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1、 A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业设计（论文）求非线性发展方程孤立波解的一种解法二级学院：数学与计算科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2008学 号：224504作者姓名： 指导教师： 完成日期：2012年5月3日求非线性发展方程孤立波解的一种解法专业名称：数学与应用数学作者姓名： 指导教师： 论文答辩小组组 长： 成 员： 论文成绩： 目录1.引言12.算法43.应用63.1 Newell-Whitehead-Segel方程6例163.2 KdV方程和五阶KdV方程8例28例3103.3 CH-DP方程14例4144 小结19参考文献20 求非线性发展方程孤立
2、波解的一种解法作者 刘伟仪 指导教师 邓圣福讲师湛江师范学院数学与计算科学学院, 湛江 524048摘要: 本文介绍了求非线性发展方程孤波解的一种方法,并应用这种方法求出KdV方程,五阶KdV方程,Newell-Whitehead-Segel方程, CH-PD方程的精确的孤立波解.关键字: 非线性发展方程; KdV方程; 五阶KdV方程; Newell-Whitehead-Segel方程CH-PD方程One method for finding solitary wave solutions of nonlinear evolution equationsLIU WeiyiSchool of
3、Mathematics and Computational Science, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang, 524048Abstract: This paper introduces one method for finding solitary wave solutions of nonlinear evolution equations. Application of this method gives the exact solitary wave solutions of the KdV equation, the fifth orde
4、r KdV equation, the Newell-Whitehead-Segel equation and the CH-PD equation.Key word: nonlinear evolution equations; KdV equation; fifth order KdV equation; Newell-Whitehead-Segel equation; CH-PD equation1.引言孤立波是指波长为无限大,孤立的,只有波峰且在移动中不变形的非线性波.它是非线性发展方程在无穷远有确定值的行波解.孤立波属于有限振幅波的一种.孤立波最早是由Scott Russell于18
5、34年偶尔观察到的一种奇妙的水波.1844年,他在英国科学促进协会第14届会议报告上发表的论波动一文中,对这种水波做了生动的描述: 我观察过一次船的运动,这条船被两匹马拉着沿狭窄的运河迅速前进着,突然,船停下来,而被船所推动的大堆水却并不停止,它们积聚在船头周围激烈地扰动着,然后水浪突然呈现出一个滚圆而平滑,轮廓分明,巨大的孤立的鼓包,并且以巨大的速度向前滚动着,急速地离开了船头.在行进中它的形状和速度并没有明显的改变,我骑在马上紧跟着观察,它以每小时约八,九英里的速度滚滚向前,并保持长约30英尺,高约1-1.5英尺的原始形状,渐渐地它的高度下降了.当我跟踪1-2英里后,它终于消失在逶迤的河道
6、之中. Russell认为这种孤立的波动是流体运动的一个稳定解,并称它为孤立波.Ru-ssell试图找到这种解,但未能成功.直到50年以后,即1895年,两位数学家Korteweg和de Vries从数学上导出了著名的浅水波KdV方程,并给出了一个类似于Russell孤立波的解析解,即孤立波解,孤立波的存在才得到普遍承认.从Russell的发现到KdV方程的提出,大约经历了60年时间,孤立波才为学术界普遍接受. Russell当时已经知道了孤立波的一些重要性质,如:孤立波在传播过程中保持波形和速度不变;两个孤立波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和速度;孤立波的波幅愈高,其传播速度愈快等等.虽然1
7、895年KdV方程从理论上阐明了孤立波的存在,但当时学术界还没有能回答孤立波是否稳定;两个孤立波碰撞后其速度和波形是否改变;以及在流体以外的其他领域,孤立波是否也存在等重大问题. 从19世纪末到20世纪中,关于孤立波的研究工作处在寂静时期,没有明显的进展.尽管在非线性电磁学,固体物理,流体动力学,神经动力学等学科中,相继提出了一些与孤立波有关的问题,但当时有关孤立波的已有的知识,在新问题面前显得很不够用,且这些问题与应用数学之间相互促进的关系也没有得到足够的重视.人们似乎已忘记了Russell发现孤立波的重要意义. 经过了约60年的平静时期之后, 1955年Enrico Fermi, John
