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1、重庆科技学院毕业设计（论文） 题 目 高精度数值积分公式的构造及其应用 学 院 专业班级 指导教师 职称 讲师 评阅教师 职称 年 月 日注 意 事 项 1.设计（论文）的内容包括： 1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
2、4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它学生毕业设计（论文）原创性声明 本人以信誉声明：所呈交的毕业设计（论文）是在导师的指导下进行的设计（研究
3、）工作及取得的成果，设计（论文）中引用他（她）人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得重庆科技学院或其它教育机构的学位或证书而使用其材料。与我一同工作的同志对本设计（研究）所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业设计（论文）作者（签字）： 年 月 日 摘要求解函数在区间上的定积分时，如果被积函数在区间上原函数很难用初等函数表达，我们就不能够借助牛顿-莱布尼兹公式来计算此定积分。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，显然其原函数没有意义，所以对这类函数的积分，也不能用经典的不定积分方法求解
4、。因此，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。本文首先总结了数值积分的基本思想和几类常用的数值积分方法，并且给出了数值积分稳定的一般性条件。接着，我们基于文献10提出了一个改进的三点高斯公式，通过理论分析，此公式具有7次代数精度。最后，利用一个数值算例验证了我们提出公式相比文献10的两点高斯公式无论是在代数精度还是在数值精度方面都有较大提高。并将该公式应用到2010年数学建模A题，取得了比较好的结果。关键词: 数值积分方法 三点高斯公式 代数精度I重庆科技学院本科生毕业设计 ABSTRACTABSTRACTIf the primitive function of integrand
5、 f(x) cannot be expressed by the elementary function in definite integral computation. We cannot calculate the definite integral by using Newton-Leibniz formula. In real world, integrand is often list function or other forms of discontinuous function in many practical problems. For this kind of func
6、tion of definite integral，its primary function is obviously unmeaningful; it cannot use the indefinite integral method to solve. Therefore, the theory and method of numerical integration is always the computational mathematics basic topic.This paper first summarizes the basic ideas of numerical inte
7、gration and some common numerical integration formates, in addition, represents the general stability condition of numerical integration. Next, we propose an improvement two-point gaussian formula based on the literature 10. It has seven-time algebraic precision essentially. Finally, the experimenta
