奈奎斯特稳定性判据ppt课件.ppt

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1、 自动控制理论 网址：Z1/285 5 频率响应法 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 对数频率特性（对数频率特性（BodeBode图）图） 5.3 5.3 幅相频率特性（幅相频率特性（NyquistNyquist图）图） 5.4 5.4 用频率法辨识系统的数学模型用频率法辨识系统的数学模型 5.5 5.5 频域稳定判据（奈奎斯特）频域稳定判据（奈奎斯特） 5.6 5.6 相对稳定性分析相对稳定性分析 5.7 5.7 频率性能指标与时域性能指标的关系频率性能指标与时域性能指标的关系 自动控制理论 网址：Z2/285.5 5.5 频域稳定判据频域稳定判据系统稳定

2、的充要条件系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能不能研究如何调整系统结构参数来研究如何调整系统结构参数来改善改善系统稳定性及性能系统稳定性及性能代数稳定判据代数稳定判据 RouthRouth判据判据 由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究可研究如何调整系统结构参数如何调整系统结构参数改善改善系统稳定性及性能问题系统稳定性及性能问题频域稳定判据频域稳定判据 NyquistNyquist 判据判据 对数稳定判据对数稳定判据 1.

3、 1. 辐角原理辐角原理1212( +)( +)()( )1( )( )( +)( +)( +)nnK S ZS ZSZF sG s H sS PS PS PjSjVU) s (F S S1 1代入代入F(S) F(S) 得得F(SF(S1 1) )，S S2 2代入代入F(S)F(S)得得F(SF(S2 2) )；S S沿沿ss连续变化一周连续变化一周( (不穿过不穿过F(S)F(S)的极点的极点) )，则，则F(S)F(S)沿封闭曲线沿封闭曲线F F连续变化一周。连续变化一周。FsF(s2)s1F(s1)S2SjjFImRe F(s1) 不包围不包围F(s)F(s)零点，当零点，当S S1

4、 1沿沿s s顺时针连续变化一周，顺时针连续变化一周，( (S S1 1+Z+Zi i) )不积累角度；不积累角度； s s包围一个包围一个F(s)F(s)的零点，当的零点，当S S1 1沿沿ss顺时针连续变化一周，顺时针连续变化一周，(S(S1 1+Z+Zi i) )的相角的相角积累积累2 2,或者说，或者说，F F顺时针绕顺时针绕F F平面零点一周；平面零点一周； s s包围包围 Z Z个个F(s)F(s)的零点，当的零点，当S S1 1沿沿ss顺时针连续变化一周，顺时针连续变化一周，( (S S1 1+Z+Zi i) ) 的相的相角积累角积累Z Z* *(2)(2)，或者说，或者说，F

5、F顺时针绕顺时针绕F F平面零点平面零点Z Z圈。圈。ImImReReF FF(S1 1)j j S SS S1 1z zi iS S1 1+ +z zi i映射到原点zi11( )(nnjijiF sSZSP（）1212()()()( )1( )( )()()()nnK SZSZSZF sG s H sSPSPSPP183P183P182 P182 例子例子 曲线曲线ss包围一个包围一个F(s)F(s)的极点，当的极点，当S S1 1沿沿ss顺时针连续变化一顺时针连续变化一周，因为周，因为P Pi i映射到映射到F(s)F(s)上是在无穷远，因此上是在无穷远，因此F F逆时针逆时针绕绕F F

6、平面零平面零点一周，点一周，( (S+PS+Pi i) )的相角积累是的相角积累是-2-2角度。角度。 幅角原理：幅角原理：设设F(s)F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若函数，若S S平面上任选一条封闭曲线平面上任选一条封闭曲线C Cs s以顺时针方向以顺时针方向包围包围F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，且使它不通过个极点，且使它不通过F(s)F(s)的奇点，则其在的奇点，则其在F(s)F(s)平平面上的映射曲线面上的映射曲线C CF F将围绕着坐标原点旋转将围绕着坐标原点旋转N N周，其中周，其中N=Z-PN=Z-P。

7、当当N0N0，表示曲线，表示曲线C CF F以顺时针方向旋转；以顺时针方向旋转； 当当N0N0)(Z0)； 如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)(Z=0)。PZ NF(s)F(s)位于位于右半右半平平面极点数面极点数( (开环不稳极点开环不稳极点) )F(s)F(s)的零点数的零点数( (闭环极点闭环极点) )由辐角由辐角原理确定原理确定包围整个右半平面的曲线映射在包围整个右半平面的曲线映射在F(s)F(s)平面上形状如何？平面上形状如何？ 顺时针包围整个右半平面曲线：顺时针包围整个右半平面曲线：S S从从0 0j jjj（正虚轴）

