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1、对数概念对数概念 对数的创始人是苏格兰对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（数学家纳皮尔（Napier，1550年年1617年）。他发明年）。他发明了供天文计算作参考的对数，了供天文计算作参考的对数，并于并于1614年在爱丁堡出版了年在爱丁堡出版了奇妙的对数定律说明书奇妙的对数定律说明书，公布了他的发明。恩格斯把公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。世纪数学的三大成就。 预习提纲NlgNln1、为了研究什么问题而引入对数概念？2、对数是如何定义的？3、指数式和对数式如何相互转化？4、对数有哪些性质
2、？5、 和 是什么含义？折纸次数折纸次数x x层数层数N N2xN折纸次数和层数的关系：折纸次数和层数的关系： 如果如果已经知道一共有如果如果已经知道一共有64层，层，你能计算折了多少次吗？你能计算折了多少次吗？ 这个问题可以转化为：已知这个问题可以转化为：已知 ,求求x. 264x1 2 3 4 2 4 8 16 1、指数式： ab=N，a是_, b是_,N是_,其中a,b,N什么范围？)0, 10(NRbaa且2、a0=_, a1=_.底数底数指数指数幂幂1a1、在23 =8中，8=_,2=_,3=?2、在52=25中，25=_,5=_,2=?3、在ab=N中，N=_, a=_,b=?38
3、任务一任务一：回答下面问题：回答下面问题,引入对数。引入对数。计算：计算：(1)求N. 23 =N. (2)求a. a2=25 .(a0)23bN52ab25在ab=N中，b叫以a为底N的对数.中，中，中，中，51512193821 -0233叫以2为底8的对数，2叫以3为底9的对数，0叫以1/2为底1的对数，-1叫以5为底1/5的对数，b叫以a为底N的对数，记作b=logaN.logaN记作3=log28.记作2=log39.记作0=log1/21.记作-1=log51/5.任务二任务二：理解对数的概念。：理解对数的概念。子任务子任务1.对数是如何定义的对数是如何定义的?a,b,N的名称及范
4、围如何？的名称及范围如何？?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)0, 10(NRbaa且定义：一般地，如果定义：一般地，如果 的的b次幂次幂等于等于N, 就是就是 ,那么那么数数 b叫做叫做 a为底为底 N的对的对数数，记作，记作 ，a叫做对数的底数，叫做对数的底数，N叫做叫做真数。真数。1, 0aaaNab bNalog子任务子任务2、比较指数式、根式、对数式的关系，加深概念理解比较指数式、根式、对数式的关系，加深概念理解此对应始终保持底数不变，转化的实质是b、N位置的变化.表达形式表达形式abN对应的运算对应的运算ab=NbN=alogaN=b底数底数方根方根
5、底数底数指数指数根指数根指数对数对数幂幂被开方数被开方数真数真数乘方，乘方，由由a，b求求N开方，开方，由由N，b求求a对数，对数，由由a，N求求b 对数概念对数概念 小试牛刀小试牛刀(1)(2010年年)若若 （ ），则有（），则有（ ）。）。 A. B. C. D.(2)在对数式在对数式 中，实数中，实数 的取值范围是的取值范围是( )。 A. B. C. D.(3)当底数是当底数是81时，时，27的对数等于（的对数等于（ ）。）。 A. B. C. D.Na 210aa且Na 2logaN 2log2logNa2logaN)5(log)2(aaa25aa或52 a5332aa或44a43
6、343553折纸次数折纸次数x x层数层数N N2xN折纸次数和层数的关系：折纸次数和层数的关系： 如果如果已经知道一共有如果如果已经知道一共有64层，层，你能计算折了多少次吗？你能计算折了多少次吗？ 这个问题可以转化为：已知这个问题可以转化为：已知 ,求求x. 264x1 2 3 4 2 4 8 16 1常用对数：以常用对数：以10作底作底 记作记作 N10logNlgNlnNelog2自然对数：以自然对数：以 e作底作底 e为无理数，为无理数， e = 2.71828 记作记作 子任务子任务3：认识常用对数和自然对数：认识常用对数和自然对数试试：分别说说试试：分别说说lg5 、lg3.5、
7、ln10、ln3的意义的意义. 指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化 把下列把下列指数式指数式改写成改写成对数式对数式,对数式对数式改写成改写成指数式指数式（2）（1）变式练习变式练习： 把下列把下列指数式指数式改写成改写成对数式对数式,对数式对数式改写成改写成指数式指数式 273a x16log2a27log3162 x3125log5bN lg6412673. 531m（1）（2）（3）（4） 求下列式子中求下列式子中 的值：的值：（2）（1）29logx变式练习变式练习：求下列式子中求下列式子中 的值：的值：xxx100lg2log25x解：化为指数式为, 92x，或所以3-3xx，
8、且因为10 xx. 3x故小练习：求下列对数值1log)2(2eln)3(3log)4(31lg) 1 (8log22)5(5log33)6(第一组： 01lg) 1 (01log)2(2猜想猜想loga1=0 探究活动探究活动 感悟数学感悟数学证明： 01log, 10aa，即即1的对数为的对数为0. 第二组： 1ln)3(e13log)4(3猜想猜想logaa=1 证明： 1log,1aaaa，即底数的对数为1. 第三组： 82)5(8log253)6(5log3猜想猜想 logaNaN证明： 则化为对数式为设,aalogxNNxaaloglog,Nx 所以0)(Naalog NN即0)(
9、N 口答下列式子的值： 1ln) 1 (5 . 0log)2(5 . 03log22)3(1log)4(5 . 310lg)5() 10( ,)6(7logaaaa且对数的基本性质对数的基本性质1.负数负数和和零零没有对数没有对数；2.“1”的对数等于的对数等于零零,即即loga1= 03.底数的对数等于底数的对数等于“1”,即即logaa=14. logaNaN).0(N 对数性质的应用对数性质的应用（1）求）求x的值：的值：0)(lnlog2x（2）化简求值：）化简求值：5log177, 1ln,x. ex .3557775log7变式练习变式练习：（2）化简求值：）化简求值：1)(lgl
10、og3x2log233（1）求）求x的值：的值： 本节内容回顾引入 2x=64ab=N,b=?b叫以a为底N的对数 23=8,32=9-b=logaN对数对数比较ab=N,a=,b=logaNlgN,lnN的意义例1，例2感受二者互化 求对数值，发现性质并证明对数性质的应用，例31. Nab), 0, 10(RbNaa 且2、对数的性质：、对数的性质：3、常用对数、常用对数 和自然对数和自然对数Nlg.lnN.logbNa 4、体会、体会“归纳猜想证明归纳猜想证明”的研究方法。的研究方法。( (1 1) ). .负数负数和和零零没有对数没有对数；(2).“1”的对数等于的对数等于零零,即即loga1= 0(3).底数的对数等于底数的对数等于“1”,即即logaa=1logaNaN).0(N