8、l results are represented, which indicate that our numerical format is superior in algebraic precision and numerical precision compared to the three-point Gaussian formula in 10 and some of the other classical numerical format. and the formula is applied to the 2010 mathematical modeling problem A,
9、achieved good results.Keywords: Numerical integral method ；Three-point gauss formula ；Algebra precisionII重庆科技学院本科生毕业设计 目录目录摘要IABSTRACTII1绪论12数值积分的计算方法22.1 数值积分的基本思想与评价指标22.2 几种常用数值积分方法52.2.1 插值型求积公式52.2.2 Newton-Cotes公式62.2.3 复合求积公式82.2.4 逐次分半技术与Romberg公式92.2.5 Gauss型求积公式102.2.6 Gauss-Legendre求积公式13
10、2.2.7 Gauss-Chebyshev求积公式143改进三点Gauss公式163.1改进三点Gauss公式的介绍163.2 数值算例173.3 2010年数学建模A题求解184 结束语28参考文献29致谢30附录31重庆科技学院本科生毕业设计 1 绪论1绪论数值积分是求定积分的近似值的数值方法。即用被积函数的有限个抽样值的加权平均近似值代替定积分的值。数值积分是计算方法或数值分析课程中非常重要的教学内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法。我们知道计算定积分是采用牛顿莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：但由于其适用范围有限，不能普遍适用，因此有其局限性。所有说牛顿莱布尼兹
11、公式不是万能的，而数值积分公式却具备这种良好的性质。只要数值积分构造得当，就能很好的计算出某个定积分的近似值。以下罗列出牛顿莱布尼兹公式不适用的三种情况：(1) 的解析式没有给出，只给出了的一些离散点。(2) 的原函数不能用初等函数表示，如：。(3)原函数表达式相当复杂，计算十分不便。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如牛顿、欧拉、高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。数值积分还是微分方程数值解法的重要依据。许多重要公式都可以用数值积分方程导出。因此，数值积分的理论与方法还是其他学科的理论依据。由于数
12、值积分是求解定积分近似值的数值方法，所以它的意义在于能够求出定积分的近似值。而定积分又具有广泛应用，它几乎是所有课程的公共基础课。以下列举了它的一部分应用：1、 计算图形面积、曲线弧长、立体图像体积。2、 在力学中的应用，计算力做的功、位移、能量等作用。3、 在电学中的应用，计算场强、电势差、电压等作用。4、 利用定积分证明不等式。由于定积分的应用广泛，作用巨大，而高精度数值积分是计算定积分近似值的良好数值方法。由此可以看出构造高精度数值积分公式是十分必要的。由于高精度数值积分具有计算结果准确、代数精度高、使用方便、稳定性好等优点。因此，探讨高精度数值积分的构造及其应用具有明显的实际意义。37
13、重庆科技学院本科生毕业设计 2 数值积分的计算方法 2数值积分的计算方法2.1 数值积分的基本思想与评价指标对于数值积分法的思想来源于定积分的定义，即其中，一般的提法是:用在点处的函数值的线性组合作为积分的近似值，即 (2.1)并称此为数值求积公式，也称为机械求积公式。形如： 为求积公式(2.1)的余项或误差，及分别称为求积公式(2.1)的求积节点及求积系数，这里求积系数只与积分区间有关，而与无关。为保证机械求积公式的精度, 自然希望它对尽可能多的简单函数是准确成立的，如果要求它对一切不超过次多项式都准确成立, 而对次多项式不一定准确成立。则得到关于系数的阶线性方程组：由于系数行列式为范德蒙德