8、，（正虚轴），然后然后顺时针转过顺时针转过 到到 -j-j（负虚轴）（负虚轴）-j-j0 0。 ) s (G1) s (F S S从从0 0j jjj变化，变化，F(s)|F(s)|s=js=j =F(j=F(j )=1+G(j)=1+G(j ) )将奈氏曲线偏移一个单位；将奈氏曲线偏移一个单位； S S从从-j-j-j-j0 0变化，变化，F(s)|F(s)|s=-js=-j =F(-j=F(-j )=1+G(-j)=1+G(-j ) )，它与，它与F(jF(j ) )共轭。共轭。 S S从从jj-j-j变化时，变化时，G(jG(j )=G(-j)=G(-j )=0)=0，在，在F(jF(j

9、 )=1)=1点上点上; p184例例1 1：画出奈氏曲线如右图画出奈氏曲线如右图 由于由于F(s)=1+G(s),F(s)=1+G(s),所以映射对其所以映射对其原点的围绕等价于原点的围绕等价于G(s)G(s)对对G G平面上的平面上的（-1-1，j0j0）点的围绕，如图）点的围绕，如图) 1Tj)(1Tj)(1Tj (K)j (G321F(j)F(j)jjG(j)G(j)-j-jG(-j)G(-j)jjk kG(j)G(j)0 0-1-1jjS S-j-jjj0 0-j-j所以，该封闭曲线就是包围所以，该封闭曲线就是包围S S右半平面的封闭曲线在右半平面的封闭曲线在F(s)F(s)平面上的

10、映射，平面上的映射，另外，该封闭曲线另外，该封闭曲线“包围包围F(s)F(s)的原点的原点”= =“包围包围G(jG(j ) )平面的（平面的（-1-1，j0j0）点）点”。 幅角原理修改幅角原理修改为：奈氏曲线当为：奈氏曲线当 从从-0 0变化，变化，按顺时针方向按顺时针方向包包围（围（-1-1，j0j0）点的圈数）点的圈数等于等于F(s)F(s)的零点数目的零点数目Z Z与极点数目与极点数目P P之差，即之差，即N=Z-PN=Z-P。 在在G(jG(j ) )图中，曲线没有图中，曲线没有包围（包围（-1-1，j0j0）点，）点，N=0N=0，可知，可知F(s)F(s)的零、极的零、极点在右

11、半面上的个数相等。点在右半面上的个数相等。类似类似P186P186 奈奎斯特稳定性判据：奈奎斯特稳定性判据：当当 从从-到到+变化时，闭环系统的稳定性通过变化时，闭环系统的稳定性通过其开环频率响应其开环频率响应G(jG(j )H(j)H(j ) )曲线包围（曲线包围（-1-1，j0j0）点来判断。）点来判断。 若若P=0P=0（即系统开环稳定）时，则闭环系统稳定充要条件是（即系统开环稳定）时，则闭环系统稳定充要条件是G(jG(j )H(j)H(j ) )曲线不包围（曲线不包围（-1-1，j0j0）点。）点。 若若P0P0（即系统开环不稳定），则闭环系统稳定充要条件是（即系统开环不稳定），则闭环

12、系统稳定充要条件是G(jG(j )H(j)H(j ) )曲线按逆时针方向包围（曲线按逆时针方向包围（-1-1，j0j0）点旋转）点旋转P P圈。圈。jjG(j)G(j)-j-jG(-j)G(-j)jjk kG(j)G(j)0 0-1-1分析例分析例1 1系统的稳定性。系统的稳定性。解解 依题有依题有 0)0(KjG K( (稳定稳定) )1T)(1T)(1T()(321 sssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N000NPZ)(2大大K2N220NPZ( (不稳定不稳定) )类似类似P186P186221)(TKjG例例2 2：已知单位反馈系统开环传递函数：已知单位反馈系统开环传递函数