8、 Pasta, Stan Ulam (FPU)发表了Studies of nonlinear problem一文,重新燃起了人们对孤立波的兴趣,使人们对孤立波的研究又活跃了起来. 1965年,美国普林斯顿大学的应用数学家Matin D. Kruskal和贝尔实验室的Norman J. Zabusky对FPU结果的进一步研究发现,若用弦的位移表示,它们正好满足KdV方程.两个KdV孤立波的碰撞具有三个特点:孤立波在碰撞前后保持高度不变;碰撞时两个孤立波重叠在一起,其高度低于碰撞前孤立波高度较高的一个,这表明在非线性过程中,不存在线性叠加原理;碰撞后孤立波的轨道与碰撞前发生了相移.他们在数值实验中
9、,既研究了两个孤立波的碰撞,也研究了四个孤立波的碰撞,并首次引入孤立子这一术语,用来描述这种具有粒子性质的孤立波. 之后,在固体物理,非线性电磁学和神经动力学等学科也发现了与孤立波有关的问题,人们开始考虑在流体以外的领域孤立波是否存在及其表示孤立波演化的微分方程的求解问题.20世纪60年代以来,孤立子的研究有了突飞猛进的发展.除了在流体,还在固体物理,激光,电气工程,等离子体,生物学等领域相继发现了孤立子的存在.而且在数学领域,逆散射方法的提出与推广,也为求解孤立子演化方程提供了有力的数学工具.1972年夏天在美国召开了一次时间长达3周半的孤立子学术讨论会,来自数学,力学,物理学,电气工程,生
10、物学,地质,地球物理等十多个学科的学者聚集在一起,交流对孤立子研究的进展和经验. 目前，孤立波研究领域日益广泛.在超导研究方面,约瑟夫逊(Brian D. Josephon)效应中的磁通量子实际上就是孤立子,于是孤立子的研究方法被引入超导研究,现已在研发耗能特别小,速度特别快的新型计算机器件上有新进展.在生物学方面发现了达维多夫(A.S. Davydov)孤立子,探讨了生物体蛋白质中孤立子的传播问题,为弄清肌肉收缩的机制提供了有力的途径.孤立子在高科技方面最具代表性的成功应用,是光纤中的光孤立子,亦称光孤子.它具有长距离传输损耗小,无需中继站,比特率高等优点.现普遍认为,光纤孤立子通信有希望成
11、为超高速率和超长距离通信的重要手段.3给出了一种求解非线性发展方程孤波解的方法,由于当时的条件限制,这种方法没有使用符号计算,因而显得不成熟,并且没有受到应有的关注.后来陆续出现了许多解非线性偏微分方程的方法,如双曲正切展开法,最简方程法,雅可比椭圆函数法,改良的最简方程法,展开法等. 本文介绍的是3中方法的改良形式.实际上,我们所要寻求非线性发展方程的孤立波解具有如下的形式 , (1.1)其中函数的形式为 . (1.2)我们容易发现函数满足方程 , (1.3)这里表示函数对的导数. 利用方程(1.3)可以求出的导数,的二阶导数,甚至的高阶导数,然后通过本文所阐述的方法求出系数,代入即可求得非
12、线性发展方程的孤立波解. 本论文将通过寻找四个非线性发展方程的精确孤立波解来说明这种改良方法的应用,即Newell-Whitehead-Segel方程 ,Korteweg de Vries (KdV)方程的和五阶KdV方程 ,以及Camassa-Holm-Degasperis-Procesi(CH-DP)方程. 并给出了它们的精确孤立波解的图形.2. 算法本方法分为六步.第一步: 化非线性发展方程为非线性常微分方程.设非线性发展方程有如下的形式 . (2.1)考虑其行波解,并假设, . 将非线性发展方程(2.1)转化为含参数和非线性常微分方程 . (2.2)第二步: 计算公式(1.1)中的数值
13、.为方程(2.2)解的极点的阶.令,代入方程(2.2),比较指数最小的两项或者多项,计算出的值,从而得到的值.当为整数时,则可以继续使用下面介绍的算法.当不是整数时,则函数必须使用变式以使取整.例如,当数值(为整数)时,我们可以使用变式,其中是新的函数.第三步: 将以及的导数,代入方程(2.2).下面以五阶非线性常微分方程为例进行说明.首先,其中是第二步得到的数值,如时,则取,然后结合方程(1.3)计算得到函数的导数,即 将(2.3)中以及的各阶导数代入方程(2.2),得到含有函数,系数,参数和的新方程.第四步: 寻找第三步新方程中含有系数,参数和的代数方程组.将第三步得到的新方程按合并同类项
14、,再令每一项的系数为零,这样就得到了含有如下形式的代数方程组. (2.4)第五步: 解代数方程组求解代数方程组(2.4),得到系数以及参数和的值,再代入(1.1)式便可得到方程(2.2)的形如解.第六步: 化简,检查方程(2.2)的解.为减少错误,在求出非线性偏微分方程的解后,必须将解代入原方程进行检验,而且有必要说明方程的解是否经过检验.3. 应用下面通过寻找四个非线性发展方程的精确孤立波解来阐述本方法的应用.3.1 Newell-Whitehead-Segel方程例1 考虑Newell-Whitehead-Segel方程 . (3.1)第一步: 令, .非线性发展方程(3.1)变成如下的常
15、微分方程. (3.2)第二步: 取,所以代入(3.2)式得到.比较最小的指数令,求得,即.第三步: 将时代入(2.3),求得代入(3.2)式得到方程第四步: 令各项系数为零,得到下面的代数方程组第五步: 运用Mathematics软件解方程组得到如下解结合和方程(1.3),得到非线性发展方程(3.1)的解如下常数解: 非常数解(孤立波解): 解(4)的图像如下解(6)的图像如下解(8)的图像如下第六步: 经检验,上述解满足微分方程(3.1).3.2 KdV方程和五阶KdV方程例2 考虑KdV方程 . (3.3)第一步: 令.KdV方程(3.3)转化为 . (3.4)第二步: 取,由此得到代入方