14、行列式,其值不为零,则解是唯一确定的。定义1 如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立，但对于次多项式不准确成立，则称该求积公式具有次代数精度。定理1 任意给定个节点，如果是次数不超过的多项式，那么一定存在常数，使求积公式(2.1)精确成立，即：.证明 设是关于节点的次Lagrange插值多项式, 即：其中是Lagrange基函数，是Lagrange插值余项。于是：不妨令： (2.2)则有：因为是次数不超过的多项式，所以，这意味着，于是，故：.这个定理告诉我们，具有一定代数精度的求积公式是存在的。定义2 如果属于区间，那么称：为插值型求积公式，其中求积系数由(2.2)决定。定理2
15、形如(2.1)的求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。证明 充分性上面已证. 现在来证必要性. 设求积公式为： (2.3) 的代数精度. 因为Lagrange基函数且有性质：所以故求积公式(2.3)是插值型求积公式。定义3在求积公式中，若：其中，则称求积公式(2.1)是收敛的。在求积公式(2.1)中，由于计算可能产生误差，实际得到，即。记：如果对任给小正数，只要误差充分小就有：它表明求积公式是稳定的，由此给出：定义4对任给，只要，就有：则称求积公式(2.1)是稳定的。定义表明只要计算被积函数的误差充分小，则 的误差限就可任意小，则求积公式(2.1)就是稳定的。定理3若求积公式的
16、系数，则求积公式是稳定的。证明对任给，若取，对(k=0,1,n)都要求，则有故求积公式是稳定的。证毕。数值积分就是将求积分转化为求，这样不管被积函数多么复杂，它都能在计算机上机械实现。把(2.1)式称为机械求积公式，为求积节点，为求积系数，建立求积公式有两种途径，一是利用的插值多项式积分得到，二是根据代数精确度概念，通过解方程得到及。特别当节点给定时，方程是(2.1)关于的线性方程组，它是容易求解的。求积公式收敛性简单的说就是当时，和式收敛于积分值。而稳定性是研究的误差积累，即当计算有误差时，只要误差充分小，则误差也任意小，这就是稳定的。定理3表明只要求积公式(2.1)的系数，则求积公式就是稳
17、定的。2.2 几种常用数值积分方法2.2.1 插值型求积公式在上,用以(k=0,1,n)为节点的次Lagrange插值多项式作为的逼近函数,即可得到插值型求积公式:即其中 这里插值型积分公式至少具有次代数精度,当时公式是稳定的，且求积系数由插值基函数积分得到，它与无关。如果求积公式中的系数由插值基函数积分给出，则称为插值求积公式。此时可由插值余项得到：称为插值求积公式余项，这里。当=1时， ，此时可得到：， 于是有：称为梯形公式。梯形公式的余项为：.梯形积分公式具有1次代数精度,且(k=0,1)，说明梯形公式是稳定的。根据参考文献18可知：若求积公式的代数精度为,则求积公式余项的表达式为：其中
18、为不依赖的待定参数，。2.2.2 Newton-Cotes公式设将积分区间划分为等分，步长,令，选取等距节点,则Lagrange插值基函数为：求积系数可表示为：令：称为Cotes系数，则求积公式可化为：那么牛顿-柯特斯公式可表示为： （2.4）若令,可得出. 记： （2.5）称(2.5)为Newton-Cotes公式的截断误差。Cotes系数与被积函数和积分区间都无关,只要给出区间等分数即可求出。下表2.1列出柯特斯系数表开头的一部分（具体程序见附件程序一）。表2.1 柯特斯系数 kn01234567812345678从表2.1中看到当时，柯特斯系数出现负值，于是有：特别地，假定，且，则有：它
19、表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故得牛顿-柯特斯公式是不可用的。定理4 当阶为偶数时,对应的Newton-Cotes求积公式（2.4）的代数精度至少有。证明 我们只要验证，当为偶数时，牛顿-柯特斯公式对的余项为零即可。由余项公式（2.5），由于这里从而有引进变换，并注意到，有：若为偶数，则为整数，再令，进一步有：据此可以断定，因为被积函数是个奇函数。证毕。下面我们给出一些常见的Newton-Cotes公式及其余项:1、令, 即得梯形公式 .当时,.2、令, 即得Simpson公式.当时,3、令, 即得Cotes公式.当 时，.2.2.3 复合求积公式由定积分知识,定积分
20、只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge现象。如时,Newton-Cotes公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的求积公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复合的基本思想。常用的复合公式有:1、复合梯形公式：将区间划分为n等份，分点,k=0,1,n在每个子区间(k=0,1,n-1)上采用梯形公式，则得记当时，根据定积分定义可知：故上述复合梯形公式是收敛的，且它的求积系数也是稳定的。2、复合Simp
