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1、大庆师范学院本科生毕业论文浅谈构造法在数学解题中的应用学 院 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 研 究 方 向 数学教育 学 生 姓 名 学 号 201001051246 指导教师姓名 指导教师职称 副教授 2014年5月25日摘 要构造法是一种重要的数学解题方法,无论是在中学数学还是在大学数学解题中都有广泛的应用.利用构造法解决数学问题,不仅可以提高学生在数学解题中的能力,如逻辑思维能力、空间想象能力、创造性思维能力等，而且还可以培养学生创造性地解决问题,激发学生的创新意识,体验学习的乐趣.本文从中学数学、大学数学两方面说明构造法在数学解题中的应用. 关键词：构造法;解题;应用Abstr
2、actConstruction method is an important method of solving mathematical problem , both in middle school mathematics and in the university mathematics problem-solving ,it has a wide range of applications. Using construction method to solving mathematical problems,it not only can improve students abilit
3、y in mathematics problem solving, such as logical thinking ability, space imagination ability, creative thinking ability etc,bot also it can cultivate students creative problem-solving, stimulate students innovation consciousness, experience the fun of learning. In this paper, from two aspects of mi
4、ddle school mathematics and university mathematics illustrates the application of construction method in mathematical problem solving.Keywords:construction method;the problem solving;applicationIV目 录第一章 构造法的概述1 1.1 构造法的定义1 1.2 构造法在数学解题中的作用1第二章 构造法在初中数学解题中的应用3 2.1 构造法在方程问题中的应用3 2.2 构造法在平面几何中的应用3 2.3
5、构造法在不等式中的应用4第三章 构造法在高中数学解题中的应用5 3.1 构造法在立体几何中的应用5 3.2 构造法在函数问题中的应用5 3.3 构造法在数列问题中的应用6第四章 构造法在大学数学中解题的应用7 4.1 在数学分析有关问题中的应用7 4.2 在高等代数有关问题中的应用8第五章 总结9参考文献10第一章 构造法的概述1.1 构造法的定义 在一些数学解题中，有时为了为了解决数学问题而构造一种数学模型（如几何图形、函数、方程等），从而来寻求数学问题中的某种内在关联. 通过问题中的某种关联，能够使数学问题变得简单明了，从而起到转化和桥梁的作用，进而找到解决数学问题的思路和方法,这种解题方
6、法称为构造法1. 1.2 构造法在数学解题中的作用 数学解题的过程是一种不断的把“未知”转化为“已知”的过程，这里的转化就是数学解题的关键. 构造法作为一种重要的数学解题方法，在数学解题中有重要的作用2. 构造法的重要作用主要体现在两方面：一方面是构造法本身具有的重要作用. 数学问题就像万花筒一样千变万化，同一个问题可以通过不同变化变成新的数学问题.在解决数学问题时就要求我们的解题方法也要随机应变，跟随问题条件的改变，调整出适合自己的解题方法. 构造法在这方面就是一个锋利的武器，构造法是一种非常灵活的解题方法. 同一个数学问题，不同的学生应用构造法进行解决时，也会构造出不同的方法来解决数学问题
