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1、通化师范学院本 科 生 毕 业 论 文（ 2013 届 ）题 目: 求函数极限的若干方法 系 别： 数 学 学 院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 三 班 作者姓名： 学号： 指导教师： 职称： 教 授 学历： 本 科 论文成绩： 2013 年 5 月目 录摘 要.Abstract.1引言.12求函数极限的若干方法.1 2.1利用函数极限的定义.1 2.1.1用时函数极限的定义求函数极限.12.1.2用时函数极限的定义求函数极限.12.2利用两个重要极限.2 2.2.1利用.22.2.2利用.22.3利用等价无穷小代换求函数极限.32.4利用洛必达法则求函数极限.3 2.4.1利用洛必达法
2、则求型不定式极限.42.4.2利用洛必达法则求型不定式极限.4 2.5利用泰勒公式求函数极限.4 2.6利用定积分求函数极限.52.6.1直接利用定积分的定义求函数极限.52.6.2变乘积极限为和式极限.53结束语.6致谢语.6参考文献.6指导教师评语.评阅人评语.求函数极限的若干方法 摘 要：极限是贯穿数学分析全过程的重要概念，同时也是近代微积分的基础，本文主要对函数极限的求解方法进行了归纳与总结，且在具体方法中应注意的问题、细节、技巧做了说明，从而方便我们了解函数的各种极限及求法.关键词：函数极限；求解方法；归纳总结Several methods of solving the Limit
3、of Function Abstract：Limit through mathematical analysis in the whole process of important concepts in modern times, but also the foundation of calculus, this paper focuses on the function limit method are concluded and summarized, and the problems should be noticed in specific methods, skills, deta
4、il illustrated, so as to facilitate our understanding of function of the various limits and method.Key word：limit of function; method of solving;induction and summary-II-1引言极限是微积分学中的一个重要的基本概念，是微积分中各种概念以及计算方法能够建立和应用的前提，求解函数极限的方法很多，但每种方法都有一定的局限性，且都不是万能的，所以我们要对具体的求极限问题追求适合的方法.2求函数极限的若干方法2.1利用函数极限的定义2.1
5、.1用时函数极限的定义求函数极限定义1 设为定义在上的函数，为定数，若对任给的，存在正数，使得时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.例1 函数，证明时，.证明 ，要使不等式成立.即，要使不等式成立.解得，取，于是，,，有，即.2.1.2用时函数极限的定义求函极限定义2 设函数在点的某个空心领域内有定义，为定数,若对任给的，存在正数，使得时，有 ，则称函数当趋于时以为极限，记作或.例2 函数， 证明时.证明 ， ，取，则当时，有，由函数极限的定义，有 .通过例1、例2我们得出，为了找到相应的，要从开始分析，而满足该式的应是无穷多，从而不唯一，根据定义，只要找到一个合适的就可以了.因而我们要着重
6、说明的存在性，所以我们常将进行适当的放大，变成一个关于的比较简单的式子，使其小于，进而解出相应的来，从而正确利用定义证出函数极限.2.2利用两个重要极限2.2.1利用例3 求解 2.2.2利用例4 解 综上，凡是含有三角函数的型末定式和型末定式，我们都可以用两个重要极限的末定式，都能求出结果.2.3利用等价无穷小代换求函数极限 定义3 若，则称与是当时的等价无穷小量，记作，常用的等价代换有，.例5 求解 由于，而， ，故有例6 求解 原式 利用等价无穷小量代换求函数极限时，应注意，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.在求极限时，须
7、把分子或分母看作一个整体从而代换.进而求出函数极限.2.4利用洛必达法则求函数极限定理1 设在某一极限过程中，函数，满足条件（1）；或；（2）在点某空心领域内两者都可导，且；（3）（可为实数，也可为），则有.2.4.1利用洛必达法则求型不定式极限例7求解 例8 求解 此题属于型，将原式中的写在分母上，使其变成型后应用洛必达法则，即2.4.2利用洛必达法则求型不定式极限例9 求解 例10 求解 洛必达法则是求两个无穷小量或无穷大量之比的极限的，在同一运算过程中可连续使用，直到求出所求极限.但是，对于其他不定式的极限如果无法判断其极限状态，则洛必达法则失败，但只需经过简单变换，它们一般可以化为型或
8、型的极限.2.5利用泰勒公式求函数极限定义3 设在点具有阶导数，则在点的泰勒公式为，特别地当时，称麦克劳林公式. 例11 求 解 ， ， ，从而得在利用泰勒公式求函数极限时，应注意分清哪些项需要展开，展到什么程度，哪些项保留.2.6利用定积分求函数极限2.6.1直接利用定积分的定义求函数极限定义4 设是定义在上的一个函数，对于的任意分割以及在其上任意选取的点集有.例12 求解 2.6.2变乘积极限为和式极限例13 求解 令 ， 则 ，则，所以由定积分的定义我们知道，定积分是某一和式的极限，因此，如果关于的某一和式可以表示成某一积分的形式时，则可利用定积分，求出这个和式的极限，显然，若要利用定积
9、分求函数极限，其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.3结束语以上方法是求函数极限的重要方法，在求解极限的题目时，我们要细心分析，从而择最合适的方法，这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.致谢语感谢 老师对我在论文写作中的指导与帮助，是您的耐心教导，使我的论文得以完成，真心的说一声，老师您辛苦了！参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（第三版）上册M.北京：高等教育出版社,2001,3:42-64.2程鹏,张洪瑞,李占现.求函数极限的方法J.河南科技学院学报（自然科学报）,2009,36(3):133-135.3宋立温,利用等价无穷小代换求极限应注意的问题J.潍坊学院学报,2007,7(4):121-122.4曹斌,马燕,孙艳.关于洛必达法则求函数极限的分析与研究J.淮海工学院学报（自然科学报）,2011,20(1):3-6.5朱旭,泰勒公式在求函数极限中的应用J.大众科技,2011,10(146):69-70- 7 -