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1、离散数学数学与信息科学学院有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。v第一部分 数理逻辑v第二部分 集合论v第三部分 图论v第四部分 抽象代数离散数学有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。第一部分 数理逻辑数理逻辑是用数学方法研究推理中前提和结论之间的形式关系的学科。推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体事物进行抽象的形式研究的方法。有利于学习
2、和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。v第一章 命题逻辑v第二章 一阶谓词逻辑第一部分 数理逻辑有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。v1.1 命题和命题联结词v1.2 命题公式及其赋值v1.3 等值演算与联结词完备集v1.4 析取范式与合取范式v1.5 推理的形式结构v1.6 自然推理系统P第一章 命题逻辑有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中
3、心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1. 命题：能判断真假的陈述句。包含两层意思：（1）必须是陈述句。 （2）能够确定（分辨）其真值。不等式等式自然语言中的陈述句万根。如：张校长的头发有一。是否知道真假是不同的注意：能否分辨真假与 1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。）我正在说谎。）啊，我的天哪！）我们要努力学习。）你喜欢数学吗？。）三角形的内角和等于87658014）火星上有生命。）面积大。）海洋的面积比陆地的例：3962211.1 命题和命题联结词
4、有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2. 命题的真值：判断结果表示。或一般用命题,:iiqprqp注意：此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学概念来处理。假命题假真命题真真值：真用T或1表示，假用F或0表示。3.命题和真值的符号化1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.1 命题和命题联结词火星上有生命。积大。海洋的面积比陆地的面例：:962:rqp）我正
5、在说谎。）啊，我的天哪！）我们要努力学习。）你喜欢数学吗？。三角形的内角和等于8765801:s）火星上有生命。）面积大。）海洋的面积比陆地的例：396221）我正在说谎。）啊，我的天哪！）我们要努力学习。）你喜欢数学吗？。）三角形的内角和等于87658014有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。原子命题：不能被分解为更简单的陈述句复合命题：原子命题通过联结词联结而成例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。p：2是有理数，q：
6、2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。4、命题联结词”。读作“非的否命题，记作称作复合命题，没有”等否定词组成的和“非”、“不”、“用命题否定词pppp,).1不是质数。：是质数。如：的逻辑抽象。、“不”和“没有”等是自然语言中的“非”44:ppp pTFFT1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作
7、环境。”。合取”或“与读作“组成的复合命题，记作和、是命题，由、合取词qpqpqpqpqp,).2一面”等的逻辑抽象。、“一面但是”而且”、“虽然”、“不但又“既”、是自然语言中的“并且pqp qFFFFTFTFFTTT：王化的品德很好。：王化的成绩很好。qp王化不但成绩好而且品德好。pq：1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。”。或读作“组成的复合命题记作和、命题析取词qpqpqp,).3的逻辑抽象。、“或者”中的可兼或是自然语言中的“或”pqp qFFFFTTTF
8、TTTT：灯泡坏了。：开关坏了。qp1.1 命题和命题联结词开关坏了或灯泡坏了。pq：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例：1.张晓婧爱唱歌或爱听音乐。 2.张晓婧是内蒙人或是陕西人。 3.张晓婧只能挑选202或203房间。1.1 命题和命题联结词注意：当排斥或两边的情况实际根本不可能同时发生的时候，排斥或也可抽象为。但为了方便起见一般不这样抽象。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。
9、称作后件（结论）。，”。称为前件（前提）条件或“”则读作“如果组成的复合命题记作和、由命题蕴涵词qqpqppqp,q).4的逻辑抽象。”，则”，“若，则是自然语言中的“如果pqp qFFTFTTTFFTTT有位父亲对儿子说：“如果我去书店，就一定给你买电脑报“。问：在什么情况下，父亲算失信呢？1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。注意：“只要p，就q，因为p，所以q”，“p仅当q”，只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可抽象为pq。p，q可以没有任何