7、. 应用构造法解决数学问题不像其它方法那样，有固定的套路和模板可以进行生搬硬套，代公式，需要学生认真仔细地寻找数学问题中潜在的内在关联，通过合理的联想，构造出最适合自己的解题方法，使原本复杂的问题变得简单，易懂. 所以构造法的应用就像泉眼，源源不断地构造出新方法解决问题，所以应用构造法解决数学问题很重要. 另一方面，构造法是一种非常重要的数学解题方法. 它不仅体现了数学解题中所需要的类比、化归等思想，而且渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学解题方法4.学生做数学题时应用构造法解决的数学问题有很多. 比如，有时要求证一个代数不等式却需要我们构造出一个几何模型来进行证明,这里就应用了把代数问题转化
8、成几何问题来解决的转化思想，所以在数学解题中，构造法能够培养学生的数学转化思想. 学生在数学解题中总会遇到许多的难解之题，自己百思不得其解，但是经过同学或者老师的一句话就会豁然开朗，一切困难都迎刃而解，感觉自己也这么想过，就是没有实施. 这就是在我们思想进入瓶颈的时候，需要自己大胆的联想，并且要相信自己，大胆联想，进行合理创新. 而构造法就是联想构造能力的具体体现，所以多运用构造法解题可以培养我们的思维想象能力. 构造法是一种很活跃的创造性思想，它能沟通数学各个不同的分支，甚至还沟通数学与其它学科，实现跨度极大的问题转化，这是一种难度大、规律不易掌握的高层次思维方法. 因此需要调动各种数学思维
9、共同参与，才能完成构造性的转化. 教师在平时教学中注意各种思维和思维能力的培养，从而使学生在数学解题中能有效的利用各种思维方法，创造性地解决问题，同时也提高了自己思维的创造性，从而激发学生积极探索、创新的欲望和意识，体验学习成功的喜悦5.10第二章 构造法在初中数学解题中的应用2.1 构造法在方程问题中的应用 方程是中学数学经常应用的知识，在数学解题过程中要善于观察，善于发现，认真分析，根据问题的结构特征,及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而利用方程知识,进而构造代数式，使问题解答巧妙、简洁、合理，从而获得解决问题的方法6.例1 已知，是方程的两个根，且，不用解方程求的值.
10、分析 题目要求我们不去解方程去求一个非对称式的值，很显然想到用韦达定理去解题，但不是对称式，这就需要构造一个与相对应的对偶式.解 设，.因为，是方程的两个根，所以，. 由于，因此. ， . 由上面两式可得，=.本题是在应用方程的韦达定理之前，先构造代数式，构造的代数式与所求代数式呈现对称式的关系，这样不用解原方程，就可以求得结果.2.2 构造法在平面几何中的应用 平面几何与代数数学问题之间转化，需要构造出与代数问题相对应的平面几何模型. 例2 求函数的最小值. 分析 用直接法把根号消除很困难，通过联想利用平面上的两点距离公式，使得问题得以容易解决. 解 把函数经过配方法改写成,利用平面直角坐标
11、系，就可以把所求的代数问题转化为求轴上的一点，使点到两点和的距离之和最短. 由平面几何知识可知，.像上述这样类型的数学问题，在应用构造法解题的目的是把代数问题转化成平面几何问题进行解决，达到用平面几何解决代数问题目的.2.3 构造法在不等式中的应用 不等式是初中数学中很常见的数学问题. 学生在解决这类问题时会经常碰壁，不知道从哪里入手进行解决，如果在解不等式时应用构造法，那么问题就简单多了.例3 求证.证明 构造平面向量，则 ， .由可知，因此. 在解决数学不等式的问题当中，除了构造平面向量来解决问题外，还可以构造函数、方程、代数式等进行问题的解决.第三章 构造法在高中数学解题中的应用3.1
12、构造法在立体几何中的应用 如果题目中的条件和结论之间的联系不明显，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把两者联系起来，借助有关性质，巧妙构造，可迅速找到解题途径.不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决，进而能加强问题的直观性，有助于提高学生的思维能力和几何证题能力，起到事半功倍的效果7. 例4 已知.分析 通过本题要证明的结论，我们不难会联想到曾经学习过的余弦定理，而余弦定理的应用要在图形中体现，所以我们要构造一个顶角的三棱锥.证明 作如图所示的三棱锥. 令,. 由余弦定理可知, , . 由三角形边与边之间的关系,两边之和大于第三边
13、,可知 .3.2 构造法在函数问题中的应用 函数是数学知识中非常重要的部分，贯穿整个数学的始末，可根据函数的性质特征，将函数作为载体，达到解题的目的. 例5 证明不等式 （). 分析 要想证明不等式 （）成立，只要证明即可. 证明 构造函数（），则.所以构造函数在定义域内为偶函数. 当时，因此. 由偶函数的性质可知，当时同样有. 所以在定义域内恒有， 即（）成立. 本题刚开始一看感觉很困难，不知道从哪里入手才能解决问题，所以要根据所学函数知识与构造法相结合，构造一个偶函数，在利用偶函数所具有的性质，进行证明，问题就由不等式问题转化为函数问题了，解决问题就变得顺手了，同时也体现了数学中的转化思想