21、son公式：.2.2.4 逐次分半技术与Romberg公式如何确定适当的使得近似值与真值之差在允许范围内,一般来说是比较困难的。而逐次分半技术是在求积过程中根据精度的要求,自动确定的选择是否满足精度要求,以二分后前后两次之差来估计误差,这样既缩小了步长,又能保留原有的计算结果,减少计算量。对于复合梯形求积公式，若原来将区间分成n等分。现将每个小区间对半划分成更小的区间，在每个区间上应用梯形公式。容易推导出以下公式：其中：.由复合梯形公式的余项知：假设变化不大，由此得到近似关系式：，容易验证：同理可得到：,.上述公式称为Romberg公式. Romberg公式的加速效果是极其显著的,在相同精度要
22、求下,计算量较小。2.2.5 Gauss型求积公式为进一步提高求积公式的代数精度,可通过适当选择插值节点和求积系数,使得代数精度最高达到。把求积节点和求积系数视为同等参数求解，既可利用方程组得到,也可借助正交多项式的零点来确定。一般可设个节点的求积公式为：. (2.6)其中为求积系数，不依赖于,为求积节点，在式(2.6) 作为待定参数。可选择(2.6)使对精确成立，从而得到关于,的(2n+2)个参数的非线性方程组。例如，当，时，求积公式为：当=1，得。当，得于是，可得求积公式：称为中点求积公式，它的代数精确度为一次。例 当=1时，试确定求积分公式的系数及节点，使它具有最高代数精确度。解 由代数
23、精确度定义，公式对精确成立，由(2.6)得：通过第4式减去第2式乘得：由此得：。用乘以第1式减去第2式有：，用第3式减去乘第2式有：.用前一式代入得：由此得出与异号，即，从而有及.于是可取，再由方程组中的第1式得。于是有：从例题看到直接解方程组(2.6)计算太复杂，时一般都不易求解。但若先确定求积节点，则由(2.6)求出系数就容易了。下面先证明(2.6)求积公式的代数精确度最高为次。若令，则，而.说明(2.6)对次多项式不精确成立，故它的最高代数精确度为次.定义5 如果求积公式(2.6)具有次代数精度，则称其节点(k=0,1,2n+1)为高斯点，相应公式(2.6)称为高斯型求积公式。定理5 插
24、值型求积公式(2.6)的节点是高斯点的充分必要条件是区间上以这组节点为零点的多项式：与任何次数不超过的多项式带权正交，即： （2.7）证明 必要性。设，则，因此，如果是高斯点，则求积公式（2.6）对于精确成立，即有因，故（2.7）成立。再证明充分性。用除，记商为，余式为，即，其中，。由（2.7）可得： （2.8）由于所给求积公式(2.6)是插值型的，它对于是精确成立的，即再注意到，知，从而由（2.8）得到：.可见求积公式（2.6）对一切次数不超过的多项式均精确成立。因此，为高斯点。证毕。根据此定理可知，高斯型求积公式的节点就是在上带权正交多项式的零点，这就避免了根据代数精确度定义求解非线性方程
25、组的困难.在给出求积节点后，求积系数可直接由的插值多项式求出。而公式(2.6)的余项可通过的埃米尔特插值多项式得到，设为，满足插值条件:.于是有两端乘权函数，并从到积分，则得:其中右端第一项积分对次多项式精确成立，故由于，故由积分中值定理得(2.6)的余项为：.定理6 若(2.6)为高斯型求积公式，则其求积系数皆为正。证明 考察，它是n次多项式，因而是2n次多项式，故高斯求积公式(2.6)对于它能准确成立，即有：，从而有求积系数皆为正。证毕。推论高斯求积公式(2.6)是稳定的。利用具有不同权函数的正交多项式, 就能得到不同类型的高斯型求积公式:1、Gauss-Legendre: .2、Gaus
26、s-Chebyshe：.利用上述几种公式,数值积分的近似计算问题已成功获得解决。2.2.6 Gauss-Legendre求积公式若，区间为-1，1的求积公式: （2.9）其中节点(k=0,1,n)是Legendre多项式:的零点，则（2.9）称为Gauss-Legendre求积公式。其中 这里是最高项系数为1的Legendre多项式。余项可由(2.9)得到: （2.10）例如：当=1时，则， ，它比Simpson公式的余项的绝对值还小，且比辛普森公式少算一个函数值。高斯型求积公式（2.9）的节点与系数可见表2.2。表2.2 Gauss-Legendre求积节点与求积系数00.00000002.
