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1、用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,8441
2、41417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21
3、(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有解解例例3 3.22 2222 , 434232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110
4、A它的特征多项式为它的特征多项式为.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1( EA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的特征值为的特征值为于是于是A, 0)3(,31 xEA解方程解方程时时当当 ,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得, 0)(,1432 xEA解方程解方程时时当当 ,1111,1100,00112
5、32 可得正交的基础解系可得正交的基础解系单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的
6、问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形
7、性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 3223226
8、52xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.84
9、2232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C二、小结将
10、一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日
11、配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 思考题思考题解答故令故令方项方项由于所给二次型不含平由于所给二次型不含平, 解解 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322312yyyyf 有有 , ,3322311 3322211z
12、yzyzzyyzyzyyz或或再令再令, 232221zzzf 得标准形得标准形 ., 3332123211zxzzzxzzzx所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为222164zyxf 为为正定二次型正定二次型22213xxf 为为负定二次型负定二次型二、正(负)定二次型的概念 ., , 0)(0;,00 0, 0,)( 1是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵次次型型为为正正定定二二则则称称显显然然都都有有如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型定定义义AfxfxAffxfxAxxxfT
13、 例如例如正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.特征值全大于零, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即AA负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法；定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法； ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即A(3)(3)特征值判别法特征值判别法.特征值全小于零