第假定一对刚出生的兔子出生的第个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 1448955895534553421121110aaa练习：练习：4 7 7 412 23 4 35 11 14 11 56 16 25 25 16 6则第则第n 行（行
22、（n 2 ）第）第2个数是什么？个数是什么？ 分析分析:设第设第 n 行的第行的第 2 个数为个数为 an ,则则a2 = 2 ,22nn2an+1 - an =n an = 2 + 2 + 3 + ( n-1)=2 应用探讨应用探讨在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色黑色 ) 向容器内向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球
23、落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？“概率三角形” 12111824143838141218照这样计算第照这样计算第n+1层有层有n+1个通道，个通道，弹子通过各通道的概率将是？弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？关系？小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。情形相加。于是，钢珠通过
24、每一层每个通道的可能情形是：于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：第一层第一层 1 1第二层第二层 1 1 1 1第三层第三层 1 21 2 1 1第四层第四层 1 3 31 3 3 1 1 第五层第五层 1 4 6 4 11 4 6 4 1右图是一个城市某街区模型。01011001ABAABABB从西北角点可向东或向南行走，到每一点的路径有很多种如到达点的路径有：，共两种，那么到达各点的路径总数分别是多少呢？0A1A2A3A4A0B2B3B1B4B0C1C2C4C3C0D0E4D4E3 应用探讨应用探讨1234AAAA看 第 一 行 ： 到 达，各点 的 路 径 分 别 只有 一 条 .
25、在 这 些 点的 旁 边 写 上 1。0A1A2A3A4A0B2B3B1B4B0C1C2C4C3C0D0E4D4E0000BCDE看第一列：到达，各点的路径分别只有一条.在这些点的旁边写上1。11BB到达 点的路径共有两条.在 点的旁边写上2。1212,C BC B到达点的路径总数，如果我们仔细数一下知道分别有3条.在旁边写上3。00003003,AAD A AAD A现在让我们换个角度，把 看做一个三角形的定点看做三角形的两条边，把摆正，各点数字为：0A1 12 2 11 3 3 1 继续数下去，就知道到达各点的路径总数恰好构成了一个杨辉三角形。4.2.4 二项式定理的推广1 上面得到的结果
26、只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢? 1665年，牛顿对此进行了研究。 他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：2(1)(1)(1)(1)12!nkn nn nnkxnxxxk 12(1)1( 1)kkxxxx 经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。 这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。 这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：200(1)(1)(1)(1)12!( )(1)(1)!kkknkkkxxxxkkxxRkk 二项式定理的推广1 这个猜想是否正确？牛顿对此进
27、行了验证。当指数为1/2时，有：1/2234511128161281/21/223111111122481628(1)1(1)(1)1 ()(2)(22)1xxxxxxxxxxx 然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？ 牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。 1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。 二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。 现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。二项式定理的推广2 二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们
28、也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？ 最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。 例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算00000!()()()!()!()!()!()!()!nnnn kkknknkn kk lln kk llklklnabcabcabck nknknabcabck nkl kll klnk2.3.4 二项式定理的推广2 具体写出来是01222233222232234()1()()222()3336333()abcabcabcabcaabacbbccabcaa ba cababcacbb c
29、bccabc二项式定理的推广2 为了保持展开后的对称性，我们把展开式写成012223()1()()222abcabcabcabcaabbacbcc33223222224()3336333()abcaa babba cabcb cacbccabc二项式定理的推广2 把公式中字母的系数提取出来 经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。 四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。111 111 112113 33 6 31 3 3 11446 12 64 12 12 41 464 1二项式定理的推广2 同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式0000000!
30、()()()!()!()!()!()!()!()!()!nnnn kkknkln kk ll mmklnnkln kk ll mmklmnabcdabcdabcdk nknkabcdk nkm lmklnabcdm lmklnk 二项式定理的推广2 为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：000000( )!()!()!()!()!()!()!()!()!()!nnnnn kkknknn kk llklnklnn kk ll mmklmaanababk nknabcabcl klnknabcdabcdm lmklnk 二项式定理的推广2 通过认真观察，我们不难发现以下规律： 1）展开式中各个字母的指数和为n； 2）系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积； 3）求和条件为各指数均非负，且和为n 于是，我们可以把这些展开式统一表达为!()!iikniikninxxk二项式定理的推广3 上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？ 大胆的试试看，你的创造力会得到激发和锻炼。