27、000000010.57735031.000000020.77459670.00000000.55555560.888888930.86113630.33998100.34785480.652145240.90617980.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889例 用四点(n=3)的Gauss求积公式计算先将区间变换为，令其中(准确值)2.2.7 Gauss-Chebyshev求积公式区间为，权函数的Gauss型求积公式，其节点是Chebyshev多项式的零点，即，而，于是得到 （2.11）称为Gauss-Chebyshev求积公式，公式的余项为
28、： （2.12）这种求积公式可用于计算奇异积分。例 用三点和四点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分，并估计误差。解这里，由Gauss-Chebyshev求积公式（2.12）可得：当=2时， ，求得：代入上式得：估计误差可用余项表达式（2.14），因，故当=3时， ，求得： 误差： .Gauss型求积公式是上带权的求积公式（2.6），它具有最高代数精确度，实际上由于求积系数及节点都是待定系数，它共有个，可使（2.6）对任何2n+1次多项式精确成立，具有2n+1次代数精确度的求积公式节点就是Gauss点。得到求积节点以后，同样可利用（2.6）对精确成立，得到关于的线性方程组：解此方程组
29、得到的求积公式系数，它是稳定的，也是收敛的，具有较高的精度。通常使用的具体公式是Gauss-Legendre求积公式（简称Gauss求积公式），它是区间为，权函数为的公式，其节点系数均可直接由表2.2得到，余项由表达式（2.10）给出，当=1时可得，比（三点）simpson公式好，当n=2时可得比=4（五点）的Cotes公式好，而计算量却减少。另一个Gauss型求积公式是Gauss-Chebyshev求积公式，它由（2.11）给出，它除了精度高，还可计算反常积分。重庆科技学院本科生毕业设计 3改进三点Gauss公式 3改进三点Gauss公式3.1改进三点Gauss公式的介绍文献5给出了区间上两
30、点Gauss公式： （3.1）考虑积分，利用变换可将区间变为，而积分变为：其中，利用公式(3.1)，可得： （3.2）上述两点Gauss公式（3.2）具有3次代数精度。在不增加节点数目的前提下为使两点Gauss公式具有尽可能高的代数精度，文献10提出对两点Gauss公式进行如下改进： （3.3）当=1时，显然（3.1）式两边都相等。当时，左边=，右边=。当时，左边=，右边=。当时，左边=，右边=。当时，左边=，右边=令左边=右边，则可解得。当，左边=，右边=令左边=右边，则可解得。故得到至少5次代数精度的改进两点高斯公式：容易验证公式（3.3）恰有5次代数精度。 根据以上构造思想，本文提出对三
31、点高斯公式进行如下改进：(3.4)容易验证，公式精确成立。现在令时方程精确成立。可以解的：A=1/2016000，=(a+b)/2(具体程序见附件程序二)。故有改进三点高斯公式： （3.5）由于时，（3.5）式恒成立，故得数值积分公式（3.5）至少具有7次代数精度，它实质上是一种改进三点高斯公式。通过分析，本文改进的三点高斯公式具有7次代数精度，并且求积系数都大于零，故我们改进的三点高斯公式是稳定的。3.2 数值算例我们选择积分作为数值算例, 其精确值可以很容易得到：选择此算例的原因是由于可以计算出的精确值，所以我们可以比较方便和直观的比较各种不同的数值积分计算公式的相对误差。我们分别利用梯形
32、公式、辛普森公式、两点高斯公式、改进两点高斯公式和本文提出的三点高斯公式数值计算，并对它们的代数精度与误差进行了比较，具体结果见表3.1（具体程序见附件程序三）。1、本文改进的三点高斯公式2、梯形公式：3、辛普森公式：4、两点高斯公式：5、文献10给出改进的两点高斯公式：.表3.1 误差分析近似值代数精度误差梯形公式1.859140914229521-0.14085908577048辛普森公式1.718861151876593-5.793234175472950e-004两点高斯公式1.7178963780075033.854504515414803e-004文献10改进的两点高斯公式1.71
33、82780264498053.802009249875837e-006本文改进的三点高斯公式1.7182818221906176.268433105915960e-009从表3.1的计算结果表明，本文改进的两点Gauss公式代数精度至少具有7次，而梯形公式、辛普森公式、两点高斯公式、文献10改进的两点高斯公式的代数精度依次是1次，3次，3次，5次，我们的公式代数精度明显提高了，误差明显减少。3.3 2010年数学建模A题求解题目：对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在