10、内在联系。例：1.如果336，那么雪是白的。2.除非我能工作完成了，我才去看电影。3.只要天下雨，我就回家。4.我回家仅当天下雨。pq的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。的逻辑抽象。条件”，“当且仅当”是自然语言中的“充要”。当且仅当读作“组成的复合命题记作和、由命题等价词qp,).5qpqppqp qFFTFTFTFFTTT1.1 命题和命题联结词p q的逻辑关系为p与q互为充要条件例：1.3是有理数当且仅当加拿大位
11、于亚洲。2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，反之亦然。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。6.q异或联结词指的是排斥或，当且仅当p、q的真值相异时，p为真。pqp qFFFFTTTFTTTF)()()2(qp1qpqpqppq等价于等价于）（有如下性质：由定义知1.1 命题和命题联结词例：今天第一节课上离散数学或数据结构。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。左往右的次序运算。）同级的
12、联结词，按从（省略不必要的括号。）按优先级书写，可以（。，）由强到弱依次是：（联结词的优先次序：32,1例：p：北京比天津人口多 q：224 r：乌鸦是黑色的pqpqrrqqp)2(1）（求以下命题的真值1.1 命题和命题联结词有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。5、语句形式化）选择命题联结词。（命题）；）确定原子命题（简单（形式化的步骤：211.1 命题和命题联结词例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。p：2是有理数，q
13、：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。p不对；q且r；r或t；如果r，则s；r当且仅当s。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。跳墙。中的联结词，如：狗急）要善于识别自然语言（，如：我和他是同学。）给定句子是否是命题（注意：21去郊游，否则就不去。如果明天天气好，我们表。选小陈或小周一人为代践经验。他虽有理论知识但无实。么你一定会成为近视眼如果你走路时看书，那自讨没趣。，那么你们俩都不会去如果你和他不都是傻子例. 5. 4. 3. 2. 11.1 命题和命题联结词有利于学习和
14、创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。命题常元：表示具体确定内容的命题。命题变元：表示不确定具体内容的命题。题公式。）得到的符号串都是命）、（）有限次的使用（也是命题公式；是命题公式，则、）若（公式；公式，称其为原子命题）单个命题变元是命题（命题公式的递归定义：定义213,qp,q21.1qpqpqpqppp1.2 命题公式及其赋值有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。rpprqppqpqrrqqp)
15、5()4()3()2(1 ）例（1.2 命题公式及其赋值同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。层公式，是，则公式或或或或层公式，且，分别是，）若公式（层公式；是，则层公式且是）若公式（层公式；其为为单个命题变元，则称）公式（命题公式的层次：定义),max(1nACBACBACBACBACBAjiCB31nABAnB20A1. 2jin 1.2 命题公式及其赋值pqpqrrqp)2(1 ）例（有利于学习和创新的组织管
16、理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.2 命题公式及其赋值rqp )(是有理数：是偶数，：是素数，：232rqp是无理数：是偶数，：是素数，：232rqp称为成假赋值。的成真赋值，否则，则称其为的真值为若指定的一组值使的一组赋值或解释。对一组确定的取值，称为给的命题公式，为含有命题变元设定义A1Ap,p,.32121AppppAnn有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。的真值表。称为情况列成表，在其全部赋值下
17、的真值将公式定义AA. 41.2 命题公式及其赋值1n1)1223FnFnnnn真值表的构造步骤：（ ）若公式共有（个变元，则真值表第一行写出个变元，公式F写在第列。（ ）写出 个变元的所有可能取值（种）,按从低到高的顺序写出公式的各层次。（ ）在不同赋值下求出各层次的真值及的真值。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。为可满足式。的值为真，则称）若至少有一组赋值使为永假式；为假，则称在所有赋值下的取值均）若为永真式；为真，则称在所有赋值下的取值均若，公式定义AA3AA2AA) 1. 5A1
18、.2 命题公式及其赋值pqpqrrqp)2(1 ）例（有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。也是重言式。为重言式，则和若定理BABABA,. 11.2 命题公式及其赋值有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.,ABABA BAB定义 设 和 是两个命题公式，若为重言式，则称公式是等值的公式，记作。1.p)();.qqpppp 例 证明（.qpq注意：和的区别是公式间的关系符号，如：p是命