13、, ,分析系统稳定性。分析系统稳定性。解：依题有解：依题有180)0(KjGK( (不稳定不稳定) )1T)(sKsG900)( jG11K0N101NPZ12K1N011NPZ( (稳定稳定) )01T)(KssDP185P185Tarctan180)(0)1)(1 ()()(2121TTSTSTKSHSG，例例3 3：系统的开环传递函数如下：系统的开环传递函数如下P185P185试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解：依题有解：依题有0) 0(KjG() 0180G j 0N000NPZ( (稳定稳定) )这表示对于这表示对于K K、T T1 1和和T T2

14、 2的任意正值，该闭环系统总是稳定的。的任意正值，该闭环系统总是稳定的。 虚轴上有开环极点时，虚轴上有开环极点时，S S平面上做封闭曲线时平面上做封闭曲线时通过了极点通过了极点，因此应作修正：，因此应作修正：ReReImIm=0 0=0+0+ReReImImj=j=0 0j=jj=j0-0-X XS Sa aj=jj=j0+0+90-090)G(j000Sa再转到处转到的从，对应从虚轴上有开环极点时，虚轴上有开环极点时，S S平面上做一个小半圆平面上做一个小半圆C C2 2绕过原点。绕过原点。虚轴上有开环极点时的奈氏判据这个小半圆映射为无穷大的半圆。这个小半圆映射为无穷大的半圆。j变化，它的模

15、从| )G(j|000,1SaQ轴有奇点，则：在若jjHjG)()(mnSTSSKSHSGnllmii,)1 ()1 ()()(11代入上式得令部分上,在。)0(2jeSCjseKSHSG00lim)()(lim1)1 ，C C2 2部分在部分在GHGH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆。平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆。C C2 2部分在部分在GHGH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的圆。平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的圆。2)2 ，p18700)1 (TKTSSKGH， 图5-47 例4奈氏图例例4 4：一反馈控制系统的开环传递函数为：一反馈控制系统的开环传递函数为p1

16、88解：依题有解：依题有0)0( jG( (稳定稳定) )1800)( jG0N000NPZ( 0 )90G j 例例5 5：已知一系统的开环传递函数为：已知一系统的开环传递函数为00)1 (2TKTSSKGH，解：依题有解：依题有0)0( jG( (不稳定不稳定) )2700)( jG2N220NPZ( 0 )180G j p188例例6 6：已知一系统的开环传递函数为：已知一系统的开环传递函数为解：依题有解：依题有0)0( jG1800)( jG( 0 )180G j ) 1() 1(122STSSTKGH性的影响。的相对大小对系统稳定和T分析T2112arctanarctanTT2121

17、21) c)b)aTTTTTTp189212121) c)b)aTTTTTT121)000TTZNP，；闭环系统稳定；，不稳定有一对虚根，闭环系统点，说明闭环系统曲线穿过)0, 1()()()221jjHjGTT123)202TTZNP， 说明闭环系统有两个极点 在S平面的右方，故闭环系统不稳定。例例7 7：已知单位反馈系统开环传递函数：已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性。分析系统稳定性。解：依题有解：依题有0)0( jG K( (稳定稳定) )1T)(1T()(21 sssKsG2700)( jG)(1小小K0 N000NPZ)(2大大K2N220NPZ( (不稳定不稳定) )

18、( 0 )90G j 自动控制理论 网址：Z21/285.5 5.5 奈氏判据的应用奈氏判据的应用 扩展扩展例例8 8：已知单位反馈系统开环传递函数：已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性。分析系统稳定性。解：依题有解：依题有 0)0( jG K( (稳定稳定) )1T)(1T()1()(212 ssssKsG 2700)( jG)(1小K0N000NPZ)(2大K2N220NPZ( (不稳定不稳定) )( 0 )180G j 21TT 自动控制理论 网址：Z22/285.5.3 5.5.3 奈氏判据与对数稳定判据奈氏判据与对数稳定判据 1)GH1)GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图

19、上平面上单位圆的圆周与对数坐标图上0dB0dB线相对应，单线相对应，单位圆的外部对应于位圆的外部对应于 dBdB，单位圆的内部对应于，单位圆的内部对应于 dBdB；0)( L0)( L 由于开环对数频率特性的绘制较其奈氏图的绘制更为简单、由于开环对数频率特性的绘制较其奈氏图的绘制更为简单、方便，方便， 开环对数频率特性是否也适用开环对数频率特性是否也适用奈奈氏稳定判据氏稳定判据? ? 开环系统的奈氏图与相应的对数坐标图之间有下列对应关系：开环系统的奈氏图与相应的对数坐标图之间有下列对应关系：180 2)2)平面上的负实轴与对数坐标图上的平面上的负实轴与对数坐标图上的 线相对应。线相对应。如果如