14、.3.3 构造法在数列问题中的应用等差数列，等比数列有许多性质.在解决有关数列一系列的问题时，可以根据题目中所给的已知条件，通过合理联想构造出新的等差或等比数列，并利用新构造数列的性质来解决数学问题3.例6 已知数列的前项和，且，当时，.求的表达式.解 当时，则 . ， 令，则数列是以为公差，且的等差数列. ，所以. 构造法在数列解题中的应用，关键在于合理构造相关数列，进而解决数学问题. 第四章 构造法在大学数学中解题的应用4.1 在数学分析有关问题中的应用 拉格朗日中值定理是大学数学中的基本定理，也可以说拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的更广泛应用，先了解一下拉格朗日中值定理与罗尔中值定理的主
15、要内容. 拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.罗尔中值定理 若函数满足如下条件 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导， （3）.则在内至少存在一点，使得.分析 证明拉格朗日中值定理的同时要借助罗尔中值定理条件和结论，从拉格朗日中值定理的结论出发进行证明.由拉格朗日中值定理的结论能够得出，要证明的结论就是.证明 构造辅助函数.当时，；当时，.由罗尔中值定理可知，在内至少有一点，使得 .因此 .这种构造辅助函数的方法，利用的是拉格朗日中值定理的几何意义，在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲
16、线两端点的连线,所以在证明中引入的辅助函数，正是曲线与两端点直线之差.4.2 在高等代数有关问题中的应用高等代数中有很多问题的解决同样要应用构造法.例7 设,是两两互异的数. 证明方程 有唯一解，并求它的解. 解 设系数矩阵为，增广矩阵为，范德蒙德行列式为. 因为故，方程有唯一解. 构造函数，其中是的根，则.利用韦达定理知解为: 利用构造函数法巧妙地解决了上述问题，在高等代数中还有很多问题的解决可以利用构造法，使问题解决起来变得更简单.第五章 总结本论文主要从中学数学和大学数学入手分析构造法在数学解题中的应用.构造法是重要的数学解题方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结
17、论，它属于非常规性思维.其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的灵活性、不规则性和创造性.构造法主要在函数、方程、数学关系式、等价命题、几何等数学知识方面广泛应用.应用构造法解决问题，在数学解题中关键有两点：第一是要有明确的方向,即有目的性的构造；第二是要看清条件的本质是什么，需要怎样进行构造，从而达到数学解题的目的.现在数学素质教育要求提高学生的数学素养，这不但要使学生掌握数学知识和解题的方法，而且还要使学生掌握渗透在数学知识中的数学思想方法，使他们能够应用数学知识和方法解决生活中的实际问题.在解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方
18、式来寻求解题途径很困难，没有思路，甚至无从下手.在这样的情况下就要求我们改变自己的思维方向，换一个角度去思考问题，不一定要死板的进行思考，要学会应用创造性思维进行考虑，才能找到一条绕过障碍的新途径，从而解决所遇到的问题.构造法的应用不仅仅在数学领域有研究，在组合数学、计算机科学中所涉及的数学都是构造性数学的新领域. 尤其是图论，更是构造性数学发展的典型领域之一.因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络、程序的框图、公式的表达式等也都是构造性很强的问题. 应用构造法获得发展的另一分支是数值分析，此外，拓扑学、维数理论等，也是构造数学大有用武之地的领域. 总之构造法的应用已经渗透在很多领域，应用非常广泛，值得进一步研究.参考文献1 陈东磊. 谈数学解题中的构造法J. 数学教学与研究, 2012, 20.2 王永西. 浅谈高中数学解题中运用构造法的措施J. 2010，30.3 林坤和. 数学构造法在解题中的应用J. 创新教育, 2013，23.4 沈条英. 构造法及其应用J. 绍兴文理学院学报, 2008，10.5 陈小平. 浅谈构造法解题J. 数学学习与研究，2011，7.6 潘国强. 构造法在解题中的一些简单应用J. 课例交流，2013，10.7 刘彩萍. 例析构造法在解题中的应用J. 上海中学数学, 2010，1-2.