19、题联结词1.3 命题公式的等值式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 , ABAB ABBAABCABC ABCABCABCABACABCABAC交换律：结合律：分配律：)(),(),()pqpqpqrpqrpqr 例： （与基本等值式（基本等值式（A，B，C为任意命题公式）为任意命题公式）1.3 命题公式的等值式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。0,110A,1, ,1.11,00
20、(),AA AAAAAAAAAA AAA AAAAAAAA AAAAABA AABAABABABAB 同一律：互补律：，重补律：等幂律：零一律：A吸收律：德摩根律：1.3 命题公式的等值式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。, BABABBABABBAABABBAABABABABAB 蕴含等值式：A假言易位：等价等值式：A等价否定等值式：归谬论：(AB) (AB)A因A，B，C可以代入任意的命题公式，故以上等值式称为等值式模式。由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。1.3 命
21、题公式的等值式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。( )( )( ) ABA(B)(A)AABBA 置换规则：设是含公式 的命题公式，是用公式 置换了中所有的 后得到的命题公式。若，则等值演算的应用： 1.验证等值式 2.判定公式的类型 3.解决工作生活中的判断问题 2.qpqqp 例 等值等价式p1.3 命题公式的等值式()()()pqprpqr(), (),()pqpqppqr ppqpq甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不
22、是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人结果3人中有一人全对，一人对一半，一人全错。问王教授是哪人？有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。联结词的完备集.0,10,1n.nF定义称 ：为 元真值函数0,10 1nn中的元素为由 ， 组成的长为 的符号串n个命题变元可以形成22n个不同的真值函数对于每个真值函数，都可以找到许多与之等值的命题公式，而每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。定义.设S是一个联结词集合，如果任何n（n1）元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的
23、公式表示，则 称S是联结词完备集。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。. , , ThS 是联结词完备集.345S , , , , , ,SSS 12推论：以下联结词集都是完备集 , , ,S.,p qpq定义 设为两个命题，复合命题“ 与（或） 的否定式”称作p,q的与（或）非式，记作pq(pq). , Th 也是联结词完备集.联结词的完备集有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.4
24、 析取范式与合取范式定义：命题变元及其否定统称为文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单（质）析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单（质）合取式。,pp pq pq例：注意：单个文字既是简单析取式又是简单合取式。讨论：设A为含n个文字的简单析取式 若A中同时含pi和pi，则？若A为永真式，则？有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。若A为永真式，则A中必同时含有pi和pi，反之亦然。同理有，若A为简单合取式，A为永假式的充要条件是A中同时含有pi和pi。定理1. 一个简单析取式是重言式
25、当且仅当它同时含有某 个命题变元及其他的否定。 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某 个命题变元及其他的否定。1.4 析取范式与合取范式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。定义：由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。 由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。 析取范式与合取范式称为范式。,()()pp pq pqpqpq 例：注意：单个文字、简单析取式、简单合取式都既是析取范 式又是合取范式。1.4 析取范式与合取范式定理2. 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合 取