20、果 曲线以逆时针方向包围曲线以逆时针方向包围(-1,j0)(-1,j0)点一周，则此曲线必然由上向下点一周，则此曲线必然由上向下穿越负实轴的穿越负实轴的 线段一次。由于这线段一次。由于这种穿越使相角增大，故称为正穿越。反种穿越使相角增大，故称为正穿越。反之，若之，若 曲线按顺时针方向包曲线按顺时针方向包围围(-1,j0)(-1,j0)点一周，则此曲线将点一周，则此曲线将由下向上由下向上穿越负实轴的穿越负实轴的 线段一次。由于这线段一次。由于这种穿越使相角减小，故称为种穿越使相角减小，故称为负穿越负穿越。 )()( jHjG),(1)()( jHjG),(1 图图5-525-52所示为正负穿越数

21、各一次的图形。显然对应于图所示为正负穿越数各一次的图形。显然对应于图5-525-52上的正负上的正负穿越在伯德图上表现为在穿越在伯德图上表现为在 的频域内，当的频域内，当 增加时，相频曲线增加时，相频曲线由下而上由下而上( (负穿越负穿越) )和由上而下和由上而下( (正穿越正穿越) )穿过穿过 线各一次。线各一次。dBL0)( )( 180应用上式可以根据开环对数频率特性曲线判别相应闭环系统的稳定性。应用上式可以根据开环对数频率特性曲线判别相应闭环系统的稳定性。 不难看出当不难看出当 由由 变化时，变化时，奈氏曲线奈氏曲线 对于对于(-1,j0)(-1,j0)点围绕的点围绕的周数周数N N与

22、其相频特性曲线与其相频特性曲线 在对数坐标在对数坐标图上的负、正穿越数之差相等，即有图上的负、正穿越数之差相等，即有 0)()( jHjG)( )(NNN2PZNN)(2式中，式中， 为在为在 dBdB频率范围内的频率范围内的负穿越数；负穿越数； 为在为在 dBdB频率范围频率范围内的正穿越数。这样上式便可改写为内的正穿越数。这样上式便可改写为N0)( LN0)( L)L(Bode图L()=0)H(jG(jBodeBode图实轴增益为图实轴增益为零，对应奈氏曲线零，对应奈氏曲线是单位圆是单位圆ReIm-1F)L(Fc增益为零时的频率称增益为零时的频率称穿越（剪切）频率穿越（剪切）频率20lgK

23、g-1800相角相角=-180=-180时的频率称相角穿越频率时的频率称相角穿越频率gcK对应点对应点ReIm-1例例9 9：采用对数频率特性判别例：采用对数频率特性判别例3 3所示系统的稳定性。所示系统的稳定性。 解：解： 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 据此作出的开环对数频率特性如右图所示。据此作出的开环对数频率特性如右图所示。 212111TTsTsTKsHsG,)()()(p190p190 由于开环系统是稳定的由于开环系统是稳定的, ,即即P=0P=0，因而闭环系统稳定的充要条件是：在，因而闭环系统稳定的充要条件是：在 的频域内，相频特性的频域内，相频特性 不穿越不穿越 线，

24、或正、负穿越数之差线，或正、负穿越数之差为零。由图可见，在为零。由图可见，在 的频域内，的频域内， 总大于总大于 , ,故闭环系统故闭环系统是稳定的。是稳定的。BLd0)()( 180)( 180BLd0)(例例10:10: 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性。分析系统稳定性。NPZ K( (稳定稳定) )1T)(1T()(21 sssKsG1K00022）（）（NNN000NPZ2K20122）（）（NNN220NPZ( (不稳定不稳定) )）（NNN2 稳定判据稳定判据 自动控制理论 网址：Z28/28小小 结结注意问题注意问题Z闭环系统不稳定闭环系统不稳定0 0 0 闭环系统稳定闭环系统稳定有误！有误！2. N 2. N 的正负的正负1.1. 当当ss平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边 绕出半径为无穷小的圆弧；绕出半径为无穷小的圆弧；GG平面对应要补充大圆弧平面对应要补充大圆弧3. 3. 闭环系统超稳定？闭环系统超稳定？NPZ 自动控制理论 网址：Z29/28谢 谢