《名师推荐第2讲不定积分的换元积分法ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《名师推荐第2讲不定积分的换元积分法ppt课件.ppt（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高等院校非数学类本科数学课程授课老师：王利平第二讲第二讲 不定积分换元积分法不定积分换元积分法一. 第一换元积分法二.第二换元积分法 不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.一、 不定积分的第一换元法 :公式首先看复合函数的导数 )( ),( 上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),( 则可微的复合函数xFy 它的微分形
2、式为xxxFxFd)()()(d( ),()( 则记ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?定理 , )( )( 上的一个原函数在区间是设IufuF , )( ),()(且上可微在区间又JxuICuf ,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!例1解. dcossin 3xxx求 , dcosd ,sin 故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu 441Cx4sin4
3、1例2解. dsin 3xx求 , sin)cos1 (sinsinsin 223xxxxx由于 ,dsind , cos 得从而，则故令xxuxu )d)(1 (dsin)cos1 (dsin223uuxxxxx ddd) 1(22uuuuu . coscos313133CxxCuu例3解 .dcossin 310 xxx计算 ,dcosd ,sin 于是则令xxuxuuuuxxxd)1 (dcossin210310uuud)(1210Cuu1311131111 . sin131sin1111311Cxx例4解 . cos d 4xx计算 , cos dd tan 2于是，则令xxuxuxx
4、xxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1 ( . tan31tan3133CxxCuuuud)1 (2例5解 . dsec xx求xxxxxxxxdsectan sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan . |sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec 222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf | )(|lnd)()( :一般有例6解 . dsectan 35xxx计算xxxxxxxxdsectans
5、ectandsectan2435xxxxdsectansec) 1(sec22xusec 令uuud) 1(222uuuud)2(246Cuuu357315271Cxxx357sec31sec52sec71例7解 . ln d xxx求于是则令 ,1d ,ln xuxuCuuuxxx |lndlnd . |ln|lnCx . )ln( d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式例8解 . d1 4xxx求 ,d2d , 2故则令xxuxu241d21d1uuxxx . arctan21arctan212CxCu . )( d)(1d)( :1nnnxuuufnxxxf一般公式为例9解 .
6、d1 2xeexx求 ,dd , 故则令xeueuxx 1dd122uuxeexx . arctanarctanCeCux . )( d)(d)( :xkxkxeuuufxeef一般公式为例10解 . 1 d 4xxx计算，故，则令xxuxud2d 2241 d211 duuxxxCuu |1 |ln212 . )1 ln(2142Cxx例11解 . )0( d axxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa . arcsin22Cxaaxa例12解 . d)1 ( arctan xxxx计算，故，则令xxuxu
7、2dd uuuxxxxd1arctan2d)1 ( arctan2，从而，则令21dd arctan uuvuv d2d)1 ( arctanvvxxxxCv 2. ) (arctan)(arctan22CxCu 换元法可以连续使用二、 不定积分的第二换元法 d)(d)()( 是被积表达式第一换元法中uufxxxf遇到的是一般形而在实际问题中，常常已明显含有因子, )( x。，不能分出因子式的积分： )( d)( xxxf 将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)()(xxfd)()( tx令CtF)( 容易积出：应满足什么条件？想想函数 )( t定理上在区
8、间，函数设函数* )( )()( ItxICxf。，严格单调，可微，且IIt)( 0)( * )( )()( *，则上有原函数在区间若tFIttf 上有在区间 I ,)(d)(1CxFxxf是积分常数。的反函数；是其中， )( )( 1Ctx分第二换元法。该定理描述的是不定积例1解 ).0( d 22aaxx计算 采用第二换元法计算。 22 dsecd tan 2，故，则令tttaxtaxtattaaxxsecdsecd222ttdsec1|tansec|lnCtt)ln ( . |ln122aCCCaxx22ax xat的表达式的积分，、一般说来，含有 2222axxa。来代替原变量的三角函
9、数或双曲函数可用新变量 xt例2解 . )0( d 22axxa计算故则令 ,dcosd , 22 ,sin ttaxttax dcosdcoscosd2222ttattataxxattad22cos12Ctta) 2sin21 (22 . 2arcsin2222Cxaxaxaxat22xa Cttta)cos sin (22例3解 . )0( )(d 322axax计算 ,dcosd ,22 ,sin 故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12 .222Cxaaxxat22xa 例4解 . )0( d 22aaxx计算 . ),(),( 1)(22aaaxx
10、f的连续区间为时 ),( ) 1 ( ax dtansecd 20 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1 |tansec|lnCtt) ln ( . |ln122aCCCaxxxat22ax 时 ),( )2(ax dtansecd 2 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1 |tansec|lnCtt |ln222Caxx0 x2222222)(lnCaxxaxxaxx)ln( . |ln122aCCCaxx ),( ),( 均有或综上所述，不论axax ).0( , |ln
11、d2222aCaxxaxx。而只是作“形式”计算，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时 例5解 . d 3xxx计算 . 6 , ,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx , 0 , 61txt令 ,d 6d , 56故则ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd) 111 (62Ctttt | 1|ln6 6 3 223 . ) 1ln(6632663Cxxxx . , , , . , , , , , 2111的最小公倍数为分母这里可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来nkqpqpqqqkxtxxxnn例6解 . ) 1(d 24xxx计算 )
12、, 0 , 0 ( ,dd , 1 2故则令txttxtx1d) 1(d2424tttxxxtttd11) 1(24 d)111(22tttCtttarctan33 . 1arctan1313Cxxx 此法称为“倒代换”法 积分经常有效：“倒代换”法对于下列 )()( dxnmxxk) 1 (tnmx令 母的好方法。倒代换法是一个化简分例7解 . ) 1( 123 d 2xxxxx计算 , dd , 1 2故则令xxtxt2223d 123 dtttxxxx2) 1(4d tt . 21arcsinCxx . 21arcsinCt掉根式。积分，原则上是设法去对于含有根式的函数的分。的不含根式的
13、函数的积即可将问题转化为一般变量积分，直接令根式为新有些含有根式的函数的 例8解 . 1d xx计算 d 2d ，故，则令ttxxttttxx1d 21dtttd111 2ttd) 111 ( 2Ctt) | 1|ln ( 2 .) 1ln(22Cxx例9解 . d111 xxxx计算 ) 1( d 4d 121 11 222故，则令tttxtxxxt ) 1)(1( d 4d111222ttttxxxxtttttd) 1)(1( ) 1() 1( 222221d21d222ttttCtttarctan2|1 |1 |lnCxxxxxx11arctan2|11|11|ln例10解 ).0( d 22axxxa计算 dcosd 20 sin ，故，则，令ttaxttaxtattaxxxasin dcos d222ttttadsinsincos 22221)d( uuuatucos 令uuad)111 ( 2Cuuaua| 1| 1|ln2 .|ln2222Cxxaaaxa混合使用。第二换元法可该例说明第一、