26、式为矛盾式。 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析 取式为重言式。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。定理3.任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。范式的求法：消去公式中的蕴涵、等价和异或联结词 使用双重否定律和德摩根律，将公式中出现 的否定 词移到命题变元之前。 利用分配律、结合律将公式化为合（析）取 范式。,()rpqrp例：(pq)范式形式不唯一。1.4 析取范式与合取范式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的
27、企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。定义：在含有n个命题变元的简单合（析）取式中，若每个 命题变元和 它的否定式不同时出现，而二者之一必 出现且仅出现一次，且第 i个命题变元或它的否定是 出现在从左算起的第i位上（字典序），称这样的简 单合（析）取式为极小（大）项。,()pqpq pq pqpq 例：性质：n个变元可以形成2n个极小（大）项； 每个极小（大）项有且仅有一个成真（假）赋值； 每组赋值下仅有一个极小（大）项为真（假）； 所有极小（大）项的析（合）取为真（假）；1.4 析取范式与合取范式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求
28、为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。将极小项的成真赋值对应的二进制数转化为十进制数为i，将对应的极小项记为mi。将极大项的成假赋值对应的二进制数转化为十进制数为i，将对应的极大项记为Mi。定义：设由n个命题变元构成的析（合）取范式中所有的简 单合（析）取式都是极小（大）项，则称该析取范 式为主析（合）取范式。1.4 析取范式与合取范式定理.任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范 式，并且是唯一的。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.4 析取范式与合取范式公式
29、法：求析取范式 用同一律补进未出现的命题变元 消去永假或重复出现的变元和极小项 将极小项按下标从小到大排列真值表法：列出公式及各极小项的真值表，将每组赋值下 公式及极小项真值都为真的极小项进行析取。主析取范式的求法：1.公式法2.真值表法有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.4 析取范式与合取范式应用：1.求公式的成真、成假赋值 成真赋值为析取范式中所含极小项的编码的二进制数 成假赋值为合取范式中所含极大项的编码的二进制数12i, m;iiiiMp pMMmin定理.设m 与是,p 形成
30、的极小项、极大项，则，由主析取范式可以直接求主合取范式： 1求出主析取范式中未包含的极小项 2求出与1中求出的极小项下标相同的极大项 3做2中极大项之合取有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.4 析取范式与合取范式3.判断两公式是否等值 若A，B共含有n个命题变元，按n个命题变元求出A与B的主析取范式A、B，若AB，则AB.2.判断公式的类型 设A含有n个命题变元A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项； A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此 时记为0；A为可满足
31、式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例：要在A，B，C中挑选2名出国进修，选派时满足下列条件： 若A去，则C同去 若B去，则C不能去 若C不去，则A或B可以去问有几种选派方案，分别是什么？4.解决实际问题1.4 析取范式与合取范式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。222222, ,A AA BA AA BAAAAAABA AABA AAB1
32、k1k1k1k1k1k定义.设,都是公式，若，的任意 一组赋值，或者为假，或者和 同为真，则称由前提，推出 的推理 是有效的或正确的，称，为前提集合为 有效结论.1.5推理的形式结构注意：推理正确实际是排除前提真结论假的情况推理是否正确与前提的排列顺序无关推理正确并不能保证B一定为真有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。12)kAAAB若推理正确，则记作(1212.,BBkkAAAAAA定 理 公 式推的 推 理 正 确 当 且 仅 当 （）为 永 真 式 。1.5推理的形式结构212,B
33、kA AABAAA1k由，推 ，记作（）推理的形式结构有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1212,kkAAABAAAB用（）作为推理的形式结构，证明时要先写成前提：,结论：12)kAAAB论证推理是否正确，就是判断(是否为永真式真值表法方法有等值演算法主范式法1.5推理的形式结构有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例：若下午温度超过30度，则王晓燕必去游泳。若她去游 泳，她就不会去看