16、程(3.4)得.比较上式指数最小的两项,得到,解得,故.第三步: 将代入(2.3),故代入方程(9),化简得到第四步: 令每一项的系数为零,则得到如下方程组第五步: 运用Mathematics解方程组得到三组解结合,和得到非线性发展方程的解:常数解: (1),为任意常数, (2),为任意常数,(1)和(2)实际上表示同一个解.非常数解(孤立波解): (3).取参数,解(3)的图像如下:第六步: 经检验,上述解满足KdV方程.例3 考虑五阶非线性KdV方程 . (3.5)令,将方程(3.5)化为. (3.6)取,所以代入(3.6)式得到的指数有其中最小的两个指数可能为这三项中的两项,两两比较易得
17、,即.将代入方程(2.3),算出,代入(3.6)式,化简得到方程令每一项的系数为零,得到代数方程组,解代数方程组得到如下解结合,和,得到方程(3.5)的解如下常数解: , . (1)和(2)实际上表示同一个解.非常数解(孤立波解): , 经检验,上述解满足五阶KdV方程(3.5).取参数,解(3)的函数图像如下取参数,解(4)的函数图像如下取参数,解(5)的图像如下取参数,解(8)的函数图像如下3.3 CH-DP方程例4 考虑广义的的Camassa-Holm-Degasperis-Procesi(CH-DP)方程 , (3.7)其中.当时, (3.7)化为Camassa-Holm(CH)方程
18、. (3.8)当时, (3.7)化为广义的CH方程. (3.9)当时, (3.7)化为Degasperis-Procesi(DP)方程 . (3.10)当时, (3.7)化为广义的DP方程. (3.11)通过运用本文所阐述的方法对上述微分方程(3.8), (3.9), (3.10)和(3.11)进行求解,结果发现,方程(3.8)和(3.10)不能用此方法求其孤立波解,而方程(3.9)和(3.11)可以被求解.也就是说对广义的CH-DP方程(3.7),当m=2时,可以用本文所述方法求其孤立波解.首先对广义的CH方程(3.9)进行求解.令.微分方程(3.9)变成. (3.12)取所以(3.12)式
19、变成最小的两个指数为由得到,则,所以代入(3.12)式得到令的系数为零,得到代数方程组,并求解方程组得结合和得到方程(3.9)的解如下:常数解: , 实际上(1)和(2)表示同一个解.非常数解(孤立波解): 满足, 满足经检验,上述解满足方程(3.9).取参数=1,解(3)的图像如下取参数=1,解(4)的图像如下下面对广义的DP方程(3.11)进行求解.令,方程(3.11)变成 (3.13)取,所以(3.13)式变成最小的两个指数为由得到,故,则有代入(3.13)式得到令的系数为零,得到代数方程组并解之得结合, ,对应得到方程(3.11)的解如下常数解: , .实际上,(1)和(2)表示同一个
20、解.非常数解(孤立波解): ,其中满足方程,其中满足方程经检验,上述解满足方程(3.11).取参数=1,解(3)的图像如下取参数=1,解(4)的图像如下4. 小结本文介绍了求解非线性发展方程孤立波解的一种符号算法,按照步骤能够快速有效地求出非线性发展方程的孤立波解,其应用简单可行.不足之处是这种方法不适用于求解非线性发展方程的周期解.参考文献1 郭柏灵,庞小峰著.孤立子M.科学出版社,1987,2:1-2.2 王振东.孤立波与孤立子J.力学与实践, 2005,27(5):3-5.3 Kurdryashov N.A. Exact soliton solutions of the generali
21、zed evolution equation of wave dynamicsJ. Appl. Math. Mech.,1988,52:361-365.4 Nourazar S.S., Soori M., Nazari-Golshan A. On the exact solution of Newell-Whitehead-Segel equation using the homotopy perturbation methodJ. Basic and Applied Sciences, 2011,5(8):1400-1411. 5 Korteweg D.J. , de Vries G. On
22、 the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary wavesJ. Annales Mdico-Psychologiques,1895,39(240):422-443. 6 Takamori K. Well-posedness for the fifth order KdV equationJ. Adv. Differen-tial Equations, 2011,16(3-4):257-287.7 Deng S., Guo B. , Wang T. Travelling wave solutions of a generalized Camassa- Holm-Degasperis-Procesi equationJ. Science China Methematics, 2011,54(3):555-572.8 Kudryashov N.A. On one of methods for finding exact solutions of nonlinear differential equations. article/pii/S100- 7570411005661.20