34、进/出油过程中的实际检测数据（见附表1），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图1 储油罐正面示意图油位探针油位探针 地平线图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线图3 储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m重庆科技学院本科生毕业设计 3改进三点Gauss公式一、建立纵向变位时油位深度与油量的函数关系式计算储油罐中油量的体积,我们将储油罐分为三个部分，中间
35、部分为圆柱体，两端为球冠体。由此油量的体积也分为三个部分来进行计算：，其中分别表示油料在油罐圆柱体，左边球冠体和右边球冠体中的容量。下面分别计算。1、的计算第一种情况，时，但是罐体储油体积不一定为零（如图4），（图4）我们计算此种情况的极限容量，采用体积微元法。圆缺面积为，则： （3.6）其中是圆缺的半径，圆缺的高度。为了便于后面数值解法书写方便，我们记： （3.7）则有： （3.8）其中，。记为： 第二种情况，当时，我们分以下具体情况进行讨论：（1） 当时（如图5），（图5） （3.9）记为：（2）当时（如图6）：（图6） （3.10）记为：（3）当时（如图7）， （图7）此时计算油的体积，
36、我们采用，其中是整个油罐圆柱体的容积，油罐中没有盛油的部分，其中。油罐为圆柱体。其中； （3.11）记为：（4）当时，极限容积为：2、的计算下面计算在右边球冠中溶液的体积，以右端球冠的球心为坐标原点，建立三维坐标系，球的半径，在直角三角形中，计算得。则球面方程为：设为上液面高度，则，其中油位高度。在点做垂直轴的平面，与油液面的公共部分如（图8），（图8）所在的圆的方程为：其中公共部分是圆缺，圆缺的高，圆缺的半径。利用圆缺的面积公式，圆缺的面积为：我们采用体积元素法，体积元素为：则在区间对体积元素求定积分，得： （3.12）为了便于后面数值解法书写方便，我们记：所以（15）式变为：3、的计算由于
37、左边球冠与右边球冠的形状相似，我们采用的计算方法，左边低液面的高度设为，只要将（15）式中的换成,即可得。 （3.13）为了便于后面数值解法书写方便，我们记：所以（16）式变为：4、在进行数值求解时，我们观察出实验数据中且，于是我们放弃了计算中的第一种情况和第二种情况中的情况（4）。下面我们分三种情况计算整个油罐中油的容量。1）当； （3.14）2）当， （3.15）3）当时， （3.16） 其中；。4、数值计算方法对于的计算，由于被积函数比较复杂，直接积分运算量比较大，因此我们采用数值计算的方法计算，由于计算式子类似，下面我们以为例进行计算说明。计算中采用本文改进三点高斯公式，即：则有：二、
38、建立叠加了横向变位的油位深度和纵向变位时油位深度的函数关系，其中与的位置关系（如图9）所示，（图9）可得函数关系为: （3.17）综合可得三、找出函数关系将带入到第二步的中，得到油液容积与叠加了横向变位的油位深度的函数（具体程序见附件程序四）：。四、用最小二乘参数估计法确定参数最小二乘参数估计法基本思想：根据的关系表达式和油量高度，计算出相邻高度油量的体积之差 通过与附件的实际储油量进行比较，通过对进行等间距的穷举最终求得理论值与实际值的差值的平方和： （3.18）当取得最小值，此时的即为所求的最佳值。即求解如下最小二乘拟合模型：考虑到实际情况，油罐的纵向变位与横向变位不会很大，我们假设。于是
39、我们在固定区间进行搜索，寻找此区间内的最优解，取步长。 算法描述： 第一步 赋初始值，定义步长； 第二步 ; 第三步 带入到（3.18）式，计算方程组中两个方程误差的平方和，； 第四步 如果，转第二步； 第五步 如果，保存，否则保存； 第六步 最终保存的是最优解。用最小二乘参数估计法得到的变位参数为：，（具体程序见附件程序五），角度都符合实际情况。五、误差分析根据和附表一中的实际高度计算出相应的体积。并与实际体积对比，根据公式：计算出相对误差（具体程序见附件程序六）。结果如表3.2：表3.2 容量误差分析显示高度/mm显示油量容积/L计算容积/L相对误差2632.23 60448.88 590630.0229262624.30 60311.43 589150.0231542620.67 60248.03 588470.0232542610.29 60065.11 586500.023562606.61 59999.69 585800.0236622599.59 59874.06 584450.0238682587.60 59657.02 582130.0242052582.05 59555.51 581040.0243722579.57 59509.94 580560.0244322575.44 59433.77 5797