34、电影。所以若王晓燕没去看电影， 下午温度必超过了30度。p：温度超过30度q：王晓燕去游泳r：王晓燕去看电影,pq qrrp 前提：结论：1.5推理的形式结构有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。,()() AABABAABABABBAABBAABBCACABBCACABCDACBDABABAABABCDBDAC 附加律：化简律：假言推理：拒取式：析取三段论：假言三段论：等价三段论：构造性二难：破坏性二难：1.5推理的形式结构有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场
35、为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。注意：以上都是蕴含式模式若某推理的形式结构与某定律一致，则推理正确成立的等值式可产生两条定律推理定律可产生相应的推理规则1.5推理的形式结构有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.6自然推理系统P定义.一个形式系统I由以下4部分组成： 非空的字母表，记作A(I) A(I)中符号构成的合式公式集，记作E(I) E(I)中特殊的公式组成的公理集，记作Ax(I) 推理规则集，记作R(I)自 然 推 理 系 统形 式 系
36、统公 理 推 理 系 统任给的前提，应用规则得到结论（可能真）任给的公理，应用规则得到结论（永真）有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。P, , , ,2.1.63.1(P)iiip q rp q r 定义.自然推理系统或1.字母表， ， ，（）和，合式公式定义中所定义的所有命题公式推理规则（）前提引入规则：证明的任何步骤上都可以引入前提1.6自然推理系统P有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作
37、环境。(2)结论引入(T)规则：证明的任何步骤上所得的结论都可作为 后继证明的前提（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都 可以用与之等值的公式置换ABABABAB(4)假言推理规则：若序列中已出现和 ，则可将 引入序列中(5)附加规则;（6）化简规则;（7）拒取式（8）假言三段论规则;（9）析取三段论规则（10)构造性二难规则;（11）破坏性二难规则（12）合取引入规则：若序列中出现了和 ，则可将引入序列中1.6自然推理系统P有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。,()pq
38、 qr pssrpq例：前提： 结论：例：若小王是理科生，则他的数学成绩一定很好。如果 小王不是理科生，他一定是文科生。小王的数学成绩 不好。所以小王是文科生。p：小王是理科生q：小王是文科生r：小王的数学成绩很好,prpqrq前提：结论：1.6自然推理系统P有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。12121.()()()kkAAAABAAAAB附加前提证明法若推理形式为，则可转换为例：如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵 不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以， 当小赵去看电
39、影时，小李也去。p：小张去看电影q：小王去看电影r：小李去看电影s：小赵去看电影(),pqrsp qsr 前提：结论：1.6自然推理系统P有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1212()()()kkAAABAAAB 2.归谬法将结论的否定作为前提引入，能推出矛盾来，则推理正确例：如果马会飞或羊不吃草，则母鸡就会是飞鸟。如果母 鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑。烤熟的鸭子不会 跑。所以羊吃草。p：马会飞q：羊吃草r：母鸡是飞鸟s：烤熟的鸭子会跑(),pqr rssq 前提：结论：1.6自然推理
40、系统P有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。所有的人总是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。p:q:r:, p qr前提：结论：()pqr推理形式：第二章 谓词逻辑有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。第二章 谓词逻辑v2.1一阶逻辑命题符号化v2.2一阶逻辑公式及解释v2.3一阶逻辑等值式与置换规则v2.4一阶逻辑前束范式v2.5一阶逻辑的推理理论有利于学习和创新的组织管理机制，
41、创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2.1一阶逻辑命题符号化个体常项个体变项, , ,iiia b ca b c用表示, ,iiix y zxyz用表示1.个体词所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体（事物）表示具体的或特定的客体表示抽象或泛指的客体个体变项的取值范围称为个体域，用D表示宇宙间一切事物组成的称为全总个体域1,2,3,N R有穷，无穷，有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。谓词常项：具体性质或关系的
42、词谓词变项：抽象或泛指的性质或关系的词2.谓词用来刻划个体词性质及个体词之间相互关系的词,iiiF G HF GH用,表示2是有理数x是无理数小王与小李同岁x与y具有关系L是有理数是无理数与同岁与具有关系LF：G：H：L：2.1一阶逻辑命题符号化有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。3.量词：个体词之间的数量关系（1）全称量词 “一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都” 记作(2) 存在量词 “存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”记作4.符号化 确定个体域确定个体
43、词、量词和谓词确定联结词2.1一阶逻辑命题符号化有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例：所有的人都是要死的。 有的人用左手写字。注意：全称量词的特性谓词必须作为蕴涵式的前件引入存在量词的特性谓词必须作为合取式的合取项引入同一命题，不同的个体域符号化的形式可能不同未指明个体域即为全总个体域2.1一阶逻辑命题符号化有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例：在美国留学的学生未必都是亚洲人。 有
44、的兔子比所有的乌龟跑的快。 对任意的整数x，都存在整数y使得xy10。注意：多个量词出现时，顺序一般不能随便换有些命题符号化形式不唯一2.1一阶逻辑命题符号化有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2.2一阶逻辑公式及解释.F(1), , ,(2), , , , ,(7) ( ),iiiiiiiiiiiia b ca b cx y zx y zf g hf g hF G HF G H 定义一阶语言 的字母表个体常项：，个体变项：，(3)函数符号：，(4)谓词符号：，(5)量词符号： ，(6)联
45、结词: , , ,和有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。121212(,)n, , ,n( , ,)(3)(1)(2)nnnx xxt ttt tt定义.一阶语言的项的定义(1)个体常项和个体变项是项；(2)若,是任意的 元函数, 是一阶语言的任意 个项，则,是项；所有的项都是有限次使用得到的。121212.( ,)n, , ,n( , ,)nnnR x xxt ttR t tt定义设，是一阶语言的任意 元谓词, 是一阶语言的任意 个项，则称，是 一阶语言的原子公式。2.2一阶逻辑公式及解
46、释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。.(1)(2)()(3),(4),(5)AAA BAB AB AB ABAxAxA定义一阶语言的合式公式的定义原子公式是合式公式；若 是合式公式，则也是合式公式；若是合式公式，则也是合式公式；若 是合式公式，则也是合式公式；只有有限次地应用(1)(4)构成的符号串才是合式公式。合式公式也称谓词公式，简称公式2.2一阶逻辑公式及解释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相
47、互信任的合作环境。.,xAxAxxAxAxA定义在公式中，称 为指导变元，A为相应量词的辖域。在的辖域中， 的所有出现称为约束出现， 中不是约束出现的变元均称为自由出现。( ( , )( , ) ( ( )( )( )( , , )x F x yG x zx F xG yy H xL x y z 例：.AAA定义设 是任意的公式，若 中不含自由出现的个体变项，则称 为封闭的公式，简称闭式。2.2一阶逻辑公式及解释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。( ( )( ) ( ( )( )( ,
48、)( ( , ), ( , )x F xG xx y F xF yG x yH f x y g x y 例：12.I(1)(2) ,(3)| ,1(4)| ,1.IIinIinIiDDa aaDfi nDFi n定义一阶语言的解释 由以下部分组成非空个体域；中一些特殊元素的集合, ；上特定函数集合；上特定谓词集合2.2一阶逻辑公式及解释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。I(1)(2)(3)(4).IinniinniiDaffFF对 的说明：公式中的个体变项均取值于；若含个体变项就解释为
49、；若含函数就解释为 ；若含谓词就解释为2.2一阶逻辑公式及解释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。I(1) D=N=0,1,2, (2) 0(3) ( , ), ( , )(4) ( , )af x yxy g x yxyF x yxy例：解释 ：为(1)( ,),( ,)(2)( ,), )(3)( ,), )( ,)Ff x yg x yxF g x axxF g x axF x y定理.闭式在任何解释下都变成命题。2.2一阶逻辑公式及解释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的
50、创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。.AAAAAAA定义设 为公式 若 在任何解释下均为真，则称 为永真式(逻辑有效式). 若 在任何解释下均为假，则称 为永假式(矛盾式). 若至少有一个解释使 为真，则称 为可满足式。0121200., n(1),nniiAp ppA AAAinApAA 定义设是含命题变项， 的命题公式，是个谓词公式，用处处代替 中的所得公式 为 的代换实例。2.2一阶逻辑公式及解释有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合