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1、人教版八年级（下册）人教版八年级（下册）第十七章勾股定理第十七章勾股定理互逆命题互逆命题: 两个命题中两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的如果第一个命题的题设是第二个命题的结论结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么那么这两个命题叫做这两个命题叫做互逆命题互逆命题. 如果把其中一个叫做如果把其中一个叫做原命题原命题, 那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆逆命题命题. 互逆定理互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是那么它也是一个定理一个定理, 这两个定理叫做这两个定理叫做互
2、逆定理互逆定理, 其中一个叫做另一其中一个叫做另一个的个的逆定理逆定理.(1)两条直线平行，内错角相等两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等如果两个实数相等，那么它们的平方相等(3) 全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?逆命题逆命题: 内错角相等，两条直线平行内错角相等，两条直线平行. 逆命题逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 逆命题逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形对应角相等的两个三角形是全等三角形. 感
3、悟感悟: 原命题成立时原命题成立时, 逆命题有时成立逆命题有时成立, 有时不成立有时不成立试一试试一试一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它的逆命题却它的逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .虽然每个命题都有逆命题虽然每个命题都有逆命题, 但要注意但要注意, 因为一个真命题的因为一个真命题的逆命题不一定也是真命题逆命题不一定也是真命题, 所以并不是所有的定理都有所以并不是所有的定理都有逆定理逆定理.成立成立不成立不成立不成立不成立勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。等于斜边的平方。acbBCAacbBCA思考：思考：1.这个定理的题
4、设与这个定理的题设与结论是什么？结论是什么？2.你能写出它的逆命你能写出它的逆命题吗？题吗？它的逆命题是否正确？它的逆命题是否正确？如图：如图：a2+b2=c2或或BC2+AC2=AB2C=90勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直角三角形。且边c所对的角为直角。所对的角为直角。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆命题
5、勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 cabBCA已知：在已知：在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求证：求证： ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：画一个画一个ABC,使使 C=900,BC=a, CA=babABC C=900AB2= a2+b2 a2+b2=c2AB 2=c2AB =c边长取正值边长取正值 ABC ABC（SSS） C= CC= 900BC=BCCA=CAAB=ABcabBCAabB
6、CA已知已知:在在ABC中，中，AB=c，BC=a，CA=b ，且，且a2+b2=c2求证求证: ABC是直角三角形是直角三角形证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=900,BC=a, CA=b在在 ABC和和 ABC中中 ABC是直角三角形是直角三角形勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题其实不建议啥。勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直
7、角三角形。且边C年所对的角为直角。年所对的角为直角。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆命题逆定理逆定理定理定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。年所对的角为直角。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。年所对的角为直角。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c
8、满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直角三角形。且边c所对的角为直角。所对的角为直角。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是否为直角三角形：组成的三角形是否为直角三角形：(1) a15 , b 8 , c17例题解析例题解析(2) a13 , b 15 , c14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。解：解：1528222564289 17228915282
9、172这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形选择题：选择题： 1在已知下列三组长度的线段中，不能构在已知下列三组长度的线段中，不能构 成直角三角形的是成直角三角形的是 ( ) (A)5、12、13 (B)2、3、 (C)4、7、5 (D)1、 、 523C 2下列命题中，假命题是下列命题中，假命题是 ( )(A)三个角的度数之比为三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为三个角的度数之比为1 : : 2的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为三边长度之比为1 : : 2的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(
10、D)三边长度之比为三边长度之比为 : : 2的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 3322B 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ;3 像像25,20,15,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数
11、.已知已知ABC中，中，AC2 ，BC2 ， AB4 ， 求求AB上的高上的高CD的长的长. 622【分析分析】如果我们不能发现三边间的数量关系，求解就如果我们不能发现三边间的数量关系，求解就是十分困难的事但是如果发现三边的关系，应用勾股是十分困难的事但是如果发现三边的关系，应用勾股定理的逆定理问题就迎刃而解了。定理的逆定理问题就迎刃而解了。 2 6,2 2,4 2ACBCAB解解:ABC中中222(2 6)(2 2)24832(4 2)C=902 62 264 2AC BCCDABAD是是AB边上的高边上的高例2 .“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开号轮船同时离开港口，各自沿一固
12、定方向航行，港口，各自沿一固定方向航行，“远航远航”号号每小时航行每小时航行16海里，海里，“海天海天”号每小时航行号每小时航行12海里。它们离开港口海里。它们离开港口一个半小时一个半小时后相距后相距30海里。如果知道海里。如果知道“远航远航”号沿号沿东北方向东北方向航行，航行，能知道能知道“海天海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？PEQRN远航远航海天海天PEQRN远航远航海天海天解：根据题意得：解：根据题意得：PQ=161.5=24PR=121.5=18QR=30222241830222PQPRQRRPQ=90“远航远航”号沿号沿东北方向东北方向航行航行NPQ=45NPR=45“
13、海天海天”号沿号沿西北方向西北方向航行航行例例3 如果如果ABC的三边长分别为的三边长分别为 a,b,c,且且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数）是正整数）则则ABC是直角三角形是直角三角形 解：解：=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2ABC是直角三角形。是直角三角形。=(m2-n2)2+(2mn)222a mn22cmn2bmn(mn,m,n是正整数）是正整数）a2 +b2 试判断：三边长分别为试判断：三边长分别为2n22n，2n1，2n22n1(n 0)的三角形是否直角三角形的三角形是否直角三角形. 练习练习【分
14、析】先找到最大边，再验证三边是否符合勾【分析】先找到最大边，再验证三边是否符合勾股定理的逆定理股定理的逆定理. 【解【解】 2n22n12n22n 2n22n1 2n1 2n22n1为三角形中的最大边为三角形中的最大边.又又 (2n22n1)24 n48n38n24n1 (2n1)2(2n22n)24n48n38n24n1 (2n22n1)2(2n1)2(2n22n)2 此三角形为直角三角形此三角形为直角三角形.例例4：如果：如果ABC的三边分别为的三边分别为a、b、c且满足且满足 a2b2c2506a8b10c判定判定ABC的形状的形状. 解：解：a2b2c2506a8b10c2226981
15、610250aabbcc 2223450abc a3，b4, c=5222345ABC为直角三角形为直角三角形.2226810500aabbcc例例5 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中， B90， AB4，BC3，AD13，CD12.求：四边形求：四边形ABCD的面积的面积. 3 412 13 A B C D 解：在RtABC中，B90 AB4，BC322345AC 在ACD中，AC5，CD12，AD13 22251213ACD=90 S四边形ABCDSABCSACD36 13 462ABCS 15 12302ACDS 5例例6：边长为：边长为4的正方形的正方形ABCD中，中，F是是DC的中点，且的中点，且 CE= BC，则，则AFEF，试说明理由，试说明理由41ABDCFEABCD是正方形，边长是是正方形，边长是4，F是是DC的的中点，中点，EC=1/4BCAD=AB=4，DF=FC=2，EC=1,BE=3解：连接解：连接AE在在RtADF中中D=90 AD=4 DF=2 2224220AF在在RtECF中中C=90 CE=1 CF=2 222125EF在在RtABE中中B=90 BE=3 AB=4 2223425AEAE2=EF2+AF2 AFE=90即即AF EF