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1、习 题 4.11求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）;解: 方阵的特征多项式为,方阵的特征值为.解方程组.由,得基础解系，.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不同时为零).（2）.解: 方阵的特征多项式为,方阵的特征值为,.当时,解方程组.由,得基础解系.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).当时,解方程组.由,得基础解系.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).当时,解方程组.由,得基础解系.因此,方阵对应于的全部特征向量为(不为零).2设,为的特征值.证明为的特征值.证明: 存在非零向量,使.于是,.因此,为的特征值.3已知3阶矩阵的特征值为,求.解: 记,则的特征值为,.于是.
2、4设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明（1）为的特征值;（2）为的特征值.证明: (1) 存在非零向量,使.于是,因此,为的特征值.(2) 因,而为的特征值,所以由题2知为的特征值.5已知3阶矩阵的特征值为,求.解: 因矩阵的特征值为,所以,.记,则的特征值为,.于是.6设有四阶方阵满足条件,求方阵的伴随矩阵的一个特征值.解: 因,故,可知的一个特征值为.由,得.因,所以.于是的一个特征值为.7已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量.试求常数.解: 存在的特征值,使得.故有,即得.解此方程,求得或.8设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.解: 方阵的特征多项式为,方阵的特征值为,.因有三个线性无
3、关的特征向量,所以的几何重数等于代数重数,也即.因此.而.当且仅当时,有三个线性无关的特征向量.9设矩阵可相似对角化,求.解: 方阵的特征多项式为,方阵的特征值为,.因可相似对角化,所以的几何重数等于代数重数,即,.而.当且仅当时,可相似对角化.10设三阶方阵的特征值为,对应的特征向量依次为,求.解: 记,则有.因此,.注意是初等矩阵,知.于是.11已知矩阵与相似.（1）求和;（2）求一个满足的可逆矩阵.解: (1) 因矩阵与对角矩阵相似,故知矩阵的特征值为.由特征值的性质,我们有,.于是得方程组.求得.(2) 当时,解方程组.由,得基础解系.当时,解方程组.由,得基础解系.当时,解方程组.由
4、,得基础解系.所以,满足的一个可逆矩阵为.12设都是阶方阵,且,证明与相似.证明: 因,故可逆.因为,所以与相似.6似似所.故 似相证阵方都阵逆可满系解.系解础.组系解.程, 得程方,们,质特.特矩知阵角矩)(阵矩足一求和和似似矩已于知阵,因有记求,次量特应值的方化化可时,数代重的以对,式式的求化对阵量征特线有,.因.数数数几所向关线,征式式的件件应,向的线三或求即有得,的存数求.征阵的量向为值一于,.值个可,值值个随阵求件条方于,值征,所为征阵求,特的知值特为 ,的而 值的于使,非 值特值征证,个的可于,值特则求,征矩 值征于使向在存值明.值为)为不量特的方解.组)为(向特的对解.)为(量全于阵解.组,为特式多的）)为量向全的阵，解.组程为征式多的）量向特的列. 向的征组解阵量)特组解于(.的(.的量为值在向值矩则值于证值 ,于的 为知阵征,于条个,值,值的征存的求三向件式线所数因,征阵的,对的,可的特,求阵知似求一)矩特特,得,.础系解可方证故所 6