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1、精选优质文档-倾情为你奉上一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1在等腰三角形ABC中，三边分别为a、b、c，其中4，若b、c是关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）0的两个实数根，求ABC的周长【答案】ABC的周长为10【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在综上即可得出结论【详解】当a4为腰长时，将x4代入原方程，得：解
2、得： 当时，原方程为x26x+80，解得：x12，x24，此时ABC的周长为4+4+210；当a4为底长时，（2k+1）2414（k）（2k3）20，解得：k，b+c2k+14b+c4a，此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形ABC的周长为10【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键2已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根，又k为正整数，求代数式的值【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系
3、可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解【详解】解：设方程的两个实数根分别为x1、x2则 ，由条件，知=3，即，且，故a1，则方程为(k-1)x2+3x+2=0，.当k-1=0时，k=1,x=，则.当k-10时，=9-8（k-1）=17-6-8k0，则，又k是正整数，且k1，则k=2，但使无意义.综上，代数式的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系要注意该方程
4、可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3解方程：（2x+1）2=2x+1【答案】x=0或x=.【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：（2x+1）2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+11）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=4关于x的方程(k1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根（2）设x1，x2是方程(k1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=+ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值若不能，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此
5、时k的值为2【解析】试题分析：（1） 本题二次项系数为(k1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可试题解析：（1）当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；当k-10即k1时，方程为一元二次方程，=（2k）-42（k-1）=4k-8k8=4(k-1) 40方程有两不等根综合得不论k为何值，方程总有实根（2）x x ,x x =S=+ x1+x2=2k-2=2，解得k=2，当k=2时，S的值为2 S的值能为2，此时k的值为2考点：一元二次方程根
6、的判别式；根与系数的关系5观察下列一组方程：；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；请写出第n个方程和它的根【答案】（1）x17，x28.（2）x1n1，x2n.【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k15，则原方程为x215x560，则(x7)(x8)0，解得x17，x28.(2)第n个方程为x2(2n1)xn(n1)0，(xn)(xn1)0
7、，解得x1n1，x2n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.6某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?【答案】当时，活动区的面积达到【解析】【分析】根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y，则由题意得.即列方程: 解得 (舍)，.当时，活动区的面积达到【点睛】本题是一元二次方程的应
8、用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心7某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量（单位：件）是关于时间（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间/天131020日销售量/件98948060这20天中，该产品每天的价格（单位：元/件）与时间的函数关系式为：（为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出关于的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增大而增大，求的取值范围.
9、【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得: 解得:k=-2,b=100关于的函数关系式为:.（2）设前20天日销售利润为元，由题意可知，当时，.在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：，对称轴为：，每天扣除捐赠后的日销利润随时间的增
10、大而增大，且，.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.8如图，在ABC中，B90，AB6 cm，BC8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发(1)问几秒后，PBQ的面积为8cm？(2)出发几秒后，线段PQ的长为4cm ?(3)PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，B
11、Q=2t，根据三角形面积的计算公式，SPBQ=BPBQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将PBQ的面积表示出来，根据=b2-4ac来判断【详解】(1)设P，Q经过t秒时，PBQ的面积为8 cm2，则PB6t，BQ2t，B90， (6t) 2t8，解得t12，t24，当P，Q经过2或4秒时，PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ4 cm，由题意，得(6x)24x232，解得x1，x22，故经过秒或2秒后，线段PQ的长为4 cm；(3)设经过y秒，PBQ的面积等于10 cm2，SPBQ
12、(6y) 2y10，即y26y100，b24ac364 104 0，PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.9 1.735=59.5，1.780=136151这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.780+（80m）即m280m+1500=0解得m1=30，m2=50又四月份用水量为35吨，m1=3035，m1=30舍去m=50 【解析】10若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点
13、”（1）一次函数yx1与x轴的交点坐标为 ；一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，则a ；（2）已知一对“x牵手函数”：yax+1与ybx1，其中a，b为一元二次方程x2kx+k40的两根，求它们的“x牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：若a=
14、2，b=-2，若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”【详解】解：（1）当y0时，即x10，所以x1，即一次函数yx1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，所以0a+2，解得a2；（2）yax+1与ybx1为一对“x牵手函数”，a+b0a，b为x2kx+k40的两根a+bk0，x240，x12，x22若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为；若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为（，0 ）综上所述，“x牵手点”为或（，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用专心